浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

Page20浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補集及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則等于（）．A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用計算出，即可得到答案【詳解】因為，所以，，所以，故選：D3.已知，，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量公式可求得在上投影向量.【詳解】由題意可知，在上投影向量為.故選：B.4.正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為（）．A.20 B.28 C.40 D.50【答案】C【解析】【分析】將正整數(shù)2160分解質(zhì)因數(shù)，由此確定其正因數(shù)的個數(shù).【詳解】因為，所以其質(zhì)因數(shù)屬于集合，該集合的元素個數(shù)為，所以正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為40，故選：C.5.“北溪”管道泄漏事務(wù)的爆發(fā)，使得歐洲能源供應(yīng)危機成為舉世矚目的國際公共事務(wù)．隨著管道泄漏，大量自然氣泄漏使得超過8萬噸類似甲烷的氣體擴散到海洋和大氣中，將對全球氣候產(chǎn)生災(zāi)難性影響．假設(shè)海水中某種環(huán)境污染物含量P（單位：）與時間t（單位：天）間的關(guān)系為：，其中表示初始含量，k為正常數(shù)．令為之間海水稀釋效率，其中，分別表示當(dāng)時間為和時的污染物含量．某探討團隊連續(xù)20天不間斷監(jiān)測海水中該種環(huán)境污染物含量，依據(jù)5天一期進行記錄，共分為四期，即，，，分別記為Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，則下列哪個時期的稀釋效率最高（）．A.Ⅰ期 B.Ⅲ期 C.Ⅲ期 D.Ⅳ期【答案】A【解析】【分析】利用兩點的斜率公式及函數(shù)圖象的特點即可求解.【詳解】由題意可知，表示兩點和間的斜率肯定值，但函數(shù)的圖象特點是遞減同時后面會越減越慢.故選：A.6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)的運算公式化簡，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】由對數(shù)運算公式可得，因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即，所以，故選：B.7.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，且∴∴即得∴[點評]本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，需考生加強學(xué)問系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí).另外，隱藏性較強，須要考生具備肯定的視察實力.8.已知實數(shù)x，y滿意：，，則的值是（）．A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】對后面式子變形，構(gòu)造成同一種形式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題.【詳解】解：∵，則即，令，，則，令，由明顯為增函數(shù)，且，可知，從而．故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，連接點A和坐標(biāo)原點O的直線交拋物線準(zhǔn)線于點D，則（）．A.F坐標(biāo)為 B.最小值為4C.肯定平行于x軸 D.可能為直角三角形【答案】BC【解析】【分析】對A選項干脆由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)即可判定，對于B選項設(shè)線，設(shè)點得到，利用基本不等式即可得到其最小值，對于C選項利用B選項中得到的結(jié)論，即可證明即可證明平行，對于D選項，對三個內(nèi)角進行判定其向量點乘是否為0或是斜率乘積是否為即可.【詳解】對A選項，，，，即，故A錯誤,對B選項，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線得，則，，兩式相乘得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故B正確；對C選項，,令，則，故,因為,故肯定平行于軸，故C正確，對D選項，因為,故不為直角,兩式作差得，故，即，,故不為直角,同理故不為直角，故D錯誤，故選：BC.10.四邊形是邊長為2的正方形，E、F分別為、的中點，分別沿、及所在直線把、和折起，使B、C、D三點重合于點P，得到三棱錐，則下列結(jié)論中正確的有（）．A.三棱錐的體積為B.平面平面C.三棱錐中無公共端點的兩條棱稱為對棱，則三棱錐中有三組對棱相互垂直D.若M為的中點，則過點M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，依據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面，推斷B，依據(jù)錐體體積公式求三棱錐的體積推斷A，由線面垂直的性質(zhì)推斷C，由球的截面的性質(zhì)推斷D.【詳解】由已知，，翻折前，，，翻折后，則有，，，因為，，，平面，所以平面，因平面，，又，，所以，A錯誤，因為平面，又平面，所以平面平面，B正確，因為平面，平面，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，所以三棱錐中有三組對棱相互垂直，C正確，將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球球心為體對角線的中點，且，即球的半徑為，所以，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面圓的半徑設(shè)為，設(shè)球心到截面圓的距離為，則，、分別為、的中點，則，則，又，所以當(dāng)時，取最小值，所以過點M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為，D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，（）．A.若在區(qū)間上單調(diào)，則B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到曲線C，若曲線C對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，最小值為C.函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則D.關(guān)于x的方程在上有兩個不同的解，則【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可推斷A，依據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可推斷B，依據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)可推斷CD.【詳解】對于A，，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以，綜上，或，A錯誤；對于B，的圖象向左平移個單位得到，若為偶函數(shù)，則有，解得，，而，所以最小值為，B正確；對于C，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則有，解得：，C正確；對于D，，即，，，則，解得：，D正確.故選：BCD12.已知和都是定義在R上的函數(shù)，則（）．A.若，則的圖象關(guān)于點中心對稱B.函數(shù)與的圖象關(guān)于關(guān)于直線對稱C.若是不恒為零的偶函數(shù)，且對隨意實數(shù)x都有，則D.若方程有實數(shù)解，則不行能是【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)推斷A，分析函數(shù)與的圖象關(guān)系與和的圖象關(guān)系，由此推斷B，由函數(shù)關(guān)系取特別值結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值推斷C，證明方程有實數(shù)解等價于方程有解，由此推斷D.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點中心對稱；A正確；因為函數(shù)的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的，因為，所以的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的；又因為與的圖象是關(guān)于軸（直線）對稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，B錯誤因為函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，所以在中令，可得，即令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，又，所以，則所以，所以，C正確，設(shè)是方程的一個根，則，故再令，則，即方程有解；又方程無解，所以不行能是.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的綻開式中，的系數(shù)為___________；【答案】【解析】【分析】先求出二項綻開式的通項公式，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求出綻開式中項的系數(shù).【詳解】由二項綻開式的通項公式得，其中令，即，故綻開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.已知圓上恰有2個點到直線距離為2，當(dāng)r為正整數(shù)時，寫出一個可能的r的值為_____________．【答案】4（答案不唯一）【解析】【分析】計算圓心到直線的距離，由條件確定半徑的大小.【詳解】因為圓的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離，由圓上恰有2個點到直線距離為2，可得，所以，又r為正整數(shù)，所以r的值為4或5或6，故答案為：4(答案不唯一).15.已知，過點可作曲線的三條切線，則的范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程有3個解，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的圖像，視察圖像確定的范圍.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為，將代入切線方程，得，即為方程的解，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取微小值，微小值為，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為，因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的解，與的圖像有三個不同的交點，所以，即的范圍是.故答案：.16.已知雙曲線，過點的動直線與C交于兩點P，Q，若曲線C上存在某定點A使得為定值，則的值為_____________．【答案】##0.8【解析】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達定理法可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)，，，，則，由，可得，則，，所以，要使為定值，則，可得，，或，，，故．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列中，，成公差為1的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，化簡求數(shù)列的通項公式；(2)利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．【小問1詳解】因為成公差為1的等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列的首項為，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，可知，所以所以．18.銳角中，已知．（1）求角B；（2）若，求的面積S的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式化簡，可得，解出B即可；（2）由已知條件，得到A的范圍，將面積公式化簡變形用A的三角函數(shù)表示，求出最值.【小問1詳解】∵∴由銳角，可知．【小問2詳解】由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴19.三棱臺中，為正三角形，，，，．（1）求證：；（2）若二面角的平面角大小為，且在線段上有點D使得平面平分四面體的體積，求與面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點為，通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）利用等體積法求得點到平面的距離，再求線面角即可.【小問1詳解】證明：取中點為M，連接，如下所示：∵由為正三角形，∴．∵且，∴為平行四邊形，∴．∵，面，∴面，又∵面，∴．【小問2詳解】∵平面平分四面體體積，∴D為的中點，∴，連接，取中點為，連接，如下所示：由（1）知，為的二面角的平面角，∴，∴為正三角形，又，∴，又面面，故，又，面，故面；在中，，，∴，，設(shè)點D到平面的距離為h，由得：，∴，設(shè)與平面所成的角為，則．20.某高校有A，B兩個餐廳為學(xué)生供應(yīng)午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐狀況統(tǒng)計如下：選擇餐廳狀況（午餐，晚餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（1）分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐概率，乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；（2）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事務(wù)“A餐廳推出實惠套餐”，N表示事務(wù)“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，一般來說在推出實惠套餐的狀況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出實惠套餐的狀況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1），；（2）分布列見解析，1.9；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)由統(tǒng)計表確定甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐頻率和乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的頻率，由頻率估計概率即可；(2)由條件確定隨機變量X的可能取值，再求取各值的概率，依據(jù)期望的定義求期望；(3)由條件結(jié)合條件概率公式證明，由此證明.【小問1詳解】設(shè)事務(wù)C為“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐”，事務(wù)D為“乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以，．【小問2詳解】由題意知，甲員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，記X為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的全部可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為：X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】由題知，即，即，即，即，即，即．21.已知M是橢圓的左頂點，過M作兩條射線，分別交橢圓于，，交直線于，．（1）若，求的最小值；（2）當(dāng)，求證：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)將轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系，利用的正切值將角度轉(zhuǎn)化為AM和BM的斜率的關(guān)系，從而得到C和D點縱坐標(biāo)的關(guān)系，用表示，結(jié)合基本不等式即可得到的最小值；(2)設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和已知條件求出m的值，從而確定直線AB所經(jīng)過的定點．【小問1詳解】如圖，M(-2，0)，依據(jù)對稱性，設(shè)，，，當(dāng)時，，化簡得：，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴的最小值為．【小問2詳解】由題可知直線AB斜率不為零，故設(shè)直線，代入可得：，由可得，，，直線MC為：，代入可得：，同理．從而，即，將，代入化簡得，從而直線為，過定點．22.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)，且，，，求的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分與兩種狀況分別探討函數(shù)單調(diào)性即可；（2）首先將已知條件轉(zhuǎn)化為，