江蘇省淮安市淮安區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page16江蘇省淮安市淮安區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題時(shí)間120分鐘總分120分（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上規(guī)定的區(qū)域內(nèi)答題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線斜率的坐標(biāo)公式，即得解【詳解】設(shè)直線的斜率為，則.故選：A2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再依據(jù)拋物線的性質(zhì)求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的方程可變?yōu)楣势錅?zhǔn)線方程為故選：C3.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，則該圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】解：由題意可知，，的中點(diǎn)為，又圓的半徑為，故圓的方程為．故選：B．4.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.9 D.81【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件，利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距c的關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】由橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以的值為1.故選：A5.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則其頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)條件求出，的大小，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】由雙曲線的方程得，雙曲線虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的倍，，可得，則雙曲線的頂點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，不妨取漸近線，即，則頂點(diǎn)到漸近線的距離.故選：B.6.過(guò)點(diǎn)作與圓相切的直線l，則直線l的方程為（）A. B.C或 D.或【答案】C【解析】【分析】先求得圓的圓心和半徑，依據(jù)直線與圓相切，分直線斜率不存在和直線斜率存在兩種狀況，由求解.【詳解】圓即為，圓心是，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，而，直線與圓相切，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，圓心到直線的距離為；，解得，所以直線l的方程為，綜上：直線l的方程為或，故選：C7.已知直線和直線都過(guò)點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把點(diǎn)分別代入兩直線方程，得到且，依據(jù)兩個(gè)式子，即可求得所求的直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€和直線都過(guò)點(diǎn)，可得且，即點(diǎn)和點(diǎn)適合直線，所以過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是.故選：A.8.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，列方程求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.【詳解】由關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，可得，即對(duì)稱點(diǎn)為，又所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：D二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分.每題全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的隨意一條直線都存在傾斜角和斜率B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等直線方程為【答案】AD【解析】【分析】A留意垂直于x軸的直線；B由對(duì)稱點(diǎn)所在直線的斜率與斜率關(guān)系，及其中點(diǎn)在對(duì)稱直線上推斷正誤；C求直線與數(shù)軸交點(diǎn)即可求面積；D留意直線也符合要求即可推斷.【詳解】A：垂直于x軸的直線不存在斜率，錯(cuò)誤；B：由、中點(diǎn)為且，兩點(diǎn)所在直線的斜率為，故與垂直，正確；C：令有，令有，所以圍成的三角形的面積是，正確；D：由也過(guò)且在x軸和y軸上截距都為0，錯(cuò)誤.故選：AD10.已知雙曲線C的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線C的漸近線方程為B.雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為8C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由雙曲線方程求出，依據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出實(shí)軸長(zhǎng)、漸近線方程和雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最小值，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，即可求解【詳解】由雙曲線C的方程為，得：，，對(duì)于A：雙曲線C的漸近線方程為，故A正確；對(duì)于B：雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C：取焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)到漸近線的距離，故C正確；對(duì)于D：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.已知點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.線段PQ的長(zhǎng)度的最小值為B.當(dāng)PQ最短時(shí)，直線PQ的方程是C.當(dāng)PQ最短時(shí)P的坐標(biāo)為D.線段PQ的長(zhǎng)度可能是【答案】AC【解析】【分析】當(dāng)PQ垂直直線時(shí)，PQ最短，即可推斷A、D，設(shè)出P坐標(biāo)，依據(jù)最短使PQ與直線垂直求解P坐標(biāo)，即可推斷C，由兩點(diǎn)式求出直線方程，即可推斷B．【詳解】解：當(dāng)PQ垂直直線時(shí)，PQ最短，Q到直線的距離為，故A正確；故PQ的長(zhǎng)度范圍為，，故D錯(cuò)誤；設(shè)，則，解得，故P為，故C正確；此時(shí)直線PQ的方程是，即，故B錯(cuò)誤，故選：AC．12.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于且斜率之差等于，則正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是雙曲線.B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)所在的橢圓的離心率隨著的增大而增大.D.無(wú)論n如何改變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是軸對(duì)稱圖形.【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而依據(jù)題意得，，進(jìn)而依次探討各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：設(shè)，則，所以，，整理得，所以對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，點(diǎn)的軌跡是去除了兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓，故在圓上運(yùn)動(dòng)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，離心率為，故當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率隨著的增大而減小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，對(duì)隨意的點(diǎn)與均在，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，可能為橢圓，雙曲線，圓，但均為軸對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.兩條平行直線和之間的距離是_________.【答案】##【解析】【分析】利用兩平行直線之間的距離公式即可計(jì)算.【詳解】，，所以它們之間的距離為：.故答案為：.14.已知圓的圓心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】求出圓心的坐標(biāo)和半徑，即可得出圓的方程.【詳解】圓心C的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑，所以以為直徑的圓的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題目.15.若圓：與圓：（）相交，則正數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由圓心距離小于半徑之和，大于半徑之差的肯定值可得．【詳解】∵兩圓和（）相交，圓：的半徑和圓心分別是1，，圓：（）的半徑和圓心分別是，，∴兩個(gè)圓的圓心的距離大于兩個(gè)圓的半徑之差，小于兩個(gè)圓的半徑之和，即.∴，∴，∴正數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.在直角平面坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，與雙曲線左、右兩支分別交于點(diǎn)，若，則的值是_________．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的定義可得，在△中應(yīng)用余弦定理可得，留意其符號(hào)推斷c的范圍，再依據(jù)直線與圓相切可得，構(gòu)造方程求參數(shù)c，進(jìn)而求b.【詳解】由題設(shè)，，又，則，在△中，則，即，又直線與相切，則，綜上，，解得，而，則，所以，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：留意應(yīng)用余弦定理求關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，再由直線與圓的相切關(guān)系得到另一個(gè)關(guān)于橢圓參數(shù)的表達(dá)式，聯(lián)立求參數(shù).四、解答題（本大題共6小題，共70分，第17題10分，18—22題均為12分）17.已知兩條直線，；求為何值時(shí)，與（1）平行；（2）垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求出的值，并代入兩直線方程檢驗(yàn)即可得解；（2）依據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，可得，即，解得或，?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，兩直線重合，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，兩直線平行，合乎題意.綜上所述，；（2）因?yàn)?，則，解得.18.在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.①與直線垂直；②過(guò)點(diǎn)；③與直線平行.問(wèn)題：已知直線過(guò)點(diǎn)，且___________.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于點(diǎn)，，求弦的長(zhǎng).【答案】條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）【解析】【分析】選①：（1）求出直線的斜率，可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程即可；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；選②：（1）依據(jù)直線上兩點(diǎn)求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；選③：（1）由直線平行求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程即可；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng).【詳解】方案一選條件①.（1）因?yàn)橹本€的斜率為，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.方案二選條件②.（1）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)及，所以直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.方案三選條件③.（1）因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線平行，所以直線的斜率為依題意，直線的方程為，即.（2）圓的圓心到直線的距離為.又圓的半徑為，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓記為．（1）求邊的中線所在直線的一般式方程；（2）求圓的一般方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用中點(diǎn)坐標(biāo)求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用點(diǎn)斜式求出直線的方程．（2）干脆利用圓的一般式，建立三元一次方程組，進(jìn)一步解方程組求出圓的方程．【小問(wèn)1詳解】解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，設(shè)的中點(diǎn)為所以，，則所以直線的斜率，則直線的方程為：，整理成一般式為：．【小問(wèn)2詳解】解：已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓記為，設(shè)圓的方程為：，則：解得：，所以圓的方程為．20.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，且以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程即可求出各個(gè)系數(shù)，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)；（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，將代入雙曲線方程求得，又以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且，從而建立等式求出離心率，最終即得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依據(jù)題意得，則．又，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，將代入雙曲線方程，得．∵以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，且，，即，整理得，即有．又．又雙曲線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．21直線與雙曲線相較于，兩點(diǎn).（1）若，求線段長(zhǎng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線可得，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求線段長(zhǎng)；（2）聯(lián)立直線與雙曲線可得，留意由判別式求a的范圍，應(yīng)用韋達(dá)定理求、關(guān)于參數(shù)a的表達(dá)式，再由為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，推出，即可求出參數(shù)a.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，聯(lián)立雙曲線并整理得：，所以，則，，所以.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立直線與雙曲線得：，整理有，由題意，，即，所以，，則，若為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即，所以，滿意要求.22.已知拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，且拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求，的值；（2）已知點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，求線段長(zhǎng)最小值.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）