新七年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）第06講 巧用運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算（人教版）（解析版）

第06講巧用運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算【人教版】·模塊一歸類(lèi)——同號(hào)相加，同分母相加·模塊二湊整——將易通分或能“湊0”、“湊整”的數(shù)相結(jié)合·模塊三變序——逆向思維，方便約分和計(jì)算·模塊四組合——找出規(guī)律，重新組合，然后通過(guò)約分或抵消簡(jiǎn)化題目·模塊五拆分——相互抵消，化繁為簡(jiǎn)·模塊六課后作業(yè)模塊一模塊一歸類(lèi)——同號(hào)相加，同分母相加【例1】計(jì)算：?0.5?【答案】?1【分析】按照有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．【詳解】原式＝?0.5+3.2+2.8?6.5=(?0.5?6.5)+(3.2+2.8)=(?7)+6

=?1．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則和運(yùn)算律．【例2】計(jì)算：?17?【答案】0【分析】利用有理數(shù)的加減運(yùn)算的法則進(jìn)行求解即可；【詳解】解：原式===?30+30=0【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【例3】計(jì)算(1)1(2)24【答案】(1)?(2)2【分析】（1）首先去括號(hào)，然后把同分母分?jǐn)?shù)相加減，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則求解即可；（2）首先去括號(hào)，然后把同分母分?jǐn)?shù)相加減，再根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式====?3（2）解：原式=2==3?1=2；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減法，熟知相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1】計(jì)算：?5?4+8+1【答案】0【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；【詳解】解：?5?4+8+1==?9+9=0【變式2】計(jì)算：?1.25?(?3.5)+(?2.75)．【答案】?0.5【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則，正確解題即可.【詳解】解：?1.25?(?3.5)+(?2.75)=?1.25+3.5?2.75=?1.25?2.75=?4+3.5=?0.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的加減運(yùn)算，掌握“有理數(shù)的加減運(yùn)算的運(yùn)算法則以及利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算”是解本題的關(guān)鍵．【變式3】計(jì)算：56【答案】?1【分析】先把減法轉(zhuǎn)化成加法，進(jìn)行加法運(yùn)算即可．【詳解】解：5====2?3

=?1【點(diǎn)睛】此題考查了加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4】計(jì)算(1)?2+(2)?40?28?【答案】(1)1(2)?41【分析】（1）結(jié)合相反數(shù)的定義，根據(jù)整數(shù)的加減運(yùn)算法則直接求解即可得到答案；（2）結(jié)合相反數(shù)的定義，根據(jù)有整數(shù)的加減運(yùn)算法則直接計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：?2+=?2?3+10?4=?2?3?4=?9+10=1；（2）解：?40?28?=?40?28+19?24+32==?92+51=?41．模塊二模塊二湊整——將易通分或能“湊0”、“湊整”的數(shù)相結(jié)合【例1】?35【答案】?10【分析】用乘法交換律和乘法結(jié)合律進(jìn)行就算即可．【詳解】解：原式==?20+10=?10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握加法運(yùn)算律在有理數(shù)范圍依舊適用．【例2】3【答案】5【分析】根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式=3==3+2+=51【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，屬于基本題型，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【例3】計(jì)算：31【答案】2【分析】利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則與運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：原式==0+0+2=2．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵．【變式1】計(jì)算：+1【答案】6.1【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：+===?=?0.4+6+0.5=6.1．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：?0.6【答案】8【分析】運(yùn)用有理數(shù)加法結(jié)合律計(jì)算即可．【詳解】解：原式====8【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加減運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減法法則是解題的關(guān)鍵．【變式3】計(jì)算：?2008【答案】?1【分析】先分組，將?20092【詳解】解：?2008==2009+==?11【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握正確的計(jì)算順序是解題的關(guān)鍵．模塊三模塊三變序——逆向思維，方便約分和計(jì)算【例1】計(jì)算：?23×25?6×25+18×25+25【答案】?250【分析】（1）根據(jù)逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解；【詳解】解：原式=25×(?23?6+18+1)=25×(?10)=?250；【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則以及運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【例2】計(jì)算：?0.25÷【答案】7【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式=?=?=7【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【例3】計(jì)算：?2.5【答案】?20【分析】先化除法為乘法，然后根據(jù)乘法交換律，即可．【詳解】?2.5===10×=?20．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘除混合運(yùn)算．【變式1】計(jì)算：?45×21【答案】5【分析】利用有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算解答即可【詳解】解：原式==?45×(?=5．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘除的混合運(yùn)算，對(duì)于含有分?jǐn)?shù)的乘除混合運(yùn)算，一般是統(tǒng)一為乘法運(yùn)算，然后約分．【變式2】簡(jiǎn)便計(jì)算(1)?3.85(2)?13【答案】(1)130.79(2)?28【詳解】（1）?3.85===130+0.79=130.79（2）?13=====?28【變式3】用簡(jiǎn)便算法計(jì)算：1【答案】25【分析】將0.125改寫(xiě)為18【詳解】（1）解：原式====25．模塊四模塊四組合——找出規(guī)律，重新組合，然后通過(guò)約分或抵消簡(jiǎn)化題目【例1】計(jì)算?1+2?3+4?5+6+????2017+2018?2019的值等于（

）A．?1010 B．?1009 C．1010 D．1009【答案】A【分析】先根據(jù)算式找出規(guī)律，第1，2兩個(gè)相加為1，第3，4兩個(gè)數(shù)相加為1，第5，6兩個(gè)數(shù)相加為1，依次類(lèi)推，直到第2017與2018兩個(gè)數(shù)相加，最后還剩?2019，再相加得出結(jié)果即可．【詳解】解：?1+2?3+4?5+6+????2017+2018?2019=1+1+1+???+1?2019=1009?2019=?1010．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，準(zhǔn)確計(jì)算．【例2】計(jì)算：(1【答案】2021【分析】先去括號(hào)寫(xiě)成乘法的形式，再約分計(jì)算即可.【詳解】1===2021【點(diǎn)睛】本題考查有歷史的乘法，根據(jù)式子特點(diǎn)，去括號(hào)后約分是解題的關(guān)鍵.【變式1】計(jì)算：1?3+5?7+9?11+…+97?99【答案】50【分析】把原式寫(xiě)成(1?3)+(5?7)+(9?11)+…+(97?99)，一共有25個(gè)?2，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：1?3+5?7+9?11+…+97?99=(1?3)+(5?7)+(9?11)+…+(97?99)==?50．【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)的加減運(yùn)算，找出規(guī)律，準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算:1?1【答案】1【分析】先計(jì)算括號(hào)里的值，然后求解計(jì)算即可；【詳解】解：1?==【變式3】(1+3+5+…+2017+2019+2021)?(2+4+6+…+2018+2020+2022)=_____．【答案】?1011【分析】先去括號(hào)，再根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)算即可；【詳解】解：（1+3+5+…+2017+2019+2021）?（2+4+6+…+2018+2022）=1+3+5+…+2017+2019+2021?2?4?6?…?2018?2022，=(1?2)+(3?4)+(5?6)+…+(2017?2018)+(2019?2020)+(2021?2022)，＝(?1)+(?1)+…+(?1)=?1011．故答案為：?1011．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握加法交換律和加法結(jié)合律的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．模塊五模塊五拆分——相互抵消，化繁為簡(jiǎn)【例1】簡(jiǎn)便計(jì)算(1)91(2)26【答案】(1)?3311(2)?29【詳解】（1）91==92×=?3312+=?3311（2）26==26×=?28?1=?29【例2】用簡(jiǎn)便算法計(jì)算：49【答案】?249【分析】將492425改寫(xiě)為【詳解】解：原式==50×=?250+=?249【例3】觀察下面的變形規(guī)律：11×2=1?12，解答下面的問(wèn)題：（1）14×5=，1（2）若n為正整數(shù)，猜想1nn+1（3）求值11×2【答案】（1）14?15，12017【分析】（1）根據(jù)連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差得出答案；（2）利用以上所得規(guī)律即可得出答案；（3）利用1n【詳解】解：（1）14×5=1故答案為：14?1（2）1n故答案為：1n（3）1=1?=1?=20172018【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差的規(guī)律．【變式1】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算(1)6(2)999×1184【答案】(1)?415【分析】（1）將63536寫(xiě)成7?136，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將【詳解】解：(1)6==?42+=?415(2)原式=999×=999×100=99900.【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的乘法分配律及其逆運(yùn)算，（1）中將帶分?jǐn)?shù)拆分成與其相近的整數(shù)加減其它分?jǐn)?shù)表示的方法，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算很簡(jiǎn)便；（2）中要將每組乘法中的一個(gè)因式寫(xiě)成同一個(gè)數(shù)的形式，再利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，以達(dá)到簡(jiǎn)便的目的.【變式2】我們知道：12(1)12(2)試根據(jù)上面規(guī)律，計(jì)算：(1【答案】(1)1(2)?【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）先計(jì)算括號(hào)，再根據(jù)（1）中規(guī)律計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：12故答案為：1n+1（2）解：(==?【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，熟知有理數(shù)的乘法法則是解題關(guān)鍵，注意多個(gè)非0的有理數(shù)相乘，要根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)先確定好積的符號(hào)．【變式3】觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1＝11×4＝13×（11第2個(gè)等式：a2＝14×7＝13×（14第3個(gè)等式：a3＝17×10＝13×（17第4個(gè)等式：a4＝110×13＝13×（110…請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5＝＝；第n（n為正整數(shù)）個(gè)等式：an＝＝；（2）求a1+a2+a3+a4+…+a2019的值；（3）數(shù)學(xué)符號(hào)x?1nfx【答案】（1）113×16，13×（113?116），1(3n?2)(3n+1)，1【分析】（1）根據(jù)已知的四個(gè)等式可得答案；（2）a1+a2+a3+a4+…+a2019＝11×4+14×7+（3）x?1183x2+3x＝x?1183x(x+3)＝31×4+3【詳解】解：（1）按以上規(guī)律知第5個(gè)等式為a5＝113×16＝13×（第n個(gè)等式an＝1(3n?2)(3n+1)＝13×（故答案為113×16，13×（113?116），（2）a1+a2+a3+a4+…+a2019＝11×4+14×7＝13×（1﹣14）+13×（14?17）+1＝13×（1﹣14+14﹣17?＝13×（1﹣1＝13×＝20196058（3）x?1＝x?1＝31×4+32×5＝3×（11×4+1＝3×[13×（1﹣14）+13×（12﹣15）+13×（13﹣1＝1﹣14+12﹣15+13﹣16+14﹣17+15﹣18+16﹣19+17﹣110+18＝1+12+13﹣119﹣＝44772660【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：有理數(shù)運(yùn)算規(guī)律.掌握運(yùn)算法則，觀察總結(jié)規(guī)律是關(guān)鍵.模塊六模塊六課后作業(yè)1．計(jì)算：?8+【答案】?19【分析】根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式=?8?=?20+(=?20+=?191【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．2．計(jì)算：(1)6+?22(2)?0.6??2.75【答案】(1)?13(2)5.8【分析】（1）運(yùn)用加法結(jié)合律并結(jié)合有理數(shù)加減法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律并結(jié)合有理數(shù)加減法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：6+==?16+3=?13．（2）?0.6?==?0.2+6=5.8．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加減混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算定律．3．計(jì)算：(1)?20(2)3【答案】(1)?10(2)6【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式=?20+12+5?7=?10；（2）解：原式=3==3+3=6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．4．計(jì)算：(1)?5?4+8+1(2)+4【答案】(1)0(2)10【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：?5?4+8+1==?9+9=0；（2）解：+4==20?10=10．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．計(jì)算(1)0.25×(2)?72【答案】(1)1(2)-30【分析】（1）先利用乘法交換律進(jìn)行變形，再根據(jù)乘法法則計(jì)算即可；（2）先把減法轉(zhuǎn)化為加法，然后將尾數(shù)相同的利用加法結(jié)合律結(jié)合在一起，最后根據(jù)加法法則計(jì)算即可．（1）解：0.25×=0.25×=?1×=1（2）解：?72===?50+20=?30．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．6．計(jì)算題(1)(?2)+(+8)+(?8)；(2)1.9+(?4.4)?(?8.1)?(+5.6)；(3)(?1(4)(?80)×(?4(5)?5×(?11(6)1915【答案】(1)?2(2)0；(3)?3(4)4；(5)?11(6)?159【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（3）根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算；（4）先去掉絕對(duì)值，然后根據(jù)有理數(shù)的乘除法即可解答本題；（5）根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算；（6）把191516寫(xiě)成【詳解】（1）解：(?2)+(+8)+(?8)=?2+8?8=?2；（2）解：1.9+(?4.4)?(?8.1)?(+5.6)=1.9?4.4+8.1?5.6

=(1.9+8.1)+(?4.4?5.6)=10?10=0；（3）解：(?==18+6?27=?3；（4）解：(?80)×(?=80×=4；（5）解：?5×(?===?11；（6）解：19=(20?=20×(?8)?=?160+=?1591【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過(guò)程得到簡(jiǎn)化．7．計(jì)算題．(1)?(2)5【答案】(1)?90(2)4【分析】（1）逆用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)算；（2）先去括號(hào)，再?gòu)淖蟮接乙来芜M(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：原式=====?90；（2）原式=====4【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：(1)?47(2)?66×4??2.5(3)?(4)4923【答案】(1)?7(2)?289(3)5(4)2398【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則，結(jié)合加法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則，結(jié)合乘法運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（4）將492324變?yōu)椤驹斀狻浚?）解：?4=?4==?8+1=?7；（2）解：?66×4?=?66×4?2.5÷=?264?2.5×10=?264?25=?289；（3）解：?==4×==5；（4）解：49==50×48?=2400?2=2398．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，加法運(yùn)算律，乘法運(yùn)算律，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9．用簡(jiǎn)便算法計(jì)算：(1)49(2)1【答案】(1)?249(2)25【分析】（1）將492425改寫(xiě)為（2）將0.125改寫(xiě)為18【詳解】（1）解：原式==50×=?250+=?2494（2）解：原式====25．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，加法運(yùn)算律和乘法運(yùn)算律在有理數(shù)范圍依然適用．10．（1）121212猜想：12（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：①計(jì)算：1②將2020減去它的12，再減去余下的13，再減去余下的14【答案】（1）13；14；15；1【分析】（1）約分計(jì)算即可求解；（2）①先算括號(hào)里面的減法，再約分計(jì)算即可求解；②根據(jù)題意列出算式2020×(1?1【詳解】解：（1）1212112故答案為：13；14；15（2）①(=?=?1②依題意有：2020×(1?=2020×=1．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，第（2）問(wèn)根據(jù)題意列出算式是解本題的關(guān)鍵