數(shù)學(xué)選修2-2定積分的概念練習(xí)題含答案

數(shù)學(xué)選修2-2定積分的概念練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.已知梯形ZBCD中，AD//BC,如果中位線(xiàn)E尸的長(zhǎng)為6cm,BC=2AD,那么4。的長(zhǎng)

是（）

BL---------------------------V?

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

2.Asinxdx=（）

A.-2B.OC.2D.l

3.曲線(xiàn)y=sinx（0WxWyr）與x軸所圍成圖形的面積為（）

A.1B.2C,20.71

4.2xdx=（）

A.6B.5C.4D.3

5.曲線(xiàn)y=x—/與％軸所圍成的封閉圖形的面積是（）

A.；B.lC.1D.2

6.定積分/：（2x+｝dx的值為（）

A.e2—1B.e2C.e2+1D.e2+2

2

7.已知數(shù)列｛Qn｝是等比數(shù)列，且02013+Q2015="8—xdx.則。2014缶2012+

2a2014+。2016）的值為（）

A.（7r+1）2B.47T2C.l67r2D.（7T+2）2

8.拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)y=x-8所圍成圖形的面積為（）

A.84B.168C.36D.72

2,xe[-l,1)

9.設(shè)f(x),則f"(x)dx=(

1,xG[1,2]

B.-+3

10.設(shè)/'(x)=則口/(%)公=()

B.e4+eC.-e"+e?+2D.e4+e2-2

11.在梯形相交于點(diǎn)

，若=5,=12,中位線(xiàn)長(zhǎng)為當(dāng)，△的面積為

12.已知Q€[0,J則當(dāng)cosx-sin%)d%取最大值時(shí)，a=

13.仁\[xdx=.

14.由％=0,%=wy=0相y=cosx圍成的封閉圖形面積是

15.定積分J^sinxdx=

16.cos2；d%+心V1—x2dx=.

17.f：(2x+71—%，)dx=

18.若A-5|d%=25,則（2%-1尸的二項(xiàng)展開(kāi)式中/的系數(shù)為

試卷第2頁(yè)，總28頁(yè)

19.計(jì)算：J4-(x-2尸dx=.

20.sin2.

21.圓外切等腰梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)是10cm,那么它的腰長(zhǎng)是10cm.

22.由曲線(xiàn)y=：與直線(xiàn)y=x—1及x=1所圍成的封閉圖形的面積為

23.求拋物線(xiàn)y=3-2x-M與％軸圍成的封閉圖形的面積.

24.利用定積分的幾何意義表示下列曲線(xiàn)圍成的平面區(qū)域的面積

(1)y=2%與y=3-x2；

(2)y=|sinx|,y=0,x=2,%=5；

(3)y=log|x(log以g為底，%的對(duì)數(shù))，y=0,%=|,%=3.

25.求由曲線(xiàn)y=cosx(04x號(hào))與直線(xiàn)％=0,y=0所圍成的圖形的面積.

26.計(jì)算下列定積分：

(1)J；x4dx；

(2)A12x5dx；

(3)(%3+x)dx；

(4)A14x3dx.

t,0<t<20

27.做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的速度方程是u(t)=20,20<t<80(單位：m/s).

,100-t,80<t<100

(1)求該質(zhì)點(diǎn)從t=10s至肚=30s時(shí)所走過(guò)的路程；

(2)求該質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)結(jié)束共走過(guò)的路程.

28.計(jì)算由曲線(xiàn)必=2刈直線(xiàn)y=x-4所圍成的圖形的面積.

29.計(jì)算下列積分

(1)f\V1—x2dx

J-1

7T

(2)f2(cos--sin-)2dx.

022

30.計(jì)算由y=/一2久+3,y=%+3所圍成的封閉圖形的面積.

31.求定積分口/(x)dx,其中/(x)=『；2(獸:°).

33.利用定積分的幾何意義計(jì)算.

(1)f^xdx；

22

(2)f^Ry/R—xdx.

34.求由拋物線(xiàn)y2=4%與直線(xiàn)y=x-3所圍成的平面圖形的面積.

35.計(jì)算定積分：

⑴生)=犀建箕為求。⑴改

試卷第4頁(yè)，總28頁(yè)

,、2/------

(2)r%Vx—1dx,

,

36.計(jì)算：J^/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy9其中/''(%)連續(xù)，L為從點(diǎn)4(2,2兀)沿圓

周(％-I/+(y-〃)2=1+兀2按逆時(shí)針?lè)较虻給(o,0).

37.設(shè)河二。式/—Q%+匕產(chǎn)4%,求q,b為何值時(shí)，M最小.

38.計(jì)算下列定積分

(l)J^(2x-x2)dx；

(2)，(3-2x)dx；

(3)^^x2dx；

(4)f^cosxdx.

39.求定積分：\x-a\dx.

40.求J37==dx.

JV3x+1

參考答案與試題解析

數(shù)學(xué)選修2-2定積分的概念練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

曲邊梯形的面積

【解析】

根據(jù)梯形的中位線(xiàn)定理，貝|JEF=：Q4D+BC),再由BC=24D,求出4D即可.

【解答】

???EF是梯形的中位線(xiàn)，

EF=*4D+BC),

.BC—2.AD1EF=6cm,

6=+2AD),

AD=4cm.

2.

【答案】

c

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：sinxdx=(―COSX)|Q=1—(-1)=2.

故選C.

3.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

曲線(xiàn)y=sinx(0<x<〃)與x軸所圍成圖形的面積，就是正弦函數(shù)y=sinx在［0,網(wǎng)上的

定積分.

【解答】

解：曲線(xiàn)y=sinx(0WxW兀)與4軸所圍成圖形的面積為：

「sinxdx=(―cosx)|o=-COSTT—(―cosO)=2.

故選B.

4.

試卷第6頁(yè)，總28頁(yè)

【答案】

D

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

直接根據(jù)定積分的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

解：f^2xdx=x2\l=22-I2=3

故選D.

5.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

要求曲線(xiàn)y=x-/與x軸圍成的封閉圖形面積，根據(jù)定積分的幾何意義，只要求

2fg(x—/)dx即可.

【解答】

解：y=%-爐與”軸的交點(diǎn)(-1,0),(0,0),(1,0)且函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

S=2f^(x-x3)dx=2(1x2-^x4)|Jdx=2(|-i)

故選B.

6.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)積分公式直接進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】

解：2x+^)dx=(x2+lnx)|=e2+Ine-l2—Ini=e2,

故選：B.

7.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

求定積分可得。2。13+02015=兀+2,由等比數(shù)列的性質(zhì)變形可得。2。14(。2012+

2a2014+a2016)=(a2013+。2015)2，代值計(jì)算可得.

【解答】

解:由定積分的幾何意義可得J；VSRdx.

f2后7J1c871—16,r

LV8—%2dx=-x7rx8----------=兀+2.

Jo48

故412013+?2015=JQy/8-X2dx=It+2.

a2014(a2012+2G2014+a2016)

=a2014'a2012+2a2014,a2014+a2014,a2016

=020132+2a2013,Q2015+Q20152

=(@2013+a2015)2=(兀+2)2

故選：D.

8.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

聯(lián)解可得拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)y=%-8交于4（4,一4）和8（16,8）,然后將兩個(gè)曲線(xiàn)看

成關(guān)于y的函數(shù)，得所圍成的圖形面積的s=「j（y+8）-；y2]dy,再利用積分計(jì)算

公式和運(yùn)算法則，即可算出所求面積.

【解答】

解：拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)y=x—8方程聯(lián)解，得|『二,松;普

?1.兩個(gè)圖象交于點(diǎn)4(4,一4),8(16,8)

由拋物線(xiàn)y2=4x得x=(y2,由直線(xiàn)y=x-8得x=y+8

將兩個(gè)曲線(xiàn)看成關(guān)于y的函數(shù)，得所圍成的圖形面積為

S=JJ⑶+8)-%2]dy=(|y2+8y-^y3)\-4

1111

=(-X82+8X8-—X83)-[-X(-4)2+8x(-4)--x(-4)3]=72

4J.乙.4

故選：D

9.

試卷第8頁(yè)，總28頁(yè)

【答案】

A

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

解：根據(jù)定積分性質(zhì)可得廣"(無(wú))dx=。］(行中)dx+-i)dx,

根據(jù)定積分的幾何意義，是以原點(diǎn)為圓心，

以1為半徑的圓的面積的土

C(、l_%2)dx=p

f^f(x)dx=^+(i%3-^)1?=7+1.

故選4

10.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)積分公式進(jìn)行分段求解即可.

【解答】

解：???/(x)=eW,

當(dāng)一2<%<。時(shí)，/(x)—e㈤-e~x,

當(dāng)04%44時(shí),/(x)=el。=ex,

xx-x244

J：2f(x)dx=J°2e~dx+J；edx=—e|°2+e"才=—1+e+e—e0=e+

e2—2,

故選：D.

二、填空題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

11.

【答案】

ABCD.AB.CD^C.BD^.AC.BD.AOB.S^△C。。的面積為$2，則底+醫(yī)=同

【考點(diǎn)】

勾股定理的逆定理

梯形

曲邊梯形的面積

【解析】

作BE〃AC,從而得到平行四邊形ACEB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中位線(xiàn)定理可求得

DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到^OBE為直角三角形，根據(jù)面積公式可求得梯

形的高，因?yàn)椤?。3和4COD的面積之和等于梯形的面積從而不難求解.

【解答】

件BE“AC,

ABIICE,：.CE=AB,

???梯形中位線(xiàn)為6.5,

AB+CD=13,

??.DE=CE+CD=AB+CD=13,

vBE=AC=S,BD=12,由勾股定理的逆定理，

得為直角三角形，即4EBD=ZTOD=90°,

設(shè)SAEBO=S,

則S2：S=D02：￡)B2,

S1.S=OB2：BD2,

?同+醫(yī)=器遮+器遮=鬻遮=底

S=12x5x-=30,

2

yfS[+yfS^=V30.

故

12.

【答案】

7T

4

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

先根據(jù)定積分的定義表示出J；(cosx-sinx)dx,然后利用三角函數(shù)中輔助角公式進(jìn)行

化簡(jiǎn)，即可求出最值，從而求出此時(shí)的a的值.

【解答】

解：(cosx—sinx)dx=(sinx+COSX)|Q=sina+cosa—(sinO+cosO)

=夜sin(a+^)—1,

當(dāng)a=即寸，(cosx-sinx)dx取最大值夜—1.

故答案為：7

4

13.

【答案】

16-4V2

3

【考點(diǎn)】

定積分

試卷第10頁(yè)，總28頁(yè)

【解析】

求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后代入積分上限和下限后作差得答案.

【解答】

解：^y/xdx=|xz|2

7__n__

，義護(hù)一揚(yáng)

__16-4企

一~3~?

故答案為：嚀g

14.

【答案】

3

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

求由x=O,x=竽，y=0相y=cosx圍成的封閉圖形面積，首先作出余弦函數(shù)y=

cosx在［0,州上的圖象，

由圖象看出封閉圖形有兩部分構(gòu)成，x軸上方的部分直接求余弦函數(shù)在［0,習(xí)上的定積

分，而x軸下方的是余弦函數(shù)在g,學(xué)］上定積分的負(fù)值.

【解答】

解：如圖，

由x=0,x=/,y-0機(jī)=cosx圍成的封閉圖形面積為:

n3nn3兀

"cosxdx—fn2cosxdx=sinx|j—sinx|f=sin^—sinO—(sin—sin-)=1+2=3.

22

故答案為3.

15.

【答案】

2

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

由定積分的定義根據(jù)公式直接變形，求出定積分的值即可

【解答】

解：定積分sinxdx=(-cosx)|o=1+1=2

故答案為：2.

16.

【答案】

7T+1

2

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

利用倍角公式對(duì)COS??進(jìn)行降幕，求出其原函數(shù)，對(duì)于「萬(wàn)？dx的值，我們可以利

用他表示的幾何意義即三角形的面積進(jìn)行求解；

【解答】

解：店cos2；dx=居(1+cosx)dx=?+2sinx|j=?+方

定積分子71一"dx中y=71一%22。在(0,1)上的積分就是圓/+y2=1,在第

一象限的面積，

J：V1—X2dx=-X7T=-,

J。44

cos2-dx+J：y/1—x2dx—-+-+-=

J。2與4242

故答案為：等

17.

【答案】

71

1+4

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

利用定積分的運(yùn)算性質(zhì)以及幾何意義，可以得到所求.

【解答】

解：fg2xdx=x2|J=1,

「VI二Ndx表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的面積的%故J01Vl==

所以C(2x+V1-x2)dx=1+\

故答案為：1+J

4

18.

【答案】

180

【考點(diǎn)】

試卷第12頁(yè)，總28頁(yè)

定積分

【解析】

由題意，先由積分求n值，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出二項(xiàng)式的系數(shù)即可得到所求的

答案

【解答】

解：C|x-51dx=25,n=10.

則(2%—I)】。的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為此()22(—1)8=180,

故答案為180.

19.

【答案】

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

J；J4一(x-2尸dx表示如圖陰影部分的面積,而S掰影=2S-BC+S扇形GW，解得即

可.

【解答】

解：令,4-(X-2r=y,y>0,

(x-2)2+y2=4,

則J；J4-(x-2尸dx表示如圖陰影部分的面積,

??S陰影=2sMB。+S/^CAD=2x-xlx2+-7rx4=2+y,

20.

【答案】

7T—2

4

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)函數(shù)的積分公式即可得到結(jié)論.

【解答】

TT7T兀

解：J^sin2|dx=J^(|-^cosx)dx=(|x-|sinx)|2=?一]=

故答案為：?

4

三、解答題(本題共計(jì)20小題，每題10分，共計(jì)200分)

21.

【答案】

如圖：連接OG,過(guò)戶(hù)作FH_L8C于H

/.乙1=90°,42=90°,FH=OG.

,/EF//BC,

乙DFE=CFCB,

△OGF=△FHC,

FC=OF,

FC=\CD=\EF,

【考點(diǎn)】

等腰梯形的性質(zhì)

曲邊梯形的面積

切線(xiàn)的性質(zhì)

【解析】

連接OG,過(guò)F作FHJ.BC于H,根據(jù)己知可得到△OGFw/iFHC,從而求得FC=OF,

即EF=CD,從而就求得其腰長(zhǎng).

【解答】

如圖：連接。G,過(guò)尸作FHJ.BC于H

41=90°,42=90°,FH=OG.

EF//BC,

：.乙DFE=^FCB,

：.4OGFm4FHC,

：.FC=OF,

：.FC=-CD=-EF,

22

試卷第14頁(yè)，總28頁(yè)

22.

【答案】

1

2ln2--

2

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

（1）先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得被積區(qū)間，再用定積分表示出封閉圖形的面積，進(jìn)而求解

即可.

【解答】

解：畫(huà)圖得：

三個(gè)交點(diǎn)分別是(1,0)，(1,2),(2,1),

故曲線(xiàn)y=:與直線(xiàn)y=x-1及直線(xiàn)％=1所圍成的封閉圖形的面積為：

S=('—x+1)=(2lnx--+x)|^——2ln2-2+24---1——'2ln2--.

故答案為：2ln2—

23.

【答案】

解：由3—2%—%2=o,得％=—3,x=1

2231

S=/23(3—2%—x)dx=(3%—%—1x)|_—3

127

=(3—1——)—(—9-9+—)

_32

=T

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

由由3-2%—%2=。，得％=—3,久=1再由圖形可知求出工從—3到1,3—2%—x2Jt

的定積分即為拋物線(xiàn)y=3-2%-/與％軸圍成的封閉圖形的面積.

【解答】

解：由3—2x—%2=o,得％=—3,x=1

2231

S=/23(3—2%—x)dx=(3%—x—1x)|_—3

127

=(3—1-—(—9-9+—)

_32

=可

24.

【答案】

解：(1)將y=2%代入y=32得/+2x-3=0,解得％=1或%=-3,

試卷第16頁(yè)，總28頁(yè)

(2)S=《|sinx|dx；

(3)S=J?|logix|dx.

22

【考點(diǎn)】

定積分

微積分基本定理

【解析】

根據(jù)積分的幾何意義進(jìn)行表示即可.

【解答】

解：(1)將y=2%代入y=3——得%2+2%—3=0,解得％=1或%=—3,

(2)S=C|sinx|dx；

(3)S=J?|logix|dx.

22

25.

【答案】

由曲線(xiàn)y=cosx(0<x<5)與直線(xiàn)x=0,y=0所圍成的圖形,

店cosxdx=sin^—sinO=l,

故由曲線(xiàn)y=cosx(0<x<)與直線(xiàn)x=0,y=0所圍成的圖形的面積為1

【考點(diǎn)】

微積分基本定理

定積分

【解析】

由曲線(xiàn)y=cosx(0Wx號(hào))與直線(xiàn)x=0,y=0所圍成的圖形，根據(jù)定積分求出面積即

可.

【解答】

由曲線(xiàn)y=cosx(0<x</與直線(xiàn)x=0,y=0所圍成的圖形，

r一7T

JJcosxdx=sin-—sinO=1,

故由曲線(xiàn)、=85%(0<%<J)與直線(xiàn)％=0，y=0所圍成的圖形的面積為1

26.

試卷第18頁(yè)，總28頁(yè)

【答案】

fo—dx=(|x5)|^=：x3$-0=等;

J：2xsdx=(jx6)!^=|x36-|X(-1)6=爭(zhēng)

fo(x3+x)dx=(ix4+|x2)|^=^x34+ix32-0=y；

4x3dx=x4l-i3=34—(-1)4=80.

【考點(diǎn)】

微積分基本定理

定積分

【解析】

直接利用定積分運(yùn)算法則求解即可.

【解答】

fox4dx=(|x5)|g=(x35一0=等；

2x5dx=(|x6)|^=|X36-|X(-1)6=~

fo(x3+x)dx=(*+*)用=;X34+|X32-0=Y：

E4x3dx=”T3=34_(_i)4=80.

27.

【答案】

解：⑴質(zhì)點(diǎn)從t=10s到t=30s時(shí)所走過(guò)的路程s=琮￡丸+琮20dt=|t2|+

20tl防=350m,

(2)質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)結(jié)束共走過(guò)的路程S=f^otdt+琮20dt+C：°(100-

t)dt=-t2|^+20t|煞+(100t--t2)|吸=200+1200+200=1600m.

2020280

【考點(diǎn)】

定積分

分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)路程等于速度在某段時(shí)間的積分.

【解答】

解：⑴質(zhì)點(diǎn)從t=10s到t=30s時(shí)所走過(guò)的路程s=琛￡立+琛20dt=#|+

30

=350m,

(2)質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)結(jié)束共走過(guò)的路程S=《°tdt+琛20dt+(I。。-

t)dt=-t2\2^+20t]??+(100t-it2)|=200+1200+200=1600m.

20202oU

28.

【答案】

解：由方程組｛J：：/二解之得]：;芻或1；;；

?,?曲線(xiàn)必=2x與直線(xiàn)y=x-4交于點(diǎn)力(2,-2)和B(8,4).

因此，曲線(xiàn)必=2%,直線(xiàn)y=%-4所圍成的圖形的面積為

S=2\[2xdx+1(V2x-%+4)dx

Jo

i^2\[2xdx=(2V2=y,

f8,—L2a1?,a

I(v2x—%4-4)dx=(v2---%2+4%)||

J232

^231^23138

—(V2,-,82——x8+4x8)—(V2,—,22——,x2+4x2)=--

所求圖形面積為S=2\[2xdx+V2x—x+4)dx=y+y=18

A

yJ

+

T

T

5T

T

I

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

曲線(xiàn)y2=2x與直線(xiàn)y=x—4方程聯(lián)解，得交點(diǎn)4(2,-2)、B(8,4).因此，所求圖形

面積為函數(shù)y=2后在［0,2］上的積分值，與函數(shù)y=岳-?-4)在［2,8］上的積分

值之和.利用公式分別算出這兩個(gè)積分的值，相加即得所求圖形的面積.

【解答】

解：由方程組［J：；/；，解之得芻或

曲線(xiàn)y2=2%與直線(xiàn)y=久一4交于點(diǎn)火2,-2)和8(8,4).

因此，曲線(xiàn)/=2%,直線(xiàn)y=%—4所圍成的圖形的面積為

S=2y12xdx4-I(V2x—%4-4)dx

Jo

^2y［2xdx=(2V2=y,

「8231

I(V2x—x+4)dx=(V2?-x2--%24-4x)1?

J232

試卷第20頁(yè)，總28頁(yè)

^231^23138

—(v2,—,82——x8+4x8)—(v2,—,22——x2+4x2)=

D乙KJ乙J

所求圖形面積為S=2V2xdx+J^(V2x—x+4)dx=y4-y=18

yJA

二

5一

二

二

29.

【答案】

解：(1”M斤中立的大小等于半徑為1的圓面積的;，即J\7i^d%=1x

—12—11

7TXI2=".

2

nitn

(2)f2(cos--sin-)2dx=J2(1—sinx)dx=(x+cosx)|2=--1.

022002

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)積分的幾何意義和積分公式分別進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【解答】

l

解：⑴/乙五中dx的大小等于半徑為1的圓面積的;，即J17l^dx=ix

—12—12

7TxiY2=—九.

2

nnit

(2)f2(cos--sin-)2dx=f2(1—sinx)dx=(x4-cosx)|2=--1.

022002

30.

【答案】

解:由-廿+3,

(y=x+3

得y=X2-2x+3和y=x+3的交點(diǎn)是(0,3),(3,6).

丫=/一2刀+3和丫=%+3所圍成的封閉圖形的面積

S=I(x+3-/+2%-3)dx

Jo

=I(3%—x2)dx

Jo

31QQ

=(2X_3X)lo

31

=^x9--x27

23

_9

-2,

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

由得丫=%2-2刀+3和、=%+3的交點(diǎn)是(0,3),(3,6).y=x2-

2x+3和y=x+3所圍成的封閉圖形的面積S=f^(x+3-xz+2x-3)dx,由此能求

出其結(jié)果.

【解答】

解：由/=7—廿+3,

得y=X2-2X+3和y=x+3的交點(diǎn)是(0,3),(3,6).

y=%2—2%4-3和y=%4-3所圍成的封閉圖形的面積

S=[(%+3—%24-2%—3)dx

Jo

=f(3%—x2>)dx

Jo

31…

=(2Xo-3X)lo

31

=^x9--x27

23

=9

2

31.

【答案】

解：￡"(%)d%=J；(sin%—l)dx+J；x2dx

=(-cos%-%)巴+|x3|o

1

=cosl-24--

5

=C0S1-3

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)積分計(jì)算公式，求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再根據(jù)微積分基本定理加以計(jì)算，即可

得到本題答案.

【解答】

解：(x)dx=￡](sin%—l)dx+J；x2dx

=(-cosx-x)[^+1x3|J

1

=cosl-2+-

試卷第22頁(yè)，總28頁(yè)

5

cosl--

3

32.

【答案】

解：+2-|）dx=（|%2+2%-31nx）|；=（2+4-31n2）-（：+

2）=--3ln2.

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可.

【解答】

解：嚴(yán)+：3改=/]2（萬(wàn)+2_|）dx=（lx2+2x-3lnx）|:=（2+4-3ln2）-+

7

2）=--3ln2.

J2

33.

【答案】

解：（1）￡/〃表示）7=%,直線(xiàn)%=-1,%=1圍成的封閉圖形的面積之差，

一2

f1.XG!x=-xlxl--xlxl=0,

J-l22

（2）《R府二冠dx表示以原點(diǎn)為圓心以R為半徑的圓的面積的二分之一，

口V/?2—x2dx=|TTR2.

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

（1）根據(jù)定積分幾何意義轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)圍成的面積即可，

（2）=Ndx表示以原點(diǎn)為圓心以R為半徑的圓的面積的二分之一，問(wèn)題得以

解決.

【解答】

解：（1）表示y=x,直線(xiàn)x=-1,x=1圍成的封閉圖形的面積之差,

f21xdx=|xlxl-|xlxl=0,

(2)心府=正五表示以原點(diǎn)為圓心以R為半徑的圓的面積的二分之一,

口y/R2—x2dx=|nR2.

34.

【答案】

4x

解：聯(lián)立方程組［V=得，y1=-2,y2=6,

???拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)y=x-3所圍成的平面圖形的面積，

'''S=q(y+3-？)dy=("+3y一/3)匕=學(xué)

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

由題設(shè)條件，需要先求出拋物線(xiàn)y2=2x與直線(xiàn)y=4-尤的交點(diǎn)坐標(biāo)，積分時(shí)可以以x

作為積分變量，也可以y作為積分變量，故本題法一以x為積分變量，法2以y作為積分

變量分別計(jì)算出兩曲線(xiàn)所圍成的圖形的面積

【解答】

y2

解：聯(lián)立方程組［=4：,得，y=_2,y=6,

拋物線(xiàn)y2=4x與直線(xiàn)y=x-3所圍成的平面圖形的面積，

S=/'(y+3-f)dy=(|y2+3y-^y3)|%=y.

35.

【答案】

fix)=|x2(0<x<1)

解：⑴1/

x(-l<x<0)

CJ(x)dx=心xdx+%2dx23+2；=-

⑵J；V%-1dx=|(x-1)5|2=|

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，計(jì)算即可.

試卷第24頁(yè)，總28頁(yè)

【解答】

解：(1)-,■/W=fXz(?

(x(-l<%<0)

X223

...j"(x)dx=f°1xdx+J0xdx=|x|_01+|x|J=_1+：=_],

⑵/；Vx-1dx=|(x-l)z|j=|

36.

【答案】

y_:x'X從2到0,則：J/，,(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=

解：補(bǔ)充線(xiàn)段4B,L

,/

JL/(x)sinydx+[/(x)cosy—7rx]dy+J^F/(x)sinydx+[/(x)cosy—nx]dy

/

-JfiA/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=^+/2

其中利用格林公式，設(shè)L+84所圍成的區(qū)域?yàn)镈,得

ff7T

A=[(-7T)dxdy=——?7T?(1+TT2)

而，2利用第二曲線(xiàn)積分計(jì)算方法，得

/2=I/'(x)sin7rx+(/(x)cos7rx—71%)-zr]dx=I7T2xdx=2n2

JoJo

原式=?—9.

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

由于被積函數(shù)含有未知的函數(shù)，如果直接用第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算方法將會(huì)變得很復(fù)

雜，而如果將積分曲線(xiàn)添加一條線(xiàn)段，使其成封閉曲線(xiàn)，再用格林公式就會(huì)變得簡(jiǎn)單

【解答】

-xx

,

解:補(bǔ)充線(xiàn)段AB,y=7r%,%從2到0,則：JL/(x)sinydx+[/(x)cosy-nx]dy=

,

[/'(XJsinydx+[/(x)cosy—nx]dy+J^F/(x)sinydx+[/(x)cosy—nx]dy

-fBAf'(x)sir}ydx+[/(x)cosy-nx]dy=^+/2

其中/i，利用格林公式，設(shè)L+B4所圍成的區(qū)域?yàn)镈,得

ff7T

A=%(―7T)dxdy=——?7T?(1+7r2)

而/2利用第二曲線(xiàn)積分計(jì)算方法，得

r2,2

/=I//(x)sin7rx+(f(x)cos7rx—7TX)-7t]dx=I7T2xdx=2TT2

2JoJo

原式=?—9.

37.

【答案】

解：,M=—Q%+b/d%

M=[(x6—2ax4+2bx3+a2x2—2abx+b2>)dx

J-i

=(---%5+-x4+—%3-abx24-h2x)|\=2b2+-a2--a+-=2b24--(a-

k7523—13573、

鈔-H+M

當(dāng)。=蔡，b=0時(shí)M取最小.

【考點(diǎn)】

定積分

【解析】

先把被積分函數(shù)展開(kāi)再運(yùn)用公式得出(二一六好+:/+￡/一附/+爐%)|1,再

化簡(jiǎn)得出2b2+|。2-3。+：,配方求解即可得出最小值的a,b數(shù)值的情況.

【解答】

解：M=A1(婷—ax+b)2dx

M=1(x6-2ax4+2bx3+a2x2—2abx+b2)dx

J-i

=(———x5+-x4+^x3-abx24-Z72x)|\=2b24--a2--a4--=2b2+-(a-

'752371—13573'

又)2_絲+?

57257’

：.當(dāng)a=￡,b=0時(shí)M取最小.

38.

【答案】

解：f()=x2+2a,

X2220(，+8)

一8，”)-3(-3，°)

「X)+0-0+

(%)T極大值1