2020-2021學年山東省濟南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年山東省濟南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（4分）下列四個圖分別是山東航空、重慶航空、海南航空和春秋航空公司的標志，其中屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）若a＞b，則下列式子正確的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)﹣4＞b﹣4 D．5﹣a＞5﹣b3．（4分）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），B（3，﹣1），平移線段AB，使點B落在點B1（﹣1，﹣2）處，則點A的對應點A1的坐標為（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）5．（4分）方程x2﹣5x+a＝0的一個根是x＝2，則a的值是（）A．6 B．﹣6 C．8 D．146．（4分）下列說法判斷錯誤的是（）A．對角線相互平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線相互垂直平分的四邊形是菱形 D．對角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形7．（4分）若正多邊形的一個外角是40°，則這個正多邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1260°8．（4分）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BC邊的中點，若△ADC的周長為16，則△COE的周長是（）A．4 B．6 C．8 D．109．（4分）如圖，已知P是∠AOB的角平分線上的一點，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中點，點C是OB上的一個動點，若PC的最小值為3cm，則MD的長度為（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm10．（4分）若關于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值有可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．011．（4分）如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣1相交于點P（﹣1，2），則關于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．12．（4分）如圖，矩形OABC的頂點O（0，0），AC＝4，BO與x軸負半軸的夾角為60°，若矩形繞點O順時針旋轉，每秒旋轉60°，則第2021秒時，矩形的對角線交點D的坐標為（）A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）二、填空題（本大題共6個小題）13．（4分）因式分解：4a2﹣1＝．14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長是．15．（4分）方程的解是．16．（4分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若AB＝5，AC＝6，則菱形ABCD的面積為．17．（4分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的兩個實數(shù)根，則α+β的值是．18．（4分）如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短長度為；④若∠BAP＝30°時，則EF的長度為2．其中結論正確的有．三、解答題（本大題共8題）19．（6分）解不等式組：20．（6分）化簡：（1+）÷．21．（6分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA和OC的中點DC．求證：DE＝BF．22．（8分）（1）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy；（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．23．（8分）“脫貧攻堅，交通先行”，某內(nèi)陸貧困縣，為了促進經(jīng)濟發(fā)展，把距離港口城市360km的普通公路升級成了同等長度的高速公路，結果汽車行駛的平均速度比原來提高了50%，行駛時間縮短了2h，求汽車原來的平均速度．24．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．連接DE交AC于點F．（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由；（2）試判斷DF與AB的關系，并說明理由．25．（10分）開發(fā)商準備以每平方米20000元價格出售某樓盤，為遵循政府有關房地產(chǎn)的調控政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米16200元的價格銷售．（1）求平均每次下調的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開發(fā)商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？26．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，CD＝28cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以3cm/s的速度向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）當四邊形PBCQ是平行四邊形時，求t的值；（2）當t＝時，四邊形APQD是矩形；若AD＝16cm且點Q的移動速度不變，要使四邊形APQD能夠成為正方形，則P點移動速度是cm/s；（3）在點P、Q運動過程中，若四邊形PBQD能夠成為菱形，求AD的長度．27．（12分）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．①請按要求畫圖：將ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B'，點C的對應點為C′；②連接BB′，此時∠ABB′＝°；【問題解決】在某次數(shù)學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過同學們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關系．…請參考他們的想法，完成該問題的解答過程；【學以致用】（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點，且PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB；【思維拓展】（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值＝；②如圖4，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝，PC＝，求∠APB的度數(shù)．附加題（本大題共3個題，得分單獨評價）28．已知點D與點A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x，y）是平行四邊形的四個頂點，其中x、y滿足3x﹣4y+12＝0，則CD的最小值為．29．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三個根可以作為一個三角形的三邊之長，則m的取值范圍：．30．已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN＝45°，連接MN．若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想該三角形的形狀，并證明你的結論．

2020-2021學年山東省濟南市歷下區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（4分）下列四個圖分別是山東航空、重慶航空、海南航空和春秋航空公司的標志，其中屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．2．（4分）若a＞b，則下列式子正確的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)﹣4＞b﹣4 D．5﹣a＞5﹣b【解答】解：A、不等式a＞b的兩邊都乘以﹣2，不等號的方向改變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；B、不等式a＞b的兩邊都除以3，不等號的方向不變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；C、不等式a＞b的兩邊都減去4，不等號的方向不變，原變形正確，故此選項符合題意；D、不等式a＞b的兩邊都乘以﹣1，再加上5，不等號的方向改變，原變形錯誤，故此選項不符合題意；故選：C．3．（4分）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最簡分式，符合題意；B、＝，不是最簡分式，不合題意；C、＝，不是最簡分式，不合題意；D、＝，不是最簡分式，不合題意；故選：A．4．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，1），B（3，﹣1），平移線段AB，使點B落在點B1（﹣1，﹣2）處，則點A的對應點A1的坐標為（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）【解答】解：∵B（3，﹣1），平移線段AB，使點B落在點B1（﹣1，﹣2）處，∴線段向左平移4個單位，向下平移1個單位，∵A（2，1），∴點A的對應點A1的坐標為（2﹣4，1﹣1），即A1的坐標為（﹣2，0），故選：B．5．（4分）方程x2﹣5x+a＝0的一個根是x＝2，則a的值是（）A．6 B．﹣6 C．8 D．14【解答】解：∵方程x2﹣5x+a＝0的一個根是x＝2，∴22﹣5×2+a＝0，解得：a＝6，故選：A．6．（4分）下列說法判斷錯誤的是（）A．對角線相互平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線相互垂直平分的四邊形是菱形 D．對角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形【解答】解：A、對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、對角線相等的平行四邊形是矩形，符合題意；C、對角線相互垂直平分的四邊形是菱形，不符合題意；D、對角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形，不符合題意；故選：B．7．（4分）若正多邊形的一個外角是40°，則這個正多邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1260°【解答】解：正多邊形的每個外角相等，且其和為360°，據(jù)此可得＝40°，解得n＝9，（9﹣2）×180°＝1260°，即這個正多邊形的內(nèi)角和為1260°．故選：D．8．（4分）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E是BC邊的中點，若△ADC的周長為16，則△COE的周長是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又△ADC的周長為16，∴△ABC的周長＝16．∵E是BC中點，∴OE是△ABC的中位線，BE＝CE，∴OE＝AB，∴△OEC的周長＝△ABC的周長＝×16＝8故選：C．9．（4分）如圖，已知P是∠AOB的角平分線上的一點，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中點，點C是OB上的一個動點，若PC的最小值為3cm，則MD的長度為（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm【解答】解：作PC⊥OB于C，則此時PC最小，∵P是∠AOB的角平分線上的一點，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD＝PC＝3cm，∠AOP＝30°，∴OP＝2PD＝6cm，∵PD⊥OA，M是OP的中點，∴DM＝OP＝3（cm），故選：A．10．（4分）若關于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值有可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．0【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜．故選：D．11．（4分）如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣1相交于點P（﹣1，2），則關于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)圖象得，當x＜﹣1時，x+m＜kx﹣1．故選：D．12．（4分）如圖，矩形OABC的頂點O（0，0），AC＝4，BO與x軸負半軸的夾角為60°，若矩形繞點O順時針旋轉，每秒旋轉60°，則第2021秒時，矩形的對角線交點D的坐標為（）A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）【解答】解：如圖，∵四邊形ABCO是矩形，∴AC＝OB＝4，AD＝CD，OD＝BD，∴OD＝2，∵每秒旋轉60°，6次應該循環(huán)，2021÷6＝336???5，∴點D在X軸的負半軸上，D（﹣2，0）．故選：C．二、填空題（本大題共6個小題）13．（4分）因式分解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．故答案為：（2a+1）（2a﹣1）．14．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長是16．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，∴平行四邊形ABCD的周長是2AD+2DC＝10+6＝16．故答案為：16．15．（4分）方程的解是3．【解答】解：方程的兩邊同乘（x﹣4），得2﹣（x﹣1）＝0，解得x＝3．檢驗：把x＝3代入（x﹣4）＝﹣1≠0．∴原方程的解為：x＝3．16．（4分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若AB＝5，AC＝6，則菱形ABCD的面積為24．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，在Rt△AOB中，OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∴菱形ABCD的面積＝＝24，故答案為24．17．（4分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的兩個實數(shù)根，則α+β的值是3．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的兩個實數(shù)根，∴α+β＝3，故答案為3．18．（4分）如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上任一點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF．給出以下4個結論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短長度為；④若∠BAP＝30°時，則EF的長度為2．其中結論正確的有①②③．【解答】解：①如圖，連接PC，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF，故①正確；②延長AP交BC于點G，由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，∵PE∥AB，∴∠EPG＝∠BAP，∴∠EPG＝∠PFE，∵∠EPF＝90°，∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，∴AP⊥EF，故②正確；③當AP⊥BD時，AP有最小值為，此時P為BD的中點，由①可知EF＝AP，∴EF的最短長度為，故③正確；④當點P在點B或點D位置時，AP＝AB＝2，∴EF＝AP≤2，∴當∠BAP＝30°時，AP＜2，即EF的長度不可能為2，故④不正確；綜上可知正確的結論為①②③，故答案為：①②③．三、解答題（本大題共8題）19．（6分）解不等式組：【解答】解：原不等式組為∵解不等式①，得x≥2，解不等式②得，得x＜4，∴原不等式組的解集是2≤x＜4．20．（6分）化簡：（1+）÷．【解答】解：原式＝＝＝＝＝a+2．21．（6分）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA和OC的中點DC．求證：DE＝BF．【解答】證明：如圖，連接DF、BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F(xiàn)分別為AO，OC的中點，∴，，∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴DE＝BF．22．（8分）（1）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy；（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．【解答】解：（1）x3y﹣6x2y+9xy＝xy（x2﹣6x+9）＝xy（x﹣3）2；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0．∴（x﹣6）（x+2）＝0，∴x﹣6＝0或x+2＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2．23．（8分）“脫貧攻堅，交通先行”，某內(nèi)陸貧困縣，為了促進經(jīng)濟發(fā)展，把距離港口城市360km的普通公路升級成了同等長度的高速公路，結果汽車行駛的平均速度比原來提高了50%，行駛時間縮短了2h，求汽車原來的平均速度．【解答】解：設汽車原來的平均速度是xkm/h，依題意得：，解得：x＝60．經(jīng)檢驗：x＝60是原方程的解，且符合題意．答：汽車原來的平均速度60km/h．24．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．連接DE交AC于點F．（1）試判斷四邊形ADCE的形狀，并說明理由；（2）試判斷DF與AB的關系，并說明理由．【解答】解：（1）四邊形ADCE為矩形，理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴，，∴，在△ABC中，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）DF∥AB，，理由：∵四邊形ADCE是矩形，∴AF＝CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，∴DF是△ABC的中位線，即DF∥AB，．25．（10分）開發(fā)商準備以每平方米20000元價格出售某樓盤，為遵循政府有關房地產(chǎn)的調控政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米16200元的價格銷售．（1）求平均每次下調的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開發(fā)商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？【解答】解：（1）設平均每次下調的百分率是x，根據(jù)題意列方程得，20000（1﹣x）2＝16200，解得：x1＝10%，x2＝190%（不合題意，舍去），答：平均每次下調的百分率為10%；（2）20000（1﹣5%）（1﹣15%）＝16150＜16200∴房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠．26．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，CD＝28cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以3cm/s的速度向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）當四邊形PBCQ是平行四邊形時，求t的值；（2）當t＝7時，四邊形APQD是矩形；若AD＝16cm且點Q的移動速度不變，要使四邊形APQD能夠成為正方形，則P點移動速度是4cm/s；（3）在點P、Q運動過程中，若四邊形PBQD能夠成為菱形，求AD的長度．【解答】解：（1）當四邊形PBCQ是平行四邊形時，PB＝CQ，∴18﹣t＝3t，解得t＝4.5．（2）∵在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，∴當AP＝DQ時，四邊形APQD是矩形，∴t＝28﹣3t，解得：t＝7，∴當t＝7時，四邊形APQD是矩形；∵四邊形APQD是正方形，∴AD＝DQ，AP＝DQ，∵AD＝16cm，∴16＝28﹣3t，解得：t＝4，∴P點移動速度是＝4（cm/s），故答案為7，4；（3）如圖，若四邊形PBQD是菱形，則BP＝DQ＝DP，∴18﹣t＝28﹣3t，解得t＝5．∴AP＝5cm，BP＝DQ＝13cm，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴∠A＝90°，在Rt△DAP中，．27．（12分）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．①請按要求畫圖：將ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B'，點C的對應點為C′；②連接BB′，此時∠ABB′＝45°；【問題解決】在某次數(shù)學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經(jīng)過同學們的觀察、分析、思考、交流，對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關系．…請參考他們的想法，完成該問題的解答過程；【學以致用】（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點，且PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB；【思維拓展】（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值＝2+2；②如圖4，若點P是正方形ABCD外一點，PA＝3，PB＝，PC＝，求∠APB的度數(shù)．【解答】（1）解：①如圖1所示，△AB'C'即為所求；②連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，如圖1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案為：45°；【問題解決】（2）如圖2，∵將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP'B，∴AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，∴△APP'是等邊三角形，∴PP'＝3，∠AP'P＝60°，∵∠AP'B＝∠APC＝150°，∴∠BP'P＝∠AP'B﹣∠AP'P＝90°，∴．【學以致用】（3）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，將△BCP繞點C順時針旋轉90°得到△ACP'，連接PP'，則∠PCP'＝90°，，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC＝135°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，，∴∠AP'P＝∠AP'C﹣∠CP'P＝135°﹣45°＝90°，∴．【思維拓展】（4）①如圖4，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．以B為中心，將△APB逆時針旋轉60°得到△A1P1B．則A1B＝AB＝BC＝4，PA＝P1A1，PB＝P1B＝P1P，∴PA+PB+PC＝P1A1+P1P+PC．∵當A1、P1、P、C四點共線時，（P1A+P1B+PC）最短，即線段A1C最短，∴A1C＝PA+PB+PC，∴A1C長度即為所求．過A1作A1D⊥CB延長線于D．∵∠A1BA＝60°（由旋轉可知），∴∠A1BD＝30°．∵A1B＝4，∴A1D＝2，BD＝2，∴CD＝4+2；在Rt△A1DC中，A1C＝＝＝2+2．故答案為．②將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到△BP'A，連接PP'，∴∠PBP'＝90°，，，∴△BPP'是等腰直角