四川省資陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次診斷考試?yán)砜圃囶}

Page11Page11資陽(yáng)市2024級(jí)其次次診斷性考試數(shù)學(xué)（理工類）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，i是虛數(shù)單位，若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）．A． B． C． D．2．已知集合，，則（）．A． B． C． D．3．選購(gòu) 經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對(duì)企業(yè)選購(gòu) 經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)選購(gòu) 、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行性指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)料、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于50％時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50％，則反映制造業(yè)較上月收縮，下圖為我國(guó)2024年1月－2024年6月制造業(yè)選購(gòu) 經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計(jì)圖．依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁?xiàng)為（）．A．2024年其次、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B．2024年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張C．2024年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D．2024年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈復(fù)原性擴(kuò)張4．已知函數(shù)，則的圖象（）．A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5．黨的二十大報(bào)告既鼓舞人心，又催人奮進(jìn)．為學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，某宣講小分隊(duì)將5名宣講員安排到4個(gè)社區(qū)宣講，每個(gè)宣講員只安排到1個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少安排1名宣講員，則不同的安排方案共有（）．A．480種 B．240種 C．120種 D．60種6．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）．A．B．C．D．7．已知，則的值為（）．A． B． C． D．8．如圖所示的形態(tài)出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，其次層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，如圖所示的程序框圖給出了計(jì)算“三角垛”小球總數(shù)的一個(gè)算法，執(zhí)行該程序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則S＝（）．A．35 B．56 C．84 D．1209．過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點(diǎn)A，B（橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)A在第一象限），為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與垂直的直線與相交于點(diǎn)M．若，則（）．A．3 B．6 C．9 D．1210．如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為，CD的中點(diǎn)，直線BE與平面所成角為45°，給出下列結(jié)論：①平面；②；③異面直線BE與所成角為60°；④三棱錐的體積為長(zhǎng)方體體積的．其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是（）．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④11．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為e，直線與C交于點(diǎn)M，N，且，．當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）．A． B． C． D．12．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若x，y滿意約束條件，則的最大值為______．14．已知向量，，則向量與向量的夾角為______．15．若函數(shù)的最小正周期為，則滿意條件“是偶函數(shù)”的的一個(gè)值為______（寫出一個(gè)滿意條件的即可）．16．已知O是邊長(zhǎng)為3的正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)就某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：14.5100.086650.044表中，．若用刻畫回來效果，得到模型①、②的值分別為，．（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；（2）依據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回來方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．18．（12分）已知為等差數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿意：，求的前n項(xiàng)和．19．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)并解答問題：①；②；③．（1）求角A的大??；（2）若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20．（12分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，．（1）試在棱BC上確定一點(diǎn)M，使得平面平面PBD，并說明理由．（2）在第（1）問的條件下，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）若是的微小值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若，，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線l的斜率．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知，，且．（1）證明：；（2）若不等式對(duì)隨意恒成立，求m的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)（理工類）參考答案1．C 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．D 8．B 9．C 10．D11．B 12．D13．8 14． 15．或，等，滿意條件的任何一個(gè)值即可．16．17．解析：（1）應(yīng)當(dāng)選擇模型②．由題可知，，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果最好．（2）由已知，成本費(fèi)y與t可用線性回來來擬合，有．，所以，則y關(guān)于t的線性回來方程為．成本費(fèi)y與同批次生產(chǎn)數(shù)量x的回來方程為，當(dāng)（噸）時(shí)，（萬元/噸）．所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25噸時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬元/噸．18．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知有：，，，因?yàn)?，即，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，又，所以 ①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有 ②①②兩式相減，得，所以．所以．19．解析：（1）如選擇①有，即有，所以，又，所以，所以．如選擇②有，由正弦定理有，所以，化簡(jiǎn)得，因，所以，所以．如選擇③由余弦定理有，所以，所以，所以．（2）由（1）知，因?yàn)?，且的面積為，由，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以的周長(zhǎng)．20．解析：（1）當(dāng)M為棱BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)時(shí)，平面平面PBD．證明：若M為棱BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，，所以．又，，所以∽．所以．又，所以，所以．因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，所以平面PBD．而平面PAM，所以平面平面PBD．（2）由（1），以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，．，，．設(shè)平面MPA的法向量，由得令，得，，即．設(shè)平面CPA的法向量，由得令，得，，即．設(shè)二面角的平面角為，則．21．解析：（1）由題得，，當(dāng)時(shí)，，可知時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，是的微小值點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，是的微小值點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，是的極大值點(diǎn)，不符合題意．綜上，是的微小值點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是．（2）由（1），，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故時(shí)，，所以，滿意條件；當(dāng)時(shí)，可知時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，取得微小值，也即為最小值．由于，恒成立，則，即有，得，解得，綜上，a的取值范圍是．選考題22．解析：（1）由得，即，即．將，代入上式，得．（2）將直線l的參數(shù)方程