湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)永通班下學(xué)期入學(xué)考試試題含解析

Page20湖南省常德市臨澧縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)永通班下學(xué)期入學(xué)考試試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.點為拋物線的準線上一點，直線交拋物線于M，N兩點，若的面積為20，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】求得兩點的坐標，依據(jù)的面積列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意不妨設(shè)，則的面積為，解得.故選：C2.過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則所在直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由圓方程得到圓心和半徑，求出的長，以及的中點坐標，得到以為直徑的圓的方程，由兩圓方程作差整理，即可得出所在直線方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，所以，的中點為，則以為直徑的圓的方程為，所以為兩圓的公共弦，因此兩圓的方法作差得所在直線方程為，即.故選：B.【點睛】本題主要考查求兩圓公共弦所在直線的方法，屬于?？碱}型.3.若點和點到直線的距離依次為和，則這樣的直線有A.條 B.條 C.條 D.條【答案】C【解析】【詳解】試題分析：以點為圓心，以為半徑長的圓的方程為，以點為圓心，且以為半徑的圓的方程為，則直線為兩圓的公切線，，即圓與圓外切，因此兩圓的公切線有條，即直線有三條，故選C.考點：1.兩圓的位置關(guān)系；2.兩圓的公切線4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)求得和，同時利用下標和的性質(zhì)化簡所求式子，可知所求式子等價于，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】是等比數(shù)列是等差數(shù)列本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，其中還涉及到誘導(dǎo)公式的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線C：（，）的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)題意得雙曲線的方程為，再結(jié)合雙曲線的定義得，故，連接，交雙曲線于，交圓于，此時取得最小值，再計算即可得答案.【詳解】由題意可得，即，漸近線方程為，即有，即，可得雙曲線方程為，焦點為，，由雙曲線的定義可得，由圓可得，半徑，，連接，交雙曲線于，交圓于，此時取得最小值，且為，則的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，雙曲線上的點到定點的距離最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.6.已知數(shù)列滿意…，設(shè)數(shù)列滿意：,數(shù)列的前項和為，若恒成立，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的通項，再求出的通項，從而可求，利用參變分別可求的取值范圍.【詳解】因為…，所以…，故即，其中.而令，則，故，.，故，故恒成立等價于即恒成立，化簡得到，因為，故.故選D.【點睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，假如通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；假如通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；假如通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.參數(shù)的數(shù)列不等式的恒成立問題，可以用參變分別的方法構(gòu)建新數(shù)列，通過探討新數(shù)列的最值來求參數(shù)的取值范圍.7.已知雙曲線的上、下焦點分別是，，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的值是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合以及列方程，化簡求得離心率.【詳解】設(shè)，則①，利用向量加法法則知，則即，故②，設(shè)，則，③，由②③得，即，又，所以，即，即所以雙曲線離心率值是3故選：D8.已知函數(shù)的定義域為，對隨意的實數(shù)，，當時，且數(shù)列滿意，且，則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由利用特值法可得，所以可得，由遞推關(guān)系可知數(shù)列為以3為周期的數(shù)列，依據(jù)周期化簡即可求解.【詳解】依題意，對隨意的實數(shù)，等式成立，令得，所以或，又當時，所以，所以，令，則，因為當時，不妨令，則，所以對隨意有，任取，則，因為，所以，所以，即，單調(diào)遞減，所以有唯一解，又數(shù)列滿意，所以，又因為，所以，，，由數(shù)列的遞推關(guān)系知數(shù)列為以3為周期的數(shù)列，所以，，，，，，當時，所以，，所以，，又，所以故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知過點A（a，0）作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的值可以是（）A.－2 B.4 C.0 D.6【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出切點，寫出切線方程，將點代入，化簡后方程有兩根，即可得到的取值范圍.【詳解】設(shè)切點為，則，所以切線方程為：，切線過點A（a，0），代入得：，即方程有兩個解，則有或．故選：AD.10.已知拋物線焦點為，，是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點的坐標為B.若直線過點，則C.若，則的最小值為D.若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由拋物線方程確定焦點坐標知A錯誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可知B正確；依據(jù)過焦點可知最小值為通徑長，知C錯誤；利用拋物線焦半徑公式，結(jié)合中點坐標公式可求得點縱坐標，知D正確.【詳解】解：拋物線，即，對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；對于B，依題意，直線斜率存在，設(shè)其方程為，由，消去整理得，，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，所以當時，的最小值為拋物線的通徑長，故C正確；對于D，，，即點縱坐標為，到軸的距離為，故D正確.故選：BCD.11.無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A.可能為等差數(shù)列B.可能為等比數(shù)列C.中肯定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D.中肯定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】由可求得的表達式，利用定義判定得出答案．【詳解】當時，．當時，．當時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當時，從其次項起先是等差數(shù)列．故選：ABC【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，利用求通項公式，屬于基礎(chǔ)題．12.已知雙曲線且，設(shè)直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，點在的兩條漸近線上的射影分別為，記的面積為，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的方程求出漸近線方程，設(shè)點，求出到兩漸近線的距離，從而得到，即可得到的通項公式，再依據(jù)等差數(shù)列的前項和公式計算可得；【詳解】解：因為雙曲線的方程為且，所以漸近線方程為，設(shè)點，則且，記到兩條漸近線的距離分別為，則、，則，故因此為等差數(shù)列，故，故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.若函數(shù)f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)定義域為，導(dǎo)函數(shù)為，使得存在垂直于y軸的切線，即有解，可得有解，因為，所以，當且僅當““時等號成立，所以實數(shù)a的取值范圍是考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用14.已知正項等比數(shù)列滿意，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)整理代換法，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)、換元法、基本不等式進行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，，因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，所以，且，所以，令，于是有，當且僅當取等號，即時取等號，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：15.在平面直角坐標系中，若圓：上存在點，且點關(guān)于直線的對稱點在圓：上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，由對稱圓與圓有公共點即得．【詳解】圓：的圓為，半徑為1，它關(guān)于直線的對稱圓的圓心為，半徑仍舊為，圓的圓心為，半徑為，由題意，解得．故答案為：．【點睛】方法點睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為兩圓相交．圓與圓的位置關(guān)系：兩圓圓心距離為，半徑分別為，則相離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含．16.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，過點F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點（其中點A在第一象限）．若直線AO與拋物線的準線l交于點D，設(shè)，的面積分別為，，則______．【答案】##0.5625【解析】【分析】直線方程為.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，求出點的坐標，進而得到的坐標，表示出，，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，直線方程為.設(shè)，.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，解得或.因為點A在第一象限，所以，，直線方程為，點坐標為.因為，所以軸.所以，，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項的和為，且滿意.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項的和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)，得到，證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式與求和公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求得，分和兩種狀況，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得:，即，即數(shù)列是以1為首項，2為公比等比數(shù)列，則，則；（2）由（1）知：，則，則當時，，當時，，則.【點睛】本題主要考查求等比數(shù)列的通項公式與求和公式，以及數(shù)列的求和問題，屬于?？碱}型.18.已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；（2）證明：當時，．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個變號零點，再參變分別后得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構(gòu)造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域為，，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個變號零點，等同于，即水平直線與曲線有兩個交點(不是的切線)，令，的定義域為，則，令，解得，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞減，則為的極大值，也為最大值，當時，，當時，，當時，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時；（2）證明：令()，則只需證明當時恒成馬上可，則，令，則，當時，，，，則，則在時單調(diào)遞增，又，∴時，，則在時單調(diào)遞增，∴當時，即當時，．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）干脆構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明或），進而構(gòu)造協(xié)助函數(shù)；（2）適當放縮構(gòu)造法：一是依據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，依據(jù)相像結(jié)構(gòu)構(gòu)造協(xié)助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的突破口.19.在等差數(shù)列中，已知公差，是與的等比中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項公式；（3）令，數(shù)列的前項和為.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先依據(jù)條件求出首項，再依據(jù)等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（2）依據(jù)條件作差得結(jié)果，（3）依據(jù)錯位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）因為是與的等比中項，所以，∴數(shù)列的通項公式為.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①則②①－②得：，∴∴．∴數(shù)列的前項和【點睛】用錯位相減法求和應(yīng)留意的問題(1)要擅長識別題目類型，特殊是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應(yīng)特殊留意將兩式“錯項對齊”以便下一步精確寫出“”的表達式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.20.已知雙曲線：一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的標準方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點，為坐標原點，直線，的斜率之積為，求的面積．【答案】（1），離心率為（2）【解析】【分析】（1）依題意用點到直線的距離公式列方程可得c，然后由漸近線斜率和幾何量關(guān)系列方程組可解；（2）設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線方程消元，利用韋達定理表示出直線，的斜率可得直線的方程，數(shù)形結(jié)合可解.【小問1詳解】由題意知焦點到漸近線的距離為，則因為一條漸近線方程為，所以，又，解得，，所以雙曲線的標準方程為，離心率為．【小問2詳解】設(shè)直線：，，，聯(lián)立則，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面積為21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，分別令和，進而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，可知時，恒成立，進而分、和三種狀況，分別探討函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，，明顯，令，則，解得，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）令，則當時，恒成立，求導(dǎo)得，且，①當時，令，即，則時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；②當時，，則時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，且，∴不符合題意；③當時，，則時，恒有，即在上是減函數(shù)，所以時，，所以，解得，故.綜上，的取值范圍是.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題，考查分類探討思想在解題中的運用，屬于難題.22.如圖，橢圓的兩頂點，，離心率，過y軸上的點的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，直線與直線交于點Q.（1）當且時，求直線l的方程；（2）當點P異于A，B兩點時，設(shè)點P與點Q橫坐標分別為，，是否存在常數(shù)使成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或（2）存在，【解析】【