河北省滄州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

河北省滄州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題留意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上．2．回答選擇題吋，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，，，則（）A．160 B．170 C．180 D．1903．拋物線的焦點為F，點P（非原點）在拋物線上，且橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的倍，則（）A． B．8 C．9 D．4．若A為圓上的動點，B為圓上的動點，則的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．85．在公比不為1的等比數(shù)列中，對隨意，，，成等差數(shù)列，，則數(shù)列的前n項和（）A． B． C． D．6．雙曲線上隨意一點到兩條漸近線的距離之積為，則雙曲線的離心率（）A． B． C． D．7．直線與曲線交于A，B兩點，若，則t的值有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．在長方體中，，則平面截長方體的外接球所得截面圓的面積為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列且公比C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列10．在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)是BC，AD的中點，平面ADE的法向量為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．是平面BCF的法向量 D．11．已知F，分別為橢圓的左、右焦點，A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，且已知A，B是橢圓的頂點，過點A作軸，垂足為E，直線BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A．四邊形的周長為16 B．的最小值為C．面積的最大值為 D．12．圓錐曲線的“外準(zhǔn)圓”也叫“蒙日圓”，它是由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)覺的．它說的是：圓錐曲線上隨意兩條相互垂直的切線的交點在同一個圓上，這個圓就叫外準(zhǔn)圓．其中圓錐曲線的中心就是外準(zhǔn)圓的圓心，而直線在高等數(shù)學(xué)中也稱為半徑為無窮大的圓．雙曲線只有當(dāng)時才有外準(zhǔn)圓，則下列結(jié)論正確的是（）A．面積為S的圓的外準(zhǔn)圓的面積是B．橢圓的外準(zhǔn)圓方程為C．拋物線的外準(zhǔn)圓是D．雙曲線的外準(zhǔn)圓方程為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．焦點在x軸上的橢圓的長軸長為，則其焦距為__________．14．已知，圓C的圓心為，過點A到圓C的切線長是半徑的2倍，則圓C截直線所得的弦長為__________．15．在全部棱長均相等的斜三棱柱，，M是的中點，則異面直線BM與所成角的余弦值為__________．16．在等差數(shù)列中，，，為數(shù)列的前n項和，，則的最小值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知的頂點O（0，0），OA邊上的中線所在直線方程為，OB邊上的高線為．（1）求點A坐標(biāo)；（2）求的外接圓方程．18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：．19．（本小題滿分12分）已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與曲線C交于M，N兩點，O為原點，求面積的最大值．20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿意，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．21．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形ABCD是梯形，，，，，E是AD的中點，．（1）證明：平面ABCD；（2）求平面APB與平面PBC的夾角的余弦值．22．（本小題滿分12分）已知圓，，過點N的直線l與圓M交于A，B兩點，過點N作MA的平行線交直線MB于點P．（1）求點P的軌跡E的方程；（2）若直線NP（不與x軸垂直）與軌跡E交于另一點Q，Q關(guān)于x軸的對稱點為H，求證：直線PH過定點．滄州市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)參考答案1．A解析：由已知，∴，解得，故選A．［命題意圖］考查直線的方向向量、平面的法向量的定義以及用向量探討直線與平面的平行垂直問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查數(shù)學(xué)運算與學(xué)問的遷移．2．B解析：，，∴，又，，∴，故選B．［命題意圖］考查等差數(shù)列及其前n項和的運算，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查基本技能與基本方法．3．C解析：由已知，代入中，得，，∴，故選C．［命題意圖］考查拋物線的定義與性質(zhì)的敏捷應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想方法主要考查方程思想．4．D解析：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，∴．又A為圓上的動點，B為圓上的動點，∴的最大值是，故選D．［命題意圖］考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查動靜轉(zhuǎn)化和方程思想．5．B解析：由已知得，即，消去，解得，∴，故選B．［命題意圖］考查等差中項、等比數(shù)列的性質(zhì)與前n項和的計算與應(yīng)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查綜合實力與運算實力．6．B解析：雙曲線上的點滿意，點P到兩條漸近線的距離之積為，∴，，故選B．［命題意圖］考查雙曲線的性質(zhì)中的點在曲線上、漸近線、離心率、點到直線距離公式等學(xué)問，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查敏捷變形和數(shù)學(xué)運算．7．C解析：曲線的圖象如下圖，直線l恒過點，圖中，故t的值有3個，故選C．［命題意圖］考查圓及其性質(zhì)、圓方程的變形、直線過定點等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類探討思想．8．C解析：以AB，AD，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則外接球球心O為體對角線的中點，，，，，可求得平面的法向量為，，則點O到平面的距離，又長方體外接球半徑，設(shè)截面圓半徑為r，所以，，故選C．［命題意圖］考查長方體的外接球直徑與體對角線的關(guān)系、空間向量中點到平面的距離以及截面圓的問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查空間想象實力以及綜合實力等．9．ABC解析：，A正確；當(dāng)時，，∴，也符合，B正確；依據(jù)等差數(shù)列的定義可知C正確，D不正確．故選ABC．［命題意圖］考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、等差數(shù)列的定義、由前n項和求通項以及對數(shù)運算等，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查分析實力與辯證思維．10．ACD解析：，，A正確；B明顯不正確；∵，，∴平面BCF，C正確；同理平面ADE，D正確．故選ACD．［命題意圖］考查用向量證明平行與垂直問題，如何判定平面的法向量問題以及向量與一般方法結(jié)合運用的問題，數(shù)學(xué)思想方法考查數(shù)形結(jié)合思想和辯證統(tǒng)一思想．11．BCD解析：對于A，連接，，AF，BF，則四邊形為平行四邊形，∴，∴四邊形的周長為8，A錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，B正確；∵A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，∴設(shè)直線AB的方程為，由得，∴，∴的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C正確；對于D，設(shè)，，，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，則，又點P和點A在橢圓C上，①，②，①②得，易知，則，得，∴，∴，D正確．故選BCD．［命題意圖］考查橢圓的定義、直線與橢圓位置關(guān)系及與基本不等式結(jié)合求最值，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查敏捷變形和數(shù)學(xué)運算．12．BCD解析：對于A，圓的兩條相互垂直的切線交點到圓心的距離為，外準(zhǔn)圓的面積為2S，A不正確；對于B，過橢圓的長軸與短軸的端點作切線是垂直的，其交點到原點的距離為，明顯B正確；拋物線兩條相互垂直的切線交點在準(zhǔn)線上，故C正確；雙曲線是關(guān)于y軸對稱的，∴過y軸上一點作雙曲線的兩條相互垂直的切線，其斜率為，設(shè)切線方程為，代入雙曲線方程使，解得，故D正確．故選BCD．［命題意圖］考查數(shù)學(xué)文化、新定義的運用、圓錐曲線與圓的關(guān)系、直線與曲線的位置關(guān)系中的相切等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查無窮思想、特值思想．13．6解析：由題意得，所以，，，故焦距．［命題意圖］考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查運算實力和推理實力等．14．解析：，設(shè)半徑為R，，解得，圓心到直線的距離，所以弦長為．［命題意圖］考查圓的方程、圓的切線以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查綜合實力與運算實力．15．解析：如圖，設(shè)棱長為2，則，不難發(fā)覺四邊形是矩形，∴．，∴．［命題意圖］考查空間向量的數(shù)量積、模、夾角以及立體幾何中的垂直問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查數(shù)形結(jié)合思想、運算思想、抽象推理等．16．解析：由已知得∴．當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)時，，設(shè)．∵在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．又，∴當(dāng)時，只需比較和，，．∵，∴．［命題意圖］考查數(shù)列的肯定值求和及單調(diào)性比較大小，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算．17．解：（1）設(shè)，則OA的中點在直線上，∴．（2分）點A在直線上，故，．∴點A的坐標(biāo)為（4，1）．（5分）（2）由題得直線OB的斜率為，方程為，則，（7分）設(shè)圓的方程為，代入O，A，B三點得解得，，，∴△OAB的外接圓方程為．（10分）［命題意圖］考查直線方程的點斜式、高線及中線的定義，綜合坐標(biāo)關(guān)系求解點的坐標(biāo)及外接圓方程，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查學(xué)問的遷移．18．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，∴，，則，（3分）∴，，解得，，∴數(shù)列的通項公式為．（6分）（2）∵，（8分）∴．（12分）［命題意圖］考查等差數(shù)列通項公式的敏捷應(yīng)用以及裂項相消等學(xué)問，數(shù)學(xué)思想方法主要考查方程思想、恒等思想、化歸思想等．19．解：（1）由已知，且，（2分）∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（2）設(shè)，，將代入曲線C中，整理得，其中，即，∴，，（6分）∴，（8分）點O到直線MN的距離，∴，（10分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．（11分）∴△OMN面積的最大值為．（12分）［命題意圖］考查橢圓方程、弦長公式、點到直線的距離公式、基本不等式求最值等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查特值思想和轉(zhuǎn)化思想等．20．解：（1）由已知得，，…，，∴，（2分）∴，（4分）∵，∴數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．（6分）（2），，∴，（10分）即．（12分）［命題意圖］考查累加法求通項以及等比數(shù)列求和、等比數(shù)列的定義、錯位相減求和等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查運算思想和迭代思想．21．解：（1）由已知，，，∴，，（2分）又，，PB，平面PBE，∴平面PBE，．（4分）∵是正三角形，，∴．∵BC與AD相交，∴平面ABCD．（6分）（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得，，，．∴，，，設(shè)平面PAB的法向量為，∴即令，∴．（8分）設(shè)平面PBC的法向量為：，∴即令，∴．（10分）∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為．（12分）［命題意圖］考查立體幾何中線面垂直的證明、空間向量中平面與平面的夾角的求法、平面法向量的求法等，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查數(shù)形結(jié)合、整體思想等．22．解：（1）如圖，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即，（3分）