新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)八等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式二北師大版選擇性必修第二冊

課時作業(yè)(八)等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式(二)[練基礎(chǔ)]1．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，則a2a6的值為()A．4B．8C．36D．322．一個數(shù)分別加上20，50，100后得到的三個數(shù)成等比數(shù)列，其公比為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(1,2)3．等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a7＝eq\f(1,16)，則a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則m等于()A．9B．10C．11D．125．計(jì)算機(jī)的價格不斷降低，若每件計(jì)算機(jī)的價格每年降低eq\f(1,3)，現(xiàn)在價格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價格可降低為()A．300元B．900元C．2400元D．3600元6．(多選題)對隨意等比數(shù)列{an}，下列說法肯定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a5成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列7．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an>0，a5＝eq\f(1,2)，且a2a8a11＝8，則數(shù)列{an}的公比q＝________．8．已知某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍，那么該單位此年的月平均增長率是________．9．在等比數(shù)列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．10．設(shè)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．[提實(shí)力]11．(多選題)已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，則a5的值可能是()A．2B．4C．eq\f(8,5)D．eq\f(8,3)12．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成以eq\f(1,2)為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則eq\f(m,n)等于()A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C．eq\f(2,3)D．以上都不對13．在eq\f(8,3)和eq\f(27,2)之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為________．14．在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝________．15．從盛滿aL(a>1)純酒精的容器中倒出1L純酒精，然后加滿水，再倒出1L混合溶液后又用水加滿，如此接著下去……第n次操作后酒精的濃度是多少？若a＝2，至少倒幾次后才能使酒精濃度低于10%?[培優(yōu)生]16．在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”．將數(shù)列1，2進(jìn)行“擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列1，2，2；其次次得到數(shù)列1，2，2，4，2；….設(shè)第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1，x1，x2，…，xt，2，并記an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．課時作業(yè)(八)等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式(二)1．解析：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a2a6＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝36.故選C.答案：C2．解析：設(shè)這個數(shù)為x，則(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，所以這三個數(shù)為45，75，125，公比q為eq\f(75,45)＝eq\f(5,3).故選A.答案：A3．解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×eq\f(1,16)＝eq\f(1,4)，所以a3a6＋a4a5＝eq\f(1,2).故選C.答案：C4．解析：在等比數(shù)列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(1))q10＝q10.∵am＝a1qm－1＝qm－1，∴m－1＝10，∴m＝11.故選C.答案：C5．解析：降低后的價格構(gòu)成以eq\f(2,3)為公比的等比數(shù)列．則現(xiàn)在價格為8100元的計(jì)算機(jī)3年后的價格可降低為8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝2400(元).故選C.答案：C6．解析：設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比是q，則an＝a1qn－1，A．eq\f(a3,a1)＝q2＝eq\f(a5,a3)，a1，a3，a5成等比數(shù)列，正確；B.eq\f(a3,a2)＝q，eq\f(a6,a3)＝q3，在q≠1時，兩者不相等，錯誤；C.eq\f(a4,a2)＝q2，eq\f(a8,a4)＝q4，在q2≠1時，兩者不相等，錯誤；D.eq\f(a6,a3)＝q3＝eq\f(a9,a6)，a3，a6，a9成等比數(shù)列，正確．故選AD.答案：AD7．解析：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是等比數(shù)列，則a2a8a11＝eq\f(a7,q5)·a7q·a7q4＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))＝8，所以a7＝2，而an>0，a5＝eq\f(1,2)，所以公比q＝2.答案：28．解析：設(shè)一月份產(chǎn)值為1，此年的月平均增長率為x.則(1＋x)11＝m，解得x＝eq\r(11,m)－1.答案：eq\r(11,m)－19．解析：在等比數(shù)列{an}中，由a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝8，得a4＝2，又因?yàn)閍2a6＝a3a5＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，所以a2a3a4a5a6＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(4))＝25＝32.10．解析：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1a2a3)＝3，∴a1a2a3＝23＝8.∵aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝a1a3，∴a2＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.∵b1b2b3＝－3，∴l(xiāng)og2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,q)))log22log2(2q)＝－3，即(1－log2q)·1·(1＋log2q)＝－3.解得log2q＝2或log2q＝－2.∴q＝4或q＝eq\f(1,4).∴所求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－3或an＝25－2n.11．解析：依題意，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，∴a3>0，a7>0，a5>0，∴eq\r(6)＝eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)≥2eq\r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝eq\f(2\r(6),\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))))，因?yàn)閍5>0，所以上式可化為a5≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a3＝eq\f(2\r(6),3)，a7＝eq\r(6)時等號成立．故選ABD.答案：ABD12．解析：不妨設(shè)eq\f(1,2)是x2－mx＋2＝0的根，則其另一根為4，∴m＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，對方程x2－nx＋2＝0，設(shè)其根為x1，x2(x1＜x2)，則x1x2＝2，∴等比數(shù)列為eq\f(1,2)，x1，x2，4，∴q3＝eq\f(4,\f(1,2))＝8，∴q＝2，∴x1＝1，x2＝2，∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴eq\f(m,n)＝eq\f(9,2×3)＝eq\f(3,2).若設(shè)eq\f(1,2)是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝eq\f(9,2)，m＝3，則eq\f(m,n)＝eq\f(2,3).故選B.答案：B13．解析：方法一設(shè)這個等比數(shù)列為{an}，其公比為q.∵a1＝eq\f(8,3)，a5＝eq\f(27,2)＝a1q4＝eq\f(8,3)·q4，∴q4＝eq\f(81,16)，∴q2＝eq\f(9,4).∴a2a3a4＝a1q·a1q2·a1q3＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))q6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(3)＝63＝216.方法二設(shè)這個等比數(shù)列為{an}，公比為q，則a1＝eq\f(8,3)，a5＝eq\f(27,2)，加入的三項(xiàng)分別為a2，a3，a4.∵由題意可知a1，a3，a5也成等比數(shù)列，且a3與a1，a5同號，∴aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝eq\f(8,3)×eq\f(27,2)＝36，故a3＝6.∴a2a3a4＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·a3＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝216.答案：21614．解析：因?yàn)閑q\f(1,a7)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a10,a7a10)，eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＝eq\f(a8＋a9,a8a9)，又因?yàn)閍8a9＝a7a10，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq\f(\f(15,8),－\f(9,8))＝－eq\f(5,3).答案：－eq\f(5,3)15．解析：第一次取出純酒精1L，加水后，濃度為eq\f(a－1,a)＝1－eq\f(1,a)，記為a1＝1－eq\f(1,a)；其次次取出純酒精eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))·1L，再加水后，濃度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(2)，記為a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(2)；……依次類推，第n次取出純酒精eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n－1)·1L，再加水后，濃度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n)，記為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,a)))eq\s\up12(n).當(dāng)a＝2時，由an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)<10%，得n≥4.即至少倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.16．解析：an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(1))·xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(2))·xeq