專題05勾股定理中的最值問題(原卷版+解析)-【重難點(diǎn)突破】2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練(北師大版)

專題05勾股定理中的最值問題題型一平面圖形中求最值1．如圖，在等腰中，，點(diǎn)在邊上且，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，得到，則周長的最小值為A． B． C． D．2．如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．3．如圖，長方形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在，連接，則的最小值是．4．如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在同側(cè)分別以和為邊作等邊和等邊，若，則線段的最小值為．5．如圖，已知，為上一點(diǎn)，于，四邊形為正方形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．6．如圖，河邊有，兩個(gè)村莊，村距河邊，村距河邊，兩村平行于河邊方向的水平距離為，現(xiàn)要在河邊建一抽水站，需鋪設(shè)管道抽水到村和村．（1）要使鋪設(shè)管道的長度最短，請作圖找出水站的位置（不寫作法）（2）若鋪設(shè)管道每米需要500元，則最低費(fèi)用為多少？7．如圖，，兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，廠距離河邊，廠距離河邊，經(jīng)測量，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠．（1）設(shè)，請用的代數(shù)式表示的長；（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想的最小值為多少？8．如圖，已知中，，，延長至使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）若為線段的中點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．①求的最小值；②求的最小值．9．如圖，在中，，，，等腰直角中，，且點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．（1）求的長；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰在上時(shí)，求點(diǎn)到的距離；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)到的距離的最大值．10．恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世，著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客，小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖與直線垂直，垂足為，點(diǎn)到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)，點(diǎn)到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大小；（2）請你說明的值為最?。}型二立體圖形中的最短路徑問題11．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．2512．有一長、寬、高分別是，，的長方體木塊，一只螞蟻沿如圖所示路徑從頂點(diǎn)處在長方體的表面爬到長方體上和相對(duì)的棱的中點(diǎn)處，則需要爬行的最短路徑長為A． B． C． D．13．如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米14．如圖，正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是A． B． C． D．15．國慶節(jié)期間，茂名市一廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為A．米 B．米 C．米 D．5米16．如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點(diǎn)，那么它爬行的最短路程是A． B． C． D．17．如圖，已知圓柱底面的周長為4，圓柱的高為2，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)和點(diǎn)有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長的最小值為A． B． C． D．18．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在點(diǎn)的螞蟻想吃到點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是．19．如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程是A． B．5 C． D．20．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為（杯壁厚度不計(jì)）．21．如圖，在一個(gè)長為，寬為的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)處爬過木塊到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程是．22．如圖，圓柱的底面直徑為，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)，則點(diǎn)移動(dòng)的最短距離為．23．如圖，教室的墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上．若米，點(diǎn)到的距離是3米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是米．24．如圖所示的正方體木塊的棱長為，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②所示的幾何體，一只螞蟻沿著圖②中的幾何體表面從頂點(diǎn)爬行到頂點(diǎn)的最短距離為．25．棱長分別為，兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)在上，且，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是．26．如圖所示，一個(gè)無蓋四棱柱容器，其底面是一個(gè)邊長為的正方形，高為．現(xiàn)有一根彩帶，從底面點(diǎn)開始纏繞四棱柱，剛好纏繞4周到達(dá)點(diǎn)（假設(shè)彩帶完美貼合四棱柱）．（1）請問彩帶的長度是多少？（2）如圖所示，一只螞蟻在容器外點(diǎn)發(fā)現(xiàn)容器的內(nèi)部距離頂部處有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到達(dá)處．請問螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌嵌嗌倌?？（注：以上兩問均要畫出平面展開示意圖，再解答）專題05勾股定理中的最值問題題型一平面圖形中求最值1．如圖，在等腰中，，點(diǎn)在邊上且，點(diǎn)，分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，得到，則周長的最小值為A． B． C． D．【解答】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，，，，，，，在同一條直線上，由對(duì)稱性可知，，，，，，，，，，的周長的最小值．故選：．2．如圖，在中，，，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是的平分線．，這時(shí)有最小值，即的長度，，，，，，．故答案為：．3．如圖，長方形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，使點(diǎn)落在，連接，則的最小值是．【解答】解：如圖，連接．四邊形是矩形，，，，，，，的最小值為．4．如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在同側(cè)分別以和為邊作等邊和等邊，若，則線段的最小值為6．【解答】解：如圖過作于，過作于，過作于．則四邊形是長方形，，，，故時(shí)，有最小值，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有，長度的最小值是6．故答案為：6．5．如圖，已知，為上一點(diǎn)，于，四邊形為正方形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接，若，則的最小值為．【解答】解法1：如圖所示，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，作直線交于，則，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，，，，在和中，，，，又，，點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)的軌跡為射線，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最短，當(dāng)時(shí)，中，，，，又，，正方形中，，，即的最小值為，故答案為：．解法2：如圖，連接，由題意可得，，，，，在和中，，，，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)最短，，，，當(dāng)時(shí)，，的最小值為．故答案為：．6．如圖，河邊有，兩個(gè)村莊，村距河邊，村距河邊，兩村平行于河邊方向的水平距離為，現(xiàn)要在河邊建一抽水站，需鋪設(shè)管道抽水到村和村．（1）要使鋪設(shè)管道的長度最短，請作圖找出水站的位置（不寫作法）（2）若鋪設(shè)管道每米需要500元，則最低費(fèi)用為多少？【解答】解：（1）如圖所示，抽水站修在點(diǎn)處才能使所需的管道最短．先求出點(diǎn)關(guān)于河流的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接，與河流的交點(diǎn)即為所求作的抽水站的位置．作垂直于河，平行河．兩村的水平距離為30米，米．村距河邊10米，村距河邊30米，（米．（米．（2）最低費(fèi)用為：（元．7．如圖，，兩個(gè)工廠位于一段直線形河的異側(cè)，廠距離河邊，廠距離河邊，經(jīng)測量，現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處（河寬不計(jì)）修一個(gè)污水處理廠．（1）設(shè)，請用的代數(shù)式表示的長；（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠的位置應(yīng)怎樣來確定此時(shí)需要管道多長？（3）通過以上的解答，充分展開聯(lián)想，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，請你猜想的最小值為多少？【解答】解：（1）在和中，根據(jù)勾股定理可得，，，（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接與的交點(diǎn)就是污水處理廠的位置．過點(diǎn)作于，則有，．．在中，，此時(shí)最少需要管道．（3）根據(jù)以上推理，可作出下圖，設(shè)，，，，當(dāng)、、共線時(shí)，求出的值即為原式的最小值．在中，，，由勾股定理可得：，的最小值為17．8．如圖，已知中，，，延長至使，連接．（1）求證：是等邊三角形；（2）若為線段的中點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．①求的最小值；②求的最小值．【解答】（1）證明：，，，，，是等邊三角形．（2）①如圖1中，作于，于，交于．，，，，當(dāng)、、共線時(shí)，即時(shí)，最短，最小值為線段，在△中，，，，的最小值為．②如圖2中，作于，于，交于．，，，，當(dāng)、、共線時(shí)，即時(shí)，最短，最小值為線段，在△中，，，，的最小值為．9．如圖，在中，，，，等腰直角中，，且點(diǎn)是邊上一點(diǎn)．（1）求的長；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰在上時(shí)，求點(diǎn)到的距離；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)到的距離的最大值．【解答】解：（1）作于，，，，由勾股定理得，；（2）作于，在中，，，，，，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，，，，，；（3）由題意得，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)到的距離的最大，如圖2，作于，交的延長線于，，，，在和中，，，，．10．大自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世，著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客，小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖與直線垂直，垂足為，點(diǎn)到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)，點(diǎn)到、的距離之和．（1）求、，并比較它們的大小；（2）請你說明的值為最小．【解答】解：（1）圖（1）中過作于，垂足為；于，垂足為，則，又，．在中，，在中，，．圖（2）中，過作垂足為，則，又，，由軸對(duì)稱知：，，．（2）如圖（2），在公路上任找一點(diǎn)，連接，，，由軸對(duì)稱知，，為最小．題型二立體圖形中的最短路徑問題11．如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長方形，長為，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長方形的對(duì)角線長．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：．12．有一長、寬、高分別是，，的長方體木塊，一只螞蟻沿如圖所示路徑從頂點(diǎn)處在長方體的表面爬到長方體上和相對(duì)的棱的中點(diǎn)處，則需要爬行的最短路徑長為A． B． C． D．【解答】解：如圖，，需要爬行的最短路徑長為，故選：．13．如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【解答】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開，，最短路程為．故選：．14．如圖，正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿棱柱外表面到點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)沿著平面、平面爬行時(shí)，如圖所示，，當(dāng)沿著平面、平面爬行時(shí)，，因?yàn)?，所以螞蟻需要爬行的最短路徑的長是，故選：．15．國慶節(jié)期間，茂名市一廣場用彩燈帶裝飾了所有圓柱形柱子．為了美觀，每根柱子的彩燈帶需要從點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的點(diǎn)，如圖所示，若每根柱子的底面周長均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為A．米 B．米 C．米 D．5米【解答】解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則彩燈帶長為2個(gè)長方形的對(duì)角線長，圓柱高3米，底面周長2米，，，每根柱子所用彩燈帶的最短長度為．故選：．16．如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點(diǎn)，那么它爬行的最短路程是A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再從各個(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得；（2）展開前面上面由勾股定理得；（3）展開左面上面由勾股定理得．所以最短路徑的長為．故選：．17．如圖，已知圓柱底面的周長為4，圓柱的高為2，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)和點(diǎn)有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長的最小值為A． B． C． D．【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．圓柱底面的周長為4，圓柱高為2，，，，，這圈金屬絲的周長最小為．故選：．18．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在點(diǎn)的螞蟻想吃到點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是13．【解答】解：展開圓柱的半個(gè)側(cè)面是矩形，矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即為12，矩形的寬是圓柱的高5．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，知最短路程是矩形的對(duì)角線的長，即，故答案為：13．19．如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短路程是A． B．5 C． D．【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是1，；，螞蟻爬行的最短距離是5．故選：．20．如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為15（杯壁厚度不計(jì)）．【解答】解：如圖，將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，在直角△中，由勾股定理得，．則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離為，故答案為：15．21．如圖，在一個(gè)長為，寬為的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較長邊和場地寬平行，橫截面是邊長為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)處爬過木塊到達(dá)點(diǎn)處需要走的最短路程是．【解答】解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是個(gè)正方形的寬，長為米；寬為4米．于是最短路徑為：（米．故答案為：．22．如圖，圓柱的底面直徑為，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到的中點(diǎn)，則點(diǎn)移動(dòng)的最短距離為