考向08 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性（重點）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考向08函數(shù)的奇偶性

期性與對稱性

【2022年新高考全國I卷】(多選題)已知函數(shù)/㈤及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.O。C./(-1)=/(4)D.g(—l)=g(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.

【詳解】

因為嗚-2x),g(2+x)均為偶函數(shù),

所以=+=+g(2+x)=g(2-x),

所以〃3—x)=〃x),g(4-x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)Ax),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=1,x=2對稱，

又g(x)=/'(x),且函數(shù)/(x)可導(dǎo),

所以g(￡]=°，g(3-x)=-g(x),

所以g(4—x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以卜g(|)=0，g(-l)=g(l)=-g⑵，故B正確，D錯誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù),f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定了(X)的函數(shù)值，故

A錯誤.

故選：BC.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化題干條件為抽象函數(shù)的性質(zhì)，準確把握原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系,

準確把握函數(shù)的性質(zhì)(必要時結(jié)合圖象)即可得解.

【2022年新高考全國n卷】已知函數(shù)〃X)的定義域為R,Kf(x+y)+f(x-y)=/(%)/(j),/(I)=1,則

22

￡f(k)=()

i-i

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)〃力的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的/(1),〃2),…,〃6)的值，即可解

出.

【詳解】

因為/(x+y)+/(x_y)=/(x)/(y),令x=i,y=o可得，2/(i)=/(i)/(o),所以/(0)=2,令x=o可得,

f(y)+f(-y)=2f(y),即〃>)=/(—y),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，令y=l得，

f(x+l)+f(x-l)=f(x)f(l)=f(x),即有〃x+2)+〃x)=〃x+l),從而可知〃x+2)=—“X—1),

/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(x—4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.

因為〃2)=〃1)一/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-l,

f(5)=f(-l)=f(l)=l,f(6)=f(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/⑴+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

>>?>

所以￡/(4)=〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=1_1_2-1=_3.

Jt=l

故選：A.

1.奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(%)是偶函數(shù)o函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/(x)是奇函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點中心對稱.

(3)若奇函數(shù)丫=/⑶在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(%)必滿足/(%)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的

兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)/(%)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(x)=g"(x)+f(-x)］，〃(X)=g"(X)—/(—X)］，則/(x)=g(x)+/7(x)?

(6)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的

函數(shù)，如/(%)+g(x)J(x)-g(x)J(x)Xg(x)J(x)+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶士偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*(十)奇=偶；奇、(十)偶=奇；偶、(+)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=m("+l)(xwO)或函數(shù)f(x)=m(-~-).

ax-\ax+1

②函數(shù)/(X)=士⑷一。7).

③函數(shù)f(x)=log(,生里=log,,(14-3-)或函數(shù)f(x)=log?士2=log?(l---)

x-mx-mx-\-tnx+m

④函數(shù)/(x)=log“(Vx2+1+X)或函數(shù)/(x)=log/Jf+i-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)f(x)=加+衛(wèi)-("。)或函數(shù)y(x)=m-

as-1ax+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/a)=±(優(yōu)+「).

②函數(shù)/(x)=log“(aM+l)—華?

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

2.周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xwR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-fM2T

/(x+7)=—!—；/(X+T)=__L2T

/(x)/(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)4T

Jf(a+x)=f{a-x)

2s-a)

[f(b+x)=f(b-x)

{f\a+x)=f(a-x)

[f(X)為偶函數(shù)2a

[f{a+x)=-f{a-x)

2(b-a)

f(b+x)=-f(b-x)

\f(a+x)=-f(a-x')

2a

/(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=f(a-x)

4s-〃)

f(,b+x)=-f[b-x)

[f{a+x)=f{a-x)

4a

為奇函數(shù)

[f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(x)為偶函數(shù)

3.函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個對稱中心(a,c),S,c)(a<b),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

7=2(。一〃)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心仍,0)("6),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=4s-a).

4.對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線工=。對稱，則/.(a+x)=/(a-x).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(〃,8)對稱,KOf(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(〃+工)與丁=/(a-x)關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(。一尢)關(guān)于原點對稱.

常用

1.(1)如果一個奇函數(shù)/(x)在原點處有定義，即/(0)有意義，那么一定有了(0)=0.

(2)如果函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=/(|x|).

2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性

3.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對/(x)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

(1)若/*+。)=一/(幻，則7=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=-^―,則T=2a(a>0).

f(x)

⑶若f(x+a)=-~^,則T=2a(a>0).

fM

4.對稱性的三個常用結(jié)論

⑴若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)若對于R上的任意x都有/(2a-x)=/(x)或f(-x)=f(2a+x),則丁=/(x)的圖象關(guān)于直線x=“對

(3)若函數(shù)y=/(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點3,0)中心對稱.

5.兩個奇偶函數(shù)四則運算的性質(zhì)

(1)兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；

(2)兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；

(3)兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；

(4)兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；

(5)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。

1.函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有關(guān)于y軸對

偶函數(shù)

/(-X)=./■(%),那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)稱

如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有關(guān)于原點對

奇函數(shù)

/(—X)=-/0),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)稱

判斷f(-x)與r(x)的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論:如果/.(-x)-/(*)=0或人藝=1"5)*0),則函

/(X)

數(shù)/*)為偶函數(shù)；如果f(-x)+f(x)=O或止2=_i(f(x)wO),則函數(shù)/,(x)為奇函數(shù).

/(x)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個前提條件是：對于定義域內(nèi)的任意一個x,-x

也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點對稱).

2.函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(葉/為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=。對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

(3)若/(x)=f(2a-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于x=a對稱.

(4)若f(x)+/'(2a—x)=2b,則函數(shù)/(%)關(guān)于點(a,匕)對稱.

3.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=f(x),如果存在一個非零常數(shù)7,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有/(x+T)=/(x),

那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期:

如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做/(x)的最小正周期.

1.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))若密函數(shù)fa)=x"SeR)滿足(a+l)/(x)=/(ex),則下列關(guān)于函數(shù),3的說

法正確的是()

①Ax)不是周期函數(shù)②/'(X)是單調(diào)函數(shù)③Ax)關(guān)于原點對稱④Ax)關(guān)于點(0,1)對稱

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得e"-a-l=0,求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性解不等式可得a=0,即f(x)=x°=1(戶0),結(jié)合性質(zhì)分

析判斷.

【詳解】

V(a+l)/(x)=/(ex),即(a+1*=(ex)",則e"-a-l=O

構(gòu)建g(x)=e*-x-l,則g，(x)=e*-l

令g?x)>0,則x>0

g(x)在(F,0)上單調(diào)遞減，在(。,+?)上單調(diào)遞增

則g(x)2g(0)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立

...。=0,則/(x)=x°=l(x/0),

若/(x)是周期函數(shù)，則存在非零實數(shù)7,使得f(x+T)=/(x)對任意的xxO總成立，

但x=—T時，/(x+T)無意義，f(-T)=i,故兩者不相等，故/*)不是周期函數(shù)，

①正確；

/(x)不是單調(diào)函數(shù)，②錯誤；

f(x)不是奇函數(shù)，③錯誤；

/(X)關(guān)于點(0,1)對稱,④正確;

故選：C.

2.(2022?吉林吉林.模擬預(yù)測(文))定義在R上的函數(shù)“X)滿足/(x)="4-x),且函數(shù)y=〃x+l)為奇

函數(shù).當(dāng)xe(l,2］時，/(x)=l-log2(x+l),貝?。荨?022)=()

A.-2B.2C.3D.i-log23

【答案】D

【解析】

【分析】

由函數(shù)的對稱性可以找到函數(shù)的周期，然后通過周期性和對稱性即可求出.“2022)的值.

【詳解】

由〃x)=/(4-x)可得，函數(shù)/(x)關(guān)于x=2對稱，函數(shù)y=/(x+l)為奇函數(shù)，所以—/(r+l)=/(x+l),

所以函數(shù)/。)關(guān)于(1,0)對稱,則有/d)-2),B|J/(%)=-/(%-2),Xv/(x-2)=-/(x-4),

.■J(x)="x-4),.?J(x)的周期為4.

.,J(2022)=/(4x500+2)=/(2)=1-log,3.

故選：D.

3.(2022?河南?平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(?uVimVTW+M+Z，若/(。)=9,

則/(一。)=()

A.—5B.—9C.—13D.—15

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)建g(x)=/(x)-2,根據(jù)奇偶性定義可證g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)理解運算.

【詳解】

令g(x)=f(x)-2=x2ln(7x2+1+x),

g(r)=(-x)2ln(+1-x)=x2ln(-L-)=-x2ln(&+l+x)=-g(x),g(x)是R上的奇函數(shù)，

yjx'+\+x

Ag(-<)+g(a)=0,即f(-a)-2+f(a)-2=0,

又f(a)=9,所以f(-a)=-5.

故選:A.

4.(2022?青海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室三模(文))若函數(shù)〃x)滿足〃x+3)=/(x-l),且當(dāng)

xe[-2,0]時，〃力=3-'+1,則“2022)=()

A.jB.10C.4D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

首先得到/(x)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性計算可得；

【詳解】

解：由〃x+3)=/(x-l),得“尤+4)=/(江

二函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且4是它的一個周期,

又當(dāng)xe［-2,0］時，y(x)=3_jr+l,

/./(2022)=/(4x506-2)=/(-2)=9+l=10；

故選：B.

5.(2022?江西省豐城中學(xué)模擬預(yù)測(文))已知定義域為［。-4,24-2］的奇函數(shù)〃6=丁—/*+6+2,則

〃。)+/伍)的值為()

A.0B.1C.2D.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱求出“，根據(jù)/(0)=0求出b，再根據(jù)奇函數(shù)的定義可求出結(jié)果.

【詳解】

依題意得a-4+2a-2=0,解得a=2,

由/(0)=b+2=0,得b=-2,

所以■9)=f(2)+/(-2)=0.

故選：A.

6.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)〃月=咋2(。-±),若〃x+l)是奇函數(shù)，則

實數(shù)a=.

【答案】1

【解析】

【分析】

利用奇函數(shù)的性質(zhì)f(T+l)=-/(X+l)列方程求參數(shù).

【詳解】

由題意，f(-x+l)=-f(x+\),BPlog2^a-^-^=-log2^a--^^,

所以-----=-~;——，化簡得「/，解得a=l.

2-x2a-4+axa

故答案為：1

7.(2022.全國.模擬預(yù)測)已知函數(shù)"X),①VxeR,/(2-x)=/(x),②VxeR,/(-x-l)=/(x+l),請

寫出一個同時滿足條件①②的函數(shù)/(X)的解析式為.

【答案】/(x)=C0S7tr

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，由VxwR,"2—x)=〃x),VxeR,"f—l)=/(x+l)可知/(x)是周期函數(shù)，且為偶

函數(shù)，以及關(guān)于直線x=l對稱，結(jié)合這些性質(zhì)即可求解.

【詳解】

由①知”力的圖象關(guān)于直線x=l對稱，由②知/1(*)為偶函數(shù)，所以f(x)=/(2-x)=/(x-2),故為

周期為2的周期函數(shù)，符合該條件的函數(shù)可以為/(x)=cos7tr.

故答案為：/(x)=cos7tr(答案不唯一，只要符合條件即可)

^提升練)

1.(2022.上海?位育中學(xué)模擬預(yù)測)定義在R上的任意函數(shù)/(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一

個偶函數(shù)A(x)之和，若f(x)=log2(2"+l),xeR,則()

A.g(x)=x,/?(x)=log2(2'+l)-x

B.g(x)=-x,/7(x)=log2(2'+l)+x

A

C.g(x)=］，/7(x)=log2(2+l)-1

x

D.g(x)=-|,/?(x)=log2(2+l)+|

【答案】C

【解析】

【分析】

由函數(shù)奇偶性的定義列出方程組結(jié)合對數(shù)的運算即可解得.

【詳解】

設(shè)/*)=g(x)+/z(x),

nJ/(X)=g(x)+h(x)=log?(2*+1)

貝ij“，

-v

J(-x)=g(-x)+〃(-x)=log2(2+1)

因為g(x)為奇函數(shù)，〃(x)為偶函數(shù)，化簡得：

r

g(%)+/?(x)=log2(2+l)

'2*+1.，解得：

-g(x)+h(x)=log2(―)=log2(2+l)-x

/、X

g(x)=]

Y

//?=log,(2^+1)--

故選：C.

2.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知定義在R上的函數(shù)/(x),對任意的xeR,都有〃x)=-/(4-力，且

/(x)=/(2-x),則下列說法正確的是()

A.是以2為周期的偶函數(shù)B./5)是以2為周期的奇函數(shù)

C./(x)是以4為周期的偶函數(shù)D.Ax)是以4為周期的奇函數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】

由/(x)=-/(4一x)可得/(x+2)+/(2-x)=0,結(jié)合/(%)=/(27)可得出/(x)=-/。+2),再由

/(x)=-f(x+2)即可求出f(x)的周期，再由f(x)=_/(4一x)=—/[4-(x+4)]=—/(r),即可求出f(x)為

奇函數(shù).

【詳解】

/(x)=-/(4-x)即/(X)+f(4-尤)=0①，

在①中將》變換為x+2,則f(x+2)+f[4-(x+2)]=0,則/(x+2)+/(2-x)=0,

又因為F(x)=/(2-x),所以/(x+2)+/(x)=0,所以“x)=—/(x+2)②，

在②將x變換為x+2,所以f(x+2)=—f(x+4)=-/(x),所以〃x)=.f(x+4),

所以Ax)的周期為4.

因為/W=-/(4-x)=-/[4-(x+4)]=-/(-x),所以/(r)=-/(x),

所以/(X)為奇函數(shù).

故選：D.

3.(2022?河南?開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(文))已知y=/(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，

=+則滿足/(2%-3)<0的〃?的取值范圍是()

2X+1

-31「31

A.r-1,2]B.[1,2]C.1,2D.1,1U[2,”)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)在公共的定義域函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解.

【詳解】

因為函數(shù)丫=-13,丫===_1+2在(0,+8)上均為減函數(shù)，

2x+1x+l

.?._/“)=(/+士!在(0,+oc)上為減函數(shù)又/(i)=-?.r+；二=(),且y=/(x)是R上的奇函數(shù)，.?.

2x+l21+1

/(0)=0J(x)在(7,0)上為減函數(shù).

3

又/(-1)=0,/(2加-3)40,得一142加一340或2m-321,解得或機22.

■3'

所以實數(shù)〃?的取值范圍是1,-U[2,+<?).

故選：D.

4.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2)=〃x+4),且〃x+l)是奇函數(shù)，則

()

A.””是偶函數(shù)B.〃x)的圖象關(guān)于直線x=g對稱

c.“X)是奇函數(shù)D.“X)的圖象關(guān)于點對稱

【答案】c

【解析】

【分析】

山周期函數(shù)的概念易知函數(shù)/(%)的周期為2,根據(jù)圖象平移可得/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，進而可得奇

偶性.

【詳解】

由〃x+2)=/(x+4)可得2是函數(shù)〃x)的周期，

因為/(x+1)是奇函數(shù)，所以函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

所以f(x)—),/(x)=-/(-x),所以f(x)是奇函數(shù)，

故選：C.

5.(2022.貴州.貴陽一中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)“X-D(xwR)是偶函數(shù)，且函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(1,

0)對稱，當(dāng)xQ—U］時，”x)=x—L則”2022)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

山條件確定函數(shù)的周期，根據(jù)條件及周期的性質(zhì)求/(2022).

【詳解】

根據(jù)題意,函數(shù)”x-l)(xeR)是偶函數(shù)，

則函數(shù)f(x)的對稱軸為x=-l,

則有〃x)=f(-2-x),

又由函數(shù).“X)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱，

則/(x)—),

則有/(-2-x)=-/(2-x),g|Jf(x+4)=-f(x),

變形可得f(x+8)=.f(x),

則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，

“2022)=〃-2+253x8)=〃-2)=/(0)=-1,

故選：B.

6.(2022?湖南?雅禮中學(xué)二模)函數(shù)f(x)的定義域為R,若/(x+1)是奇函數(shù)，/(x-l)是偶函數(shù)，則()

A./(x)是奇函數(shù)B.〃x+3)是偶函數(shù)

c.43)=0D./(x)=/(x+3)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性、對稱性，整理化簡，即可得答案.

【詳解】

因為/(x+1)是奇函數(shù)，

/(x+l)—+l),

???/(x—1)是偶函數(shù)，

.-./(x-l)=/(-x-l),即/(x+l)=/(-x-3),

.一/(-x+l)=/(r-3)=/(x)+/(x+4)=0,

貝iJ/(x+8)=—/(x+4)=/(x),即周期為8：

另一方面/(x+5)=_/(x+l)=/(_x+l),

〃x+3)=〃—x+3),即〃x+3)是偶函數(shù).

故選：B.

7.(2022.重慶八中模擬預(yù)測)定義域為R的偶函數(shù)Ax),滿足/(O)=-I.設(shè)g(x)=(x-l)/(x),若g(x+l)

是偶函數(shù)，則g(2022)=()

A.-2022B.-2021C.2021D.2022

【答案】C

【解析】

【分析】

由題可得〃x+2)=-/(-x),結(jié)合條件可得函數(shù)f(x)周期為4,進而可得/(2022)=/(2)=-f(0),即得.

【詳解】

Vg(x)=(x-l)/(x),

.?.g(x+l)=4Xx+l),又g(x+l)為偶函數(shù)，

-Xf{-X+1)=xf(x+1),即一/(-x+1)=f(X+1),

/(x+2)=-/(-x),又f(x)是定義域為R偶函數(shù)，

A/(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=/(x),

???/(x)周期為4,又/(0)=-1,

/(2022)=/(2)=-/(0)=1,

g(2022)=2021/(2022)=2021.

故選：C.

8.(2022.重慶市涪陵高級中學(xué)校模擬預(yù)測)定義在R上的奇函數(shù)“X)滿足寸\4-x),當(dāng)xe[0,4]時,

/(X)=X2-4X,貝4(2。22)=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)/(力于'(4-x)和奇偶性求得函數(shù)周期，然后利用周期對所求進行轉(zhuǎn)化，再由奇偶性和所給解析式可

得.

【詳解】

因為且“X)為奇函數(shù)，

所以f(x)=-/(x-4),

所以/(x+8)=-/(x+8-4)=-/(x+4)=/(%),

故為周期為8的周期函數(shù)，

所以/(2022)=/(6)=/(-2)=-/(2)

又當(dāng)xw[0,4]時,/(X)=X2-4X,

所以7(2)=2?-4x2=-4,

所以f(2022)=4,

故選：A

9.(2022?海南?？?二模)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=|x-2|〃x)的圖象關(guān)于直線

x=2對稱，若〃-1)=一1,則g(3)=()

A.5B.lC.—1D.—5

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可知g(x+2)=N〃x+2)是偶函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義推導(dǎo)出〃2-x)=/(2+x),利用已知條件求出

/⑶的值，即可求得g⑶的值.

【詳解】

因為g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，則g(x+2)=M，(x+2)是偶函數(shù)，

g(2—x)=|—乂"2-x)=W〃2-x),且g(x+2)=Wf(x+2),

所以，-x)=W/(2+尤)對任意的xwR恒成立,所以,〃2r)"(2+x),

因為/(T)=T且/'(x)為奇函數(shù)，所以,/(3)=/(2+1)=/(2-1)=-/(-1)=1,

因此,g(3)=|3-2|/(3)=/(!)=l.

故選：B.

10.(2022.河南省蘭考縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知定義在R上的函數(shù)/(x)在卜1,物)上單調(diào)遞增,

若/(2)=0,且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式4(》)>0的解集為()

A.(2,+oo)B.(T—1)D(O,+W)

C.(-4,-K?)D.(<0)“2,+00)

【答案】D

【解析】

【分析】

分析可知函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，可得出函數(shù)/(X)的單調(diào)性，分析f(x)的符號變化，山

,、鼠<0[x>0

")>°可得/)<0或困>0,解之即可.

【詳解】

因為函數(shù)f(x-l)為偶函數(shù)，則=故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線X=—1對稱，

因為函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，故函數(shù)/（X）在（-0）,-1］上單調(diào)遞減,

因為/（2）=0,則"-4）=0,

所以，由/（“<0可得T<x<2,由〃力>0可得或x>2,

fx<0[x>0

解不等式燈'（力>0,可得仇x)<0或伉力>0,解得Y<x<°或%>2,

故不等式4（x）>0的解集為（30）u（2,y）.

故選：D.

11.（2022?遼寧?撫順市第二中學(xué)三模）函數(shù)尸"2》-1）是/?上的奇函數(shù)，函數(shù)廣/（*）圖像與函數(shù)丫=8（工）

關(guān)于y=-X對稱,則g(x)+g(-x)=()

A.0B.-1C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

由函數(shù)y=/'（2x-1）是R上的奇函數(shù)，可得函數(shù)y="X）的圖像關(guān)于點（-1,0）對稱，根據(jù)條件可得函數(shù)

y=g（x）的圖像關(guān)于（0,1）對稱，從而得出答案.

【詳解】

函數(shù)y=/（2x—l）是R上的奇函數(shù)，則一/（一2》-1）=/（2》一1）

設(shè)2x—1=/,則/（。=一/（一2-，），則函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于點（-1,0）對稱

函數(shù)）'=/（X）圖像與函數(shù)y=g（X）關(guān)于y=-X時稱，

所以函數(shù)y=g（x）的圖像關(guān)于（0,1）對稱,所以g（x）+g（-x）=2

故選：C

12.（2022?廣西?南寧三中二模（文））若函數(shù)/3=（1-/）（/+以+。），a,be/?的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

則a+6=.

【答案】7

【解析】

【分析】

ff(0)=/(4)

由對稱性得/(x)=/(4-x),取特殊值[二:二:求得a,6,再檢驗滿足/(x)=/(4-x)即可得，

17⑴=/(3)

【詳解】

由題意〃2+X)=/(2-X),即/(X)=/(4-X),

f/(0)=/(4)Ra=-15(16+4a+b)_Ja=-8

r'n1q、1/(l)=/(3)''njo=-8(9+3a+/?)，*,'[=15，

此時f(x)=(1-f)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15,

/(4-X)=-(4-X)4+8(4-X)3-14(4-X)2-8(4-X)+15

=-(X4-16X3+96X2-256X+256)+8(64-48X+12X2-X3)-14(16-8X+X2)-32+8X+15

=-X4+8X3-14X2-8X+15=f(x),滿足題意.

所以a=-8,6=15,a+b=7.

故答案為：7.

13.(2022?山東?勝利一中模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)滿足/(x+3)=/(l-x)+9/(2)對任意xeR恒成立，又函

數(shù)/(x+9)的圖象關(guān)于點(-9,0)對稱，且/⑴=2022,則/(45)=.

【答案】-2022

【解析】

【分析】

根據(jù)題意先求出/(2)=0,再根據(jù)條件分析得到函數(shù)的周期，再求解計算即可.

【詳解】

因為函數(shù)/*)滿足/(X+3)=/(1-%)+9/(2)對任意xeR恒成立，

所以令x=—l,即以令=f⑵+9/(2),解得令2)=0,所以f(x+3)=/(l-x)對任意xwR恒成立，

又函數(shù)〃x+9)的圖象關(guān)于點(-9,0)對稱，將函數(shù)〃x+9)向右平移9個單位得到/(x),

所以/⑶關(guān)于點(0,0),即/(x)為R上的奇函數(shù)，所以〃x)=—/(—x),

又/(x+3)=/(l-x)對任意xeR恒成立，令x=-x-3,得/(—x)=/(x+4),

即-/(x)=/(x+4),再令x=x+4,得—/(x+4)=f(x+8),分析得/(x)=/(x+8),

所以函數(shù)/(x)的周期為8,因為"1)=2022,所以在數(shù)x+3)=/(l-x)中,

令x=0,得/(3)=/⑴=2022,所以/(45)=/(6x8-3)=f(-3)=-/(3)=-2022.

故答案為：-2022.

14.(2022?江蘇?南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測)己知/(x)是定義在R上的函數(shù)，若對任意xeR,都有

/(x+8)=/(x)+/(4),且函數(shù)f(x—2)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，/⑵=3,則〃2022)=.

【答案】3

【解析】

【分析】

先由函數(shù)/(x-2)的圖像關(guān)乎直線x=2對稱，得到函數(shù)“X)是偶函數(shù)，則有"x)=/(-x)；

又令x=T代入/(x+8)=/(x)+"4),求得函數(shù)/(*)的周期為8,利用函數(shù)周期化簡/(2022)即可求值.

【詳解】

因為函數(shù)f(x-2)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，所以函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱，即函數(shù)/(x)是偶函

數(shù)，則有〃x)="—x)；

因為對任意xwR，都有/(x+8)=/(x)+/(4),

令》=T，得/(T+8)=〃-4)+/(4)n4~4)=f(4)=0,

所以對任意xeR，都有/(x+8)=/(x)+/(4)=〃x),即函數(shù)〃x)的周期為8,

則/(2022)=/(252x8+6)=/(6)=/(6-8)=/(-2)=/(2)=3,

故答案為：3.

15.(2022.湖南?邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=手，若不等式/(1-6)+/卜2”2對

Vx€(0,水?)恒成立，則實數(shù)“的取值范圍.

【答案】(9,2]

【解析】

【分析】

先判斷函數(shù)在R上為增函數(shù)，然后求得/(x)+/(-x)=2,所以原不等式可化為

/(l-ar)>2-/(x2)=/(-x2),從而得l-axN-f對Vxe(0,+°o)恒成立，即a4x+g對Vxe(0,e)恒成立,

然后利用基本不等式求出x+工的最小值即可

【詳解】

〃x42e,_2（l+e,）-2.22

"）1+e'l+ev21+e*'

因為y=l+e，在R上為增函數(shù)，

所以，（x）=2-七在R上為增函數(shù)，

因為f（x）+"r）=2-k2-=…，

所以.“1一詞+/（/"2可化為了。一如）22-/任）=/（一刁，

因為Ax）在R上為增函數(shù)，

所以1-如"/對Vxe（O,”）恒成立，

所以a4x+，對Vxw（0,+co）恒成立，

因為x>0,所以X+LN2、[I=2,當(dāng)且僅當(dāng)X=L,即x=l時取等號，

xVxx

所以〃42,即實數(shù)〃的取值范圍（e,2],

故答案為：（-8,2]

16.（2022.全國?哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)〃》）=三更（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若在平

面直角坐標系xOx中，所有滿足/（。）+/（9>0的點（。力）都不在直線/上，則直線/的方程可以是

（寫出滿足條件一個直線的方程即可）.

【答案】x+y-2=0（不唯一）

【解析】

【分析】

由函數(shù)解析式可得函數(shù)關(guān)于點（1,0）中心對稱，據(jù)此及函數(shù)為增函數(shù)由/（。）+/他）>0可得。+〃>2,據(jù)此

求出滿足條件的直線即可.

【詳解】

f（x）=F￡-=e^r一ej在R上單調(diào)遞增，

■-f（2-x）=e2-JC-e\.-.f（x）+f（2-x）=0,

曲線y=〃x）關(guān)于點（1,0）中心對稱,

：.f^ci)+/(6)>0o/(4)>-f(b)<=>/(?)>f(2-b)oa>2-boa+b>2,

在平面直角坐標系xOy中，所有滿足/（。）+/e）＞0即a+8＞2的點（。力）都不在直線/上.

所以，直線/上的點都滿足x+y42,即直線/在x+）W2表示的半平面內(nèi)，

故直線/斜率為-1,縱截距小于等于2,如x+y-2=0,x+y-l=0,x+y=0,?.^.

故答案為：x+y-2=0（不唯一）

17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）對于三次函數(shù)/（力=加+樂2+5+1（4#0）,給出定義：設(shè)尸（x）是函數(shù)

y=/（x）的導(dǎo)數(shù)，/"（X）是尸（X）的導(dǎo)數(shù)，若方程＞f（x）=0有實數(shù)解為，則稱點（為,〃為））為函數(shù)y=〃x）

的“拐點”，同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且拐點就

是對稱中心，若/（x）=；J一;X2+3X+《，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：（1）函數(shù)/（X）的對稱中心為

------------------y2022）y2022）[2022）（2022）------------------

【一答―案】（匕111均、—22231

【解析】

【分析】

（1）利用拐點的定義求解；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到〃x）+〃l-x）=，求解.

【詳解】

(1)/r(x)=x2-x+3,//r(x)=2x-l,

令/"(x)=0,解得x=g,

11113511

⑶38242126

???函數(shù)”力的對稱中心為Q，茶);

(2)??"(％)的對稱中心為

???/(x)+"lr)=3,

二」(2022)+)(2022)+)(2022)2021

2022

2021xy22231

-6

11:⑵洶

故答案為：(1)1，-

266

.--------------------------afiBY

J真題練)

1.(2022.全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)f(y),/(l)=l,貝!!

->2

￡f(k)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)/(X)的一個周期為6,求出函數(shù)一個周期中的7(1),/(2),…,/(6)的值，即可解

出.

【詳解】

因為/(x+y)+/(x_y)=f(x)/(y),令x=l,y=0可得，2/(1)=/(1)/(0),所以"0)=2,令x=0可得,

f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=/(-y),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，令y=i得,

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),從而可知f(x+2)=-f(x-l),

f(x-l)=-f(x-4),故〃x+2)=〃x—4),即/(x)=/(x+6),所以函數(shù)〃x)的一個周期為6.

因為〃2)=〃1)一/(0)=1-2=—1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,

/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內(nèi)的/⑴+/(2)+…+"6)=0.由于22除以6余4,

22

所以￡/。)=〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3.

k=l

故選：A.

2.(2022.全國.高考真題(理))已知函數(shù)的定義域均為R,且

f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=l.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，g(2)=4,則2/(外=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)對稱性和已知條件得到〃x)+/(x-2)=-2,從而得到43)+45)+…+/(21)=-10,

〃4)+/(6)+…+〃22)=-10,然后根據(jù)條件得到/⑵的值，再由題意得到g⑶=6從而得到/⑴的值即

可求解.

【詳解】

因為y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因為f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+f(x—2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)+…+/⑵)=(—2)x5=—10,

/(4)+/(6)+...+/(22)=(-2)x5=-10.

因為/(x)+g(2—x)=5,所以/(0)+g⑵=5,ap/(O)=l,所以〃2)=—2-/(0)=—3.

因為g(x)-/(x—4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因為f(x)+g(2—x)=5,

聯(lián)立得，g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(3,6)中心對稱，因為函數(shù)g(x)的定義域為R,

所以g(3)=6

因為f(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5—g⑶=7.

所以￡/(4)=/■⑴+/⑵+[43)+〃5)+…+/(21)]+[/(4)+/■⑹+...+/(22)]=-l-3—10-10=-24.

*=|

故選：D

【點睛】

含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需

的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

3.(2021.全國?高考真題)已知函數(shù)“X)的定義域為R,〃x+2)為偶函數(shù)，〃2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

【分析】

推導(dǎo)出函數(shù)/'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出/⑴=0,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.

【詳解】

因為函數(shù)〃x+2)為偶函數(shù)，則〃2+x)=〃2-x),可得/(X+3)=〃1T),

因為函數(shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則"1一2x)=-/(2x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即〃x)=〃x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因為函數(shù)F(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，則1(0)=)⑴=0,

故/(—1)=一/。)=0,其它三個選項未知.

故選:B.

4.(2021.全國?高考真題(理))設(shè)函數(shù)“X)的定義域為R,〃x+l)為奇函