第12講 傾斜角與斜率5種常見(jiàn)考法歸類-【暑假自學(xué)課】2023年新高二數(shù)學(xué)暑假課（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）解析版

第12講傾斜角與斜率5種常見(jiàn)考法歸類

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)

算公式.

豳基礎(chǔ)知識(shí)'

---------------------llllllllllllllllllllillllllllllllllllllll-----------------------

知識(shí)點(diǎn)1直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，尤軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的

傾斜角.如圖所示，直線/的傾斜角是/A網(wǎng),直線/'的傾斜角是NBPx.

ITT

2.傾斜角的范圍

直線的傾斜角a的取值范圍是0°Wa<180°,并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.

注：①每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角

②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線

知識(shí)點(diǎn)2直線的斜率

1.斜率的定義

一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.常用小寫字母上表示，即％=tana（aw90）.

2.斜率公式

經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（X1,yi）,P2（X2,丫2）（尤1#尬）的直線的斜率公式為左=￡二￡.當(dāng)?shù)?無(wú)2時(shí)，直線沒(méi)有斜率.

注：①若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸1（為，男）,。2（%2，、2）（即分2），則直線尸1尸2的方向向量P1P2的坐標(biāo)為（%2—即，丁2一％），

也可表示為（1,k）,其中「自

②傾斜角e不是90的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；當(dāng)石=々時(shí)，直線與x軸垂

直，直線的傾斜角。=90，斜率不存在；當(dāng)％=為時(shí)，斜率左=0,直線的傾斜角。=0,直線與工

軸重合或者平行

③斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無(wú)關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換

知識(shí)點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系

傾斜角a

1二00<a<90a=9090<。<180

（范圍）

斜率k

k=Qk>0左不存在k<0

（范圍）

畬解題策略）

---------------------llllllllllllillllllllllllllllllllilllllll-----------------------

1'求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意

（1）方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角.

（2）兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0°,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，傾斜角為90°.

②注意直線傾斜角的取值范圍是0°Wa<180°.

2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)

（1）運(yùn)用公式的前提條件是“X1WX2”，即直線不與無(wú)軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與X軸垂直時(shí)，斜率是不存在的;

（2）斜率公式與兩點(diǎn)p,P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的無(wú)1與X2,與與”可以同時(shí)交換位置.

3、在0。Wa<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.

傾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

立—近

斜率左01-1

33

4、斜率與傾斜角的關(guān)系

（1）由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍）利用定義式左=tana（aW90°）解決.

（2）由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式％=二5#切求解?

CL考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：求直線的傾斜角

例1.（2023秋?江西九江?高二?？茧A段練習(xí)）直線的傾斜角a的取值范圍是（）

A.(0,7i)B.[0,7t)C.(0,7t]D.[0,n]

【答案】B

【分析】利用直線傾斜角的定義得解.

【詳解】直線的傾斜角a的取值范圍是。兀）.

故選:B.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)于下列命題：①若6是直線/的傾斜角，則0。<6><180。；②若直線傾

斜角為a,則它斜率左=tana；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一

定有傾斜角.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】通過(guò)直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜

角的關(guān)系判斷③和④的正誤.

【詳解】對(duì)于①：若e是直線的傾斜角，貝滿足直線傾斜角的定義，則①正確；

對(duì)于②：直線傾斜角為a且ew90。，它的斜率左=tan（z；傾斜角為90。時(shí)沒(méi)有斜率，所以②錯(cuò)誤；

對(duì)于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因?yàn)閮A斜角為90。時(shí)沒(méi)有斜率，所以③正確；④錯(cuò)誤；

其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

變式2.（2023春.上海黃浦.高二格致中學(xué)?？计谥校┤糁本€/的一個(gè)方向向量為卜1,6）,則它的傾斜角為

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由題意，求出直線的斜率，從而得出結(jié)果.

【詳解】依題意，卜L君）是直線/的一個(gè)方向向量，

所以直線/的斜率％=-6，

所以直線/的傾斜角為120。.

故選：C.

變式3.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知直線乙的傾斜角%=15,直線乙與乙的交點(diǎn)為A,直線4和4向上

的方向所成的角為120,如圖，則直線4的傾斜角為.

【答案】135

【分析】根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，結(jié)合直線傾斜角的定義可得出直線4的傾斜角.

【詳解】設(shè)直線4的傾斜角為的，因?yàn)橐液?向上的方向所成的角為120，

所以，ZBAC=120,故%=120+?1=120+15=135.

故答案為：135.

變式4.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）如圖，直線/的傾斜角為（）

C.30°D.150°

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形結(jié)合三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可求得結(jié)果.

【詳解】由題圖易知/的傾斜角為45。+105。=150。.

故選：D

變式5.【多選】（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/與x軸交于點(diǎn)A,其傾斜角為a，直線/繞點(diǎn)A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得直線乙，則直線%的傾斜角可能為（）

A.2+45°B.a+135°C.a-45°D.1350-tz

【答案】BC

【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】解析：當(dāng)￡245。時(shí)，直線乙的傾斜角為q-45。（如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線AD）；

當(dāng)（TVa<45。時(shí)，直線乙的傾斜角為180。-（45。-田=135。+。（如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線AB）.

變式6.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）直線x+l=0與直線x+y-5=0的夾角為.

【答案】v

4

【分析】分析兩條直線的傾斜角，即可得夾角大小.

7T3兀

【詳解】直線X+1=O的傾斜角為m，直線x+y-5=0的斜率為-1,傾斜角為三,

24

所以兩條直線的夾角為號(hào)-[=

424

故答案為：y.

4

考點(diǎn)二：求直線的斜率

例2.（2023秋?湖南婁底?高二統(tǒng)考期末）已知直線的傾斜角是三，則此直線的斜率是（）

A.BB.-V3C.&D.

2

【答案】C

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是三，

所以此直線的斜率是tang=道.

故選:C.

變式1.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率.

（1）A（2,3）,B（4,5）；

（2）C（-2,3）,D（2,T）；

⑶P（-3,l）,Q「3,10）.

【答案】（1）存在，1

（2）存在，-1

(3)不存在

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率是否存在，以及斜率的值.

【詳解】(1)由題意，存在，直線A2的斜率磯=三|=1.

(2)由題意得，存在，直線CD的斜率%=2,(3)=一1?

X=

(3)xp-Q3,

二直線PQ的斜率不存在.

變式2.(2023秋?天津南開(kāi)?高二崇化中學(xué)?？计谀?已知直線/的一個(gè)方向向量為〃=(-1,/,則直線/的

斜率為()

A.1B.V3C.且D.-V3

3

【答案】D

【分析】利用直線的方向向量與斜率的關(guān)系，即可求出答案.

【詳解】因?yàn)橹本€/的一個(gè)方向向量為③，所以直線/的斜率％=3=-石.

-1

故選：D.

變式3.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，已知直線4，/2」3的斜率分別為勺次2/3，則()

A.kx<k2<k3B.k3<kx<k2

C.k3<k2<k{D.k1<k3<k2

【答案】D

【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】解：設(shè)直線］/4的傾斜角分別為%,%，%,

由題圖知，直線4的傾斜角％為鈍角，，勺<0.

又直線LA的傾斜角4，%均為銳角，且的＞。3,

0〈左3〈左2，

.*.kx<k3<k2.

故選：D.

變式4.（2023秋?江西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為3,則該

等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為,.

【答案】一21/0.5

【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求.

【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為a,則tana=3,

由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為。+45。，a-45。，

因?yàn)閠an（a+45°）=單空①"1=N±L=_2,tan（a_45。）=空」，

'7l-tancrtan4501-3x11+tan?tan4502

所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為-2,

故答案為：-2,

變式5.【多選】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABC。四邊所在直線與x

軸的交點(diǎn)分別為（0,0）,（L0）,（2,0）,（4,0）,則正方形ABC。四邊所在直線中過(guò)點(diǎn)（0,0）的直線的斜率可以是（）

331

A.2B.—C.—D.一

244

【答案】ABD

【分析】假設(shè)所在的直線過(guò)點(diǎn)（0,0），分類討論CD所在的直線所過(guò)的點(diǎn)，結(jié)合圖象分析運(yùn)算.

【詳解】因?yàn)檫x項(xiàng)斜率均為正值，不妨假設(shè)A3所在的直線過(guò)點(diǎn)（0,。），

設(shè)直線的傾斜角為斜率為七,

①若CO所在的直線過(guò)點(diǎn)（1,0）,如圖，可得8C=sin/CD=2cosa,

因?yàn)?C=CD,即sina=2cosc,貝！Jk=tana=2；

②若CO所在的直線過(guò)點(diǎn)（2,0）,如圖，可得3C=2sina,CD=3cosa,

,3

因?yàn)?C=CD,即2sina=3cosa,貝ijk=tana=一；

2

③若CO所在的直線過(guò)點(diǎn)（4,0）,如圖，可得5C=4sina,8=cosa,

因?yàn)?C=CD,即4sina=cosa,貝！Jk=tana='；

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：假設(shè)A3所在的直線過(guò)點(diǎn)（0,0）,分類討論。所在的直線所過(guò)的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題.

考點(diǎn)三：斜率與傾斜角的關(guān)系

（一）由傾斜角求斜率值（范圍）

［、1例3.【多選】(2023春?湖南衡陽(yáng)?高二衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí))已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,⑴和8(2,8)的

直線的傾斜角*三］，則實(shí)數(shù)小的可能取值有()

A.11B.12C.13D.14

【答案】ABC

【分析】根據(jù)斜率公式求解.

【詳解】由題可得=

所以比€(8+括,8+36),

結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)加的可能取值有11,12,13,

故選:ABC.

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))過(guò)不重合的4(蘇+2,療-3),8(3-〃-病,2〃z)兩點(diǎn)的直線/的傾斜角為

45°,則加的取值為.

【答案】-2

_3_2m

m

【分析】由題意得2/I2=1，可求出的取值.

m+：2-(3-m-m)、

【詳解】由題意知心=121145°=1,

2

FEZ/一3-2相1rn-3-2m

所以——丁F-------=］，即E—1n--------------5=］,

m-+2-(3-m-m-)m-+2-3+m+m

化簡(jiǎn)得能2+3優(yōu)+2=0,解得“=-1或帆=—2

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，A(3,-2),3(3,-2)重合，不符合題意舍去，

當(dāng)m=-2時(shí)，A(6,l),B(l,-4),符合題意，

所以租=-2,

故答案為：-2

變式2.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))過(guò)兩點(diǎn)A(5,y),2(3,—1)的直線的傾斜角是135。，則y等于.

【答案】-3

【分析】利用直線斜率與傾斜角關(guān)系和斜率公式左=tana=上顯可得答案.

x2_%］

【詳解】因?yàn)樾甭首?tanl35o=-1,所以％=瀉=一1,得y=-3.

5—3

故答案為：-3.

變式3.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))若經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1-?！?和。(2。,3)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

【答案】（-00，—）

【分析】根據(jù)傾斜角為鈍角斜率為負(fù)，結(jié)合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍.

【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角是鈍角，

3-11

所以斜率<0,解得?！床?/p>

12〃一1,+〃3

所以。的取值范圍是（?0,1）.

故答案為：（-8,J）.

變式4.（2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)4（3,4）,。（6,3a）的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為（）

4444

A.ci<—B.aG—C.a>—D.aN—

3333

【答案】C

【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解

【詳解】因?yàn)橹本€4。的斜率左=3亭a-4;=4

6-33

又因?yàn)橹本€AQ的傾斜角為銳角，

44

所以。一§>。，解得

故選：C

（-）由斜率求傾斜角的值（范圍）

例4.（2023春?上海普陀?高二上海市宜川中學(xué)?？计谀┮阎本€/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3,6）、8（6,1）.直

線I的傾斜角是.

JT

【答案】f/300

0

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系列式求解即可.

【詳解】因?yàn)檫^(guò)A（3,石）、5（6,1）兩點(diǎn)的直線的斜率為：k=勺￡=走，

3-V33

因?yàn)樽?tan0,a是直線的傾斜角，且ee[0,兀）

7T

所以直線的傾斜角為：

6

兀

故答案為:

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）若直線/的斜率左的取值范圍是[。，如），則該直線的傾斜角。的取值范圍

是.

【答案】0<a<60

【分析】由人=tana￡[0,6）,結(jié)合0°<cvl800.即可得出。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)樽骵[。，6），

所以左二tana￡[0,6），

因?yàn)?<a<180

所以0<a<60

故答案為：0Wav60

變式2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線的傾斜角a滿足且<tana〈退，則。的取值范圍是

3

【分析】根據(jù)直線傾斜角的范圍解不等式即可.

【詳解】直線的傾斜角傘且0,兀），

<tana<石，

—<a<—.

故答案為:⑦父

變式3.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）直線/的斜率為上且左e-區(qū)%,則直線/的傾斜角的取值范圍是

【答案】

【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.

【詳解】如圖：

當(dāng)直線/的斜率左百,1

直線/的傾斜角的取值范圍為：o,^兀：

故答案為：。，胃

變式5.(2023秋?安徽六安?高二?？茧A段練習(xí))將直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到直線MN',若直線的

斜率為1,則直線MN的傾斜角是()

A.105B.165C.15或75D.105或165

【答案】D

【分析】將繞原點(diǎn)逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到直線MN,求得其傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€M2V'的斜率為1,所以直線的傾斜角是45,

若將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到直線MN,則直線的傾斜角是1。5,

若將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到直線MN,則直線的傾斜角是165,

故選：D

考點(diǎn)四：斜率公式的應(yīng)用

(-)利用直線斜率處理共線問(wèn)題

［、例5.(2023秋?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))判斷下列三點(diǎn)是否在同一條直線上:

⑴A(-3,1),B(D,C(3,O)；

⑵。(5,-1),E(-1,2),尸(-5,4).

【答案】(1)4B,C三點(diǎn)不在同一條直線上

(2)。，E,尸三點(diǎn)在同一條直線上

【分析】(1)計(jì)算KB和心c，根據(jù)其是否相等即可判斷;

（2）計(jì)算aE和3一根據(jù)其是否相等即可判斷.

1+41-01

【詳解】（1）因?yàn)殛?yáng)B=二一1，左AC=f

-3-2-3-3~6

所以^AB0^AC，

所以A,B,C三點(diǎn)不在同一條直線上.

14+1_1

(2)因?yàn)閗DE=--

5+12-5-52

所以kpE=kDF.

又直線OE與直線。尸有公共點(diǎn)D,

所以O(shè),E,尸三點(diǎn)在同一條直線上.

變式1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)4（3,1）,3（—2,k）,C（8,H）共線，貝心的值為.

【答案】-9

【分析】由條件可得心5=姮c，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式列方程求上的值.

【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)A（3,1）,5（—2㈤,。（8,11）共線，

所以^AB=^AC，

解得k=—9.

故答案為：-9.

變式2.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（5,-3）I（4,y）,C（T9）,則直線/的斜率左=

，y=?

【答案】-2-1

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求出直線/的斜率，并根據(jù)第5="c列出方程，求出答案.

【詳解】由題意得4=心0='±9=一2,

AC-1-5

由KB=KC可得匕@=一2,解得y=-l.

4-5

故答案為：-2,-1

變式3.（2023春?上海松江?高二上海市松江二中?？计谥校┮阎c(diǎn)A（0,-8）,B（2,-2）,C（4,m）,若線段

AB,AC,BC不能構(gòu)成三角形，則加的值是.

【答案】4

【分析】由線段AB,AC,BC不能構(gòu)成三角形知A氏C三點(diǎn)共線，由心B=KC求得加的值.

【詳解】因?yàn)榫€段A3,AC,BC不能構(gòu)成三角形，所以A,B,C三點(diǎn)共線，

顯然直線A3的斜率存在，故勉=%，即三號(hào)=券，解得加=4,

2-04

故答案為：4

（二）斜率公式的幾何意義的應(yīng)用

例6.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/過(guò)點(diǎn)4（1,3）,且不過(guò)第四象限，則直線/的斜率上的最大

值是.

【答案】3

【分析】由直線不過(guò)第四象限，可畫出所有符合要求的直線，數(shù)形結(jié)合可得答案.

[詳解]秀廠

x

如圖，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，

3

k（）A=1=3，勺=0,

故女s[0,3],即線/的斜率上的最大值是3.

故答案為：3.

變式1.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、＞滿足＞=-尤+3,則代數(shù)式注的取值范圍為

【答案】|，7

【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式注的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.

x+2

因?yàn)椋瑋=三號(hào)，可表示點(diǎn)C與線段M上任意一點(diǎn)M（x,y）連線的斜率,

由圖象可知，M1C工^MC-^BC，

所以有=%紇＜7.

故答案為：（，7.

變式2.【多選】（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）點(diǎn)加（埠弘）在函數(shù)y=e，的圖象上，當(dāng)用目0,1）,則汨■可

能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

【答案】BC

【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為y=e，在xe[o,l）部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)4（1,-1）所成直線的斜率

k,即可求范圍.

【詳解】由合表示與點(diǎn)所成直線的斜率3

又“（埠％）是〉=6，在工€[0,1）部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，圖象如下:

如上圖，B(l,e),貝只有B、C滿足.

故選：BC

變式3.(2023秋廣東深圳?高二深圳中學(xué)?？计谥?已知點(diǎn)A(-2,-l),8(3,0),若點(diǎn)M(x,y)在線段A8

上，則”|的取值范圍()

A.10°,-gD[3,+OO)B.-；,3

C.S，-l][3,+a))D.[-1,3]

【答案】A

【分析】設(shè)。(-1,2),分別求出kQB,根據(jù)上三表示直線QM的斜率即可得到結(jié)果.

X+1

/、2-(-1)2-01

【詳解】設(shè)Q(-U),則3"=3,%=丹=

—L—y—^J—1—JZ

因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在線段A3上，所以手的取值范圍是(-甩-133,+8)，

x+1<2J

故選：A.

考點(diǎn)五：直線與線段的相交關(guān)系求斜率的范圍

■例7.(2023秋?廣東佛山?高二佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(-l,1),

BQ,1),C(2，V3+1).

(1)求直線BC,AC的斜率和傾斜角；

(2)若。為一ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CQ的斜率和傾斜角a的取值范圍.

【答案】⑴直線BC的斜率百，傾斜角為g;直線AC的斜率正，傾斜角為9

336

71兀

(2)

03

【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式計(jì)算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可;

(2)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可.

【詳解】(1)由斜率公式得：噎=6+1一1=豆，^=^+1~1=—

BC2-12-(-1)3

因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是［0,兀)，

(2)如圖，當(dāng)直線CD由CA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CB時(shí),

直線與線段A8恒有交點(diǎn)，即Q在線段A8上，此時(shí)左由3c增大到即c，

兀71

左的取值范圍為傾斜角a的取值范圍為

O3

變式1.(2023?江蘇?高二假期作業(yè))已知兩點(diǎn)A(-3,4),3(3,2),過(guò)點(diǎn)尸(1,0)的直線/與線段A3有公共點(diǎn).

(1)求直線/的斜率上的取值范圍；

(2)求直線/的傾斜角a的取值范圍.

【答案】⑴

(2)45°<a<135°.

【分析】(1)由圖可知要使直線/與線段回有公共點(diǎn)，只需直線/的斜率k滿足或左2人.，從而可

求得答案；

(2)由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出直線/的傾斜角a的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)?-3,4）,3（3,2）,尸（1,0）,

所以&4=一4^-0=一1，酊5=7＜-0=1

—J—1J—L

因?yàn)橹本€/與線段A3有公共點(diǎn)，

所以由圖可知直線I的斜率%滿足左4怎A或左NkpB,

所以直線I的斜率k的取值范圍是?？?+8）.

（2）由題意可知直線/的傾斜角介于直線PB與叢的傾斜角之間，

因?yàn)橹本€用的傾斜角是45。，直線上4的傾斜角是135。，

所以。的取值范圍是45。＜。＜135。.

變式2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知A（3,3）,B（T,2）,C（0,-2）.

（1）求直線AB和AC的斜率；

（2）若點(diǎn)。在線段BC（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求直線的斜率的變化范圍.

【答案】（1）直線A8的斜率為;，直線AC的斜率為g

一15一

【分析】（1）根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)傾斜角和斜率之間的關(guān)系分析求解.

【詳解】（1）由斜率公式可得直線A8的斜率左鈣=52-^3=11，

直線AC的斜率七c=上=

人。3-03

故直線A2的斜率為:，直線AC的斜率為*

（2）如圖所示，當(dāng)。由8運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，直線AO的傾斜角增大且為銳角，

直線AD的斜率由kAB增大到kAC,

所以直線4。的斜率的變化范圍是

變式3.（2023秋?江西撫州?高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A（-M）,2（1』）,C（2,^+1）,。為的

邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，則直線5D斜率左的變化范圍是（）

A.0,9B.（-co,0］u［^,+ooj

C.￥，指D.（-8,0］。［石，+co）

【答案】D

【分析】作出圖象，求出A民BC的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.

【詳解】如圖所示，

I1-1,6+1-1后

knk3

AB=—=^BC=2-1=V，

因?yàn)?。為ABC的邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，

所以直線應(yīng)＞斜率上的變化范圍是（-8,。］口［石,+8）.

故選：D.

變式4.（2023秋?安徽滁州?高二?？计谥校┮阎c(diǎn)A（-l,2）,5（2,-2）,C（0,3）,若點(diǎn)M（a,b）是線段A3上

的一點(diǎn)（aw0）,則直線CM的斜率的取值范圍是（）

一訓(xùn)（0,1］

A.-I1B.

C.-1-1D.u[l,+oo)

【答案】D

【分析】利用圖像結(jié)合直線的斜率范圍求解即可.

【詳解】由斜率公式可得Kc=?W=i，得

—1—U2—(J2

當(dāng)"介于AD之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為[1,+8),

當(dāng)M介于之間時(shí)，直線斜率的取值范圍為

所以直線CM的斜率的取值范圍為卜咫u[l,+s),

故選：D.

變式5.(2023秋?安徽蕪湖?高二安徽省無(wú)為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí))經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(O,1)作直線/,若直線/與連

接4(2,3),3(-1,2)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是

【答案】k<-\^k>l

【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.

【詳解】如圖，直線/與線段總有公共點(diǎn)，即直線/以直線上4為起始位置，繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線尸B

即可，

直線/的斜率為％,直線PA,尸8的斜率分別為⑥A，原…于是kSkpB或kZkpA,

而即A=——=1,^==~1，因此ZW-l或左21,

2—。B—1-（J

所以直線/的斜率的取值范圍是上4-1或左21.

故答案為：kW-1或左21

變式6.（2023秋?江蘇連云港?高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)4（-2,3）,網(wǎng)3,2）,若直線依+y+2=0與線段.

沒(méi)有交點(diǎn)，則〃的取值范圍是（）

(［。一］5一4

A.0,U—,+00

3

一54~

C.——

一2'3_

【答案】B

【分析】求出直線CAC3的斜率，結(jié)合圖形得出，的范圍.

【詳解】直線6+y+2=0過(guò)定點(diǎn)C（0,-2）,且七0=-永稅=：，

54

由圖可知直線與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，斜率-。滿足-：＜-Q＜],

解得Q,

故選：B.

||西真題演練I?

-------------------llllllllilllllllillllllllllllllilllllllll------------------------

1.直線y=2與直線尤+y-2=0的夾角是（）

兀一兀一兀一3兀

A.-B.—C.-D.—

4324

【答案】A

【分析】由斜率得傾斜角后求解，

萬(wàn)

【詳解】直線＞=2的傾斜角為0,直線％+丁-2=。的斜率為T,傾斜角為一3,

4

兩條直線的夾角為

4

故選：A

2.圖中的直線/「JI的斜率分別為匕，/，片，則有（）

A.kt<k2<k3B.kt>k2>k3

C.k1<k3<k2D.k3<k1<k2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.

【詳解】由圖象可得，K<o<k3<k2,

故選：C

3.若三點(diǎn)A（2,2）,B（a,O）,C（0,&）,（曲W0）共線，則：的值等于一

ab

【答案】:/0.5

【分析】由三點(diǎn)共線，利用斜率的公式可得。+5=1浦，進(jìn)而可求目標(biāo)式的值.

【詳解】由題知，直線AC的斜率存在，由三點(diǎn)共線可知

2-02-b1

由^AB-kAC:~~~,即〃+，=7ab,又abW0,

2—Q2-02

?1+1-1

ab2

故答案為：!

/'''''

I［圖過(guò)關(guān)檢測(cè)

----------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

一、單選題

1.（2023秋?貴州貴陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）以下四個(gè)命題，正確的是（）

A.若直線/的斜率為1,則其傾斜角為45。或135。

B.經(jīng)過(guò)人。，0）,3（-1,3）兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角

C.若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對(duì)應(yīng)

D.若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)

【答案】D

【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：直線的斜率為1,則直線的傾斜角為45。，故A錯(cuò)誤；

B：過(guò)點(diǎn)A、8的直線的斜率為左=3乎-0=-；3＜0,

-1-12

3

即tana=＜0（a為直線的傾斜角），則a為鈍角，故B錯(cuò)誤；

C：當(dāng)直線的傾斜角為90。時(shí)，該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；

D：若直線的斜率存在，則必存在對(duì)應(yīng)的傾斜角，故D正確.

故選：D.

2.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）已知一直線經(jīng)過(guò)兩4L2）,8（。,3）,且傾斜角為135。，則。的值為（

A.-6B.-4

C.0D.6

【答案】C

【分析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得。的值.

【詳解】直線經(jīng)過(guò)兩A（l,2）,B（G,3）,.

又直線的傾斜角為135。，斜率一定存在，

則直線的斜率為左=等

a-\

3-2

...——=tanl35°=-l,即a=0.

a—1

故選：C.

3.（2023秋?北京密云?高二統(tǒng)考期末）已知直線/：＞=尤-8.則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)（2,6）在直線/上B,直線/的傾斜角為？

C.直線/在y軸上的截距為8D,直線/的一個(gè)方向向量為u=（1,-1）

【答案】B

【分析】逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)x=2,y=6時(shí)，代入直線方程后得6片2-8,...點(diǎn)（2,6）不在直線/上，故A項(xiàng)錯(cuò)

誤；

7T

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)直線/的傾斜角為凡；左=1,，tane=l,又：夕日。,7），，。二一，故B項(xiàng)正確；

4

對(duì)于C項(xiàng)，令x=0得：＞=-8,.?.直線/在y軸上的截距為一8,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，?.?直線/的一個(gè)方向向量為v=.?.左=9=-1,這與已知人=1相矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.（2023秋?山西臨汾?高二統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)A（2,-3）,8（4,3）,C（5,6）在同一直線上，則實(shí)數(shù)6等于（）

A.-12B.-6C.6D.12

【答案】C

【分析】由題意得七B=&c，列式求解即可.

【詳解】因?yàn)樾腂="C，又3B=W?=3,3c=r^=審，

所以3=b3+工3即6=6.

故選：C.

5.（2023春?山東濱州?高一?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)尸［2,m）,Q（m,4）的直線的斜率為1,那么小的值為（）

A.1或4B.4C.1或3D.1

【答案】D

【分析】利用直線的斜率公式求解.

【詳解】解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)尸12,m），Q（m,4）,且斜率為1,

4—m

所以A==1,解得〃7=1,

加+2

故選：D

6.（2023春?河南安陽(yáng)?高二安陽(yáng)一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)A（2,3）,3（T,x）,直線A3的傾斜角為可，

則x=（）

A.3-3有B.3+—C.3+3括D.6

3

【答案】C

【分析】根據(jù)斜率公式列式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)橹本€A3的傾斜角為號(hào)，4（2,3）,3（-1,尤）,

可得直線AB的斜率為乙==tan§=-指，

可得x=3+35

故選：C

7.（2023秋?湖南湘潭?高二校聯(lián)考期末）若直線/的斜率為3且％2=3,則直線/的傾斜角為（）

A.30或150B.45或135C.60或120D.90或180

【答案】C

【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為0<?<180

因?yàn)樽?=3,所以％=±A/§\

當(dāng)左=石時(shí)，即tana=有，則a=60；

當(dāng)左=-6時(shí)，即tanau-8，則a=120,

所以直線/的傾斜角為60或120.

故選：C.

8.（2023秋?山西晉中?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,2）,鞏TO）的直線的斜率為（）

A.—2B.——C.~D.2

【答案】D

【分析】利用斜率公式即可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（0,2）,3（-1,0）的直線的斜率.

【詳解】由斜率公式可得：言、=2,

則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,2）,B（-l,0）的直線的斜率為2

故選：D

9.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2,3）,N（4,3）,則直線/的傾斜角為（）

A.0°B.30°

C.60°D.90°

【答案】A

【分析】由兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可直接得到直線的傾斜角.

【詳解】因?yàn)镸（2,3）,N（4,3）兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，

所以直線/平行于x軸，

所以直線/的傾斜角為0。.

故選：A

10.（2023秋?四川宜賓?高二四川省宜賓市南溪第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)直線/的斜率為3且-百

則直線/的傾斜角的取值范圍為（）

A.

715兀）

C.49~6~I

【答案】A

【分析】設(shè)直線/的傾斜角為心0（￡<兀，則有左=tan<z,0<&<兀，作出y=tane（0v媛<兀）的圖象，由

圖可得a的范圍，即可得答案.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為％<兀，

貝!I有左=tanar,0<a<7t,

作出y=tana（0Wa<7t）的圖象，如圖所示:

故選：A.

11.（2023秋?江蘇連云港?高二?？计谀┙?jīng)過(guò)兩點(diǎn)4（1,帆），3（1,3）的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)機(jī)

的范圍是（）

A.（-oo,-3）<J（-2,+co）B.（-3,-2）

C.（2,3）D.（―°°,2）u（3,+oo）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.

【詳解】由題意經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A。,"?），以根-1,3）的直線的傾斜角是銳角,

—r乙YY1-t3—m八

可知機(jī)—1W1,且---->0,

m-2

解得2<3,即實(shí)數(shù)機(jī)的范圍是（2,3）,

故選：C

12.（2023春?上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┘褐獌牲c(diǎn)A（2,-l）,B（-5-3）,直線/過(guò)點(diǎn)（1,1）,

若直線/與線段A3相交，則直線/的斜率取值范圍是（）

2-2

A.(-oo,-2]—,+00B.4

3