山東省淄博市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題含解析

山東省淄博市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每個小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)關(guān)于什么對稱什么不變來解答.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：C.2.已知直線和相互垂直，則a的值為（）A.1 B. C. D.1或【答案】D【解析】【分析】利用直線垂直的公式計(jì)算即可.【詳解】直線和相互垂直,，解得或.故選：D.3.十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法是中國數(shù)學(xué)史上一個宏大的創(chuàng)建，算籌事實(shí)上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)字1~9的一種方法.例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)用6根算籌表示不含0的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，算籌不能剩余，則這個三位數(shù)能被3整除的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意用根算籌組成的無重復(fù)數(shù)字三個數(shù)字組合為；；；，再由排列數(shù)計(jì)算總的基本領(lǐng)件的個數(shù)以及能被整除的基本領(lǐng)件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】用根算籌組成滿意題意的無重復(fù)三個數(shù)字組合為；；；，三位數(shù)有；；；這四種狀況每一種狀況三個數(shù)的全排列，有種，能被整除的基本領(lǐng)件的個數(shù)為的全排列，有種，所以這個三位數(shù)能被3整除的概率為，故選：A.4.某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切面圓柱體），發(fā)覺切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓（如圖所示）若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為，則“切面”所在平面與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，“切面”所在平面與底面所成的角為∠BAM，設(shè)圓的半徑為r，，，，由離心率求得，從而可得∠BAM的余弦值，得角的大?。驹斀狻咳鐖D，“切面”所在平面與底面所成的角為∠BAM，設(shè)圓的半徑為r，則，，，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．5.近年來，部分高校依據(jù)教化部相關(guān)文件規(guī)定開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基安排），假設(shè)甲?乙?丙三人通過強(qiáng)基安排概率分別為，那么三人中恰有兩人通過強(qiáng)基安排的概率為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基安排為相互獨(dú)立事務(wù),依據(jù)概率的乘法公式求解.【詳解】記甲、乙、丙三人通過強(qiáng)基安排分別為事務(wù),明顯為相互獨(dú)立事務(wù),則“三人中恰有兩人通過”相當(dāng)于事務(wù),且互斥,∴.故選:C.6.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：以D為原點(diǎn)，以，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，所以，，所以所求角的余弦值為．故選：A7.已知F為拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則周長的最小值是（）A. B. C.9 D.【答案】B【解析】【分析】的周長最小，即求最小，過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為,轉(zhuǎn)化為求最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖：由已知，準(zhǔn)線方程，在拋物線內(nèi)部，作準(zhǔn)線于，準(zhǔn)線于，所以，由拋物線定義知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，故周長的最小值是.故選：B8.已知圓與圓有且僅有一條公切線，若，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】先通過條件得兩圓內(nèi)切，利用圓與圓的位置關(guān)系得關(guān)系，再利用關(guān)系及基本不等式求的最小值.【詳解】圓的圓心為，半徑圓的圓心為，半徑，兩圓有且僅有一條公切線，兩圓內(nèi)切，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事務(wù)關(guān)系中，說法正確的是（）A.事務(wù)“兩次均擊中”與事務(wù)“至少一次擊中”互為對立事務(wù)B.事務(wù)“恰有一次擊中”與事務(wù)“兩次均擊中”互為互斥事務(wù)C.事務(wù)“第一次擊中”與事務(wù)“其次次擊中”互為互斥事務(wù)D.事務(wù)“兩次均未擊中”與事務(wù)“至少一次擊中”互為對立事務(wù)【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)對立事務(wù)和互斥事務(wù)的概念，分析各個選項(xiàng)的內(nèi)容即可得到答案【詳解】對于A，事務(wù)“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中“，所以不是對立事務(wù)，A錯誤對于B，事務(wù)“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”它與事務(wù)“兩次均擊中”是互斥事務(wù)，B正確對于C，事務(wù)“第一次擊中”包含“第一次擊中、其次次擊中”和“第一次擊中、其次次不中”，所以與事務(wù)“其次次擊中”不是互斥事務(wù)，C錯誤對于D，事務(wù)“兩次均未擊中”的對立事務(wù)是“至少一次擊中”，D正確故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查對立事務(wù)和互斥事務(wù)的概念，屬于簡潔題10.在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在棱上運(yùn)動（不與頂點(diǎn)重合），則點(diǎn)到平面的距離可以是（）A. B. C.2 D.【答案】CD【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得平面的法向量，進(jìn)而即得.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，，設(shè)為平面的法向量，則有：，令，可得，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以距離的范圍是.故選：CD.11.已知雙曲線的左焦點(diǎn)，過且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，則下列結(jié)論正確的有（）A.雙曲線的方程為B.雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為C.到雙曲線漸近線的距離為D.雙曲線離心率為【答案】AB【解析】【分析】由左焦點(diǎn)，得，再依據(jù)的面積為，由，求得雙曲線的方程，再逐項(xiàng)推斷.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為，所以，將代入雙曲線得，所以過與軸垂直的直線與雙曲線交于，所以的面積為，即，又，所以，所以雙曲線的方程為，故正確;則雙曲線的漸近線方程為，所以兩漸近線的傾斜角為，則兩漸近線所成的銳角為，故B正確;不妨取漸近線，即，到雙曲線漸近線的距離為,故C錯誤﹔雙曲線的離心率為.故D錯誤;故選：AB12.已知圓，圓，則（）A.若圓與圓無公共點(diǎn)，則B.當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦長所在直線方程為C.當(dāng)時(shí)，P、Q分別是圓與圓上的點(diǎn)，則的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，過直線上隨意一點(diǎn)分別作圓、圓切線，則切線長相等【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)兩圓無公共點(diǎn)可得，圓內(nèi)含或外離，從而求出的范圍，推斷A錯；由兩圓的方程作差，即可得出公共弦所在直線方程，推斷B正確；由，先推斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而可得范圍，推斷C正確；依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出直線上隨意一點(diǎn)到兩圓心的距離，進(jìn)而求出切線長，即可推斷D正確.【詳解】由題意，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；則圓心距為；A選項(xiàng)，若圓與圓無公共點(diǎn)，則只需或，解得或，故A錯；B選項(xiàng)，若，則圓，由與兩式作差，可得兩圓公共弦所在直線方程為，故B正確；C選項(xiàng)，若，則，此時(shí)，所以圓與圓相離；又P、Q分別是圓與圓上的點(diǎn)，所以，即，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，兩圓外離；記直線上隨意一點(diǎn)為，則，所以，，因此切線長分別為，，即，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于熟記圓與圓位置關(guān)系、公共弦所在直線方程的求法，以及圓的切線長的求法等，結(jié)合題中條件，即可求解.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.把一顆骰子投擲兩次，視察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量，則向量與向量不共線的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是一顆骰子擲兩次，共有種結(jié)果，向量與向量不共線的對立事務(wù)是與向量共線，依據(jù)向量共線的條件得到，列舉出全部的結(jié)果數(shù)，得到共線的概率，從而求得不共線的概率.【詳解】由題意知本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是一顆骰子擲兩次，共有種結(jié)果，當(dāng)向量與共線時(shí)，有，即，滿意這種條件的有，共有3種結(jié)果，向量與共線的概率，依據(jù)對立事務(wù)，向量與不共線的概率，故答案為：.14.過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則＝___【答案】1【解析】【詳解】由可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)過點(diǎn)直線方程為代入拋物線方程，得，化簡后為：，設(shè)，則有，依據(jù)拋物線定義可知，，，故答案為.15.直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】【分析】先通過視察可得到定點(diǎn)，再利用直線與直線垂直，以及線段的中點(diǎn)在直線上列方程求解點(diǎn)N坐標(biāo).【詳解】直線，即，當(dāng)，即時(shí)，，故直線恒過定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)N坐標(biāo)為，，，即，故答案為：.16.定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則___________，若“黃金橢圓”兩個焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)N，則___________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】由離心率的定義可求得，利用結(jié)合橢圓定義可求解．【詳解】由題，，所以．如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，，∴，∴∴，∴．故答案為：；．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.11分制乒乓球競賽，每贏1球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競賽結(jié)束．已知甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行11分制乒乓球競賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球?假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求事務(wù)“兩人又打了2個球競賽結(jié)束”的概率：（2）求事務(wù)“兩人又打了4個球競賽結(jié)束且甲獲勝”的概率．【答案】（1）0.5（2）0.1【解析】【分析】（1）設(shè)雙方10：10平后的第個球甲獲勝為事務(wù)，又打了個球競賽結(jié)束，則由能求出結(jié)果．

（2）且甲獲勝，由此能求出事務(wù)“且甲獲勝”的概率．【小問1詳解】設(shè)雙方10：10平后的第個球甲獲勝為事務(wù)，又打了個球競賽結(jié)束，

則；【小問2詳解】且甲獲勝.18.已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，且它的一條漸近線方程為．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為依據(jù)題意求出即可（2）設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，由韋達(dá)定理，然后利用弦長公式計(jì)算即可【小問1詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，所以，①又雙曲線的一條漸近線為，所以，②又，③聯(lián)立上述式子解得，，故所求方程為；【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立，整理得，由，所以，，即19.如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿意，點(diǎn)P滿意．（1）用向量表示；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）先計(jì)算，再開方即可求解【小問1詳解】因?yàn)镸是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿意，點(diǎn)P滿意．所以．【小問2詳解】因?yàn)樗拿骟w是正四面體，則，，，所以．20.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，又滿意.（1）求的值；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，依據(jù)題意可得圓心在直線上，進(jìn)而可求出的值；（2）先由題意設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】曲線方程可化為，圓心為，半徑為的圓.因?yàn)樵趫A上且關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，代入得，.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的方程為.設(shè)，將直線代入圓的方程，得，由，解得.所以，，，因?yàn)?，則，所以，解得，故所求直線方程為.21.已知三棱錐的平面綻開圖中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，（如圖2所示）．在三棱錐中：（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)且，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，由已知可得，，然后求出和，利用勾股定理證明，結(jié)合，即可證得平面，進(jìn)一步證明面面垂直；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo).然后求出平面與平面的法向量，利用向量法即可求出答案.【小問1詳解】由已知，可得，，，.如圖3，取中點(diǎn)為，連結(jié)、.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，所以，同理.又因?yàn)椋?，同?在中，有，所以為直角三角形，所以.因?yàn)?，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖4，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以.由，可得.所以，則.設(shè)是平面的一個法向量.因?yàn)?，，所以，即，取，則，，所以.設(shè)是平面的一個法向量.因?yàn)?，，所以，即，取，則，，則.因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.已知橢圓的焦距為，分別為左右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的周長為8．（1）求橢