專(zhuān)題01旋轉(zhuǎn)問(wèn)題(原卷版+解析)

專(zhuān)題01旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【解題方法】遇見(jiàn)中點(diǎn)要旋轉(zhuǎn)，遇見(jiàn)等腰要旋轉(zhuǎn)（等腰三角形、等腰直角三角形），遇見(jiàn)等邊要旋轉(zhuǎn)（等邊三角形），遇見(jiàn)正方形要旋轉(zhuǎn).【口訣】等線(xiàn)段，共端點(diǎn)，必旋轉(zhuǎn)，必全等，有相似，要牢記.【模型一】旋轉(zhuǎn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短法解題口訣：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形；等邊三角形，等量代換的結(jié)果。1．(2023秋?鳩江區(qū)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)AE∥BC時(shí)，設(shè)DE與AC于交P．證明：△ADP是等邊三角形；（2）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），α為多少時(shí)，使得△ADE的頂點(diǎn)D落在BC上？（3）當(dāng)直角三角形變?yōu)橐话闳切螘r(shí)，如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可以得到∠APB＝60°，試證明：PA+PC＝PE．【模型二】雙旋三角形面積問(wèn)題解題關(guān)鍵：作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形2．(2023春?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC'，聯(lián)結(jié)B'C．當(dāng)α+β＝30°時(shí)，我們稱(chēng)△AB'C'是△ABC的“雙旋三角形”．如果等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，那么它的“雙旋三角形”的面積是．（用含a的代數(shù)式表示）3．(2023春?松江區(qū)期中）如圖，將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB′，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC′，聯(lián)結(jié)B′C′，當(dāng)α+β＝60°時(shí)，我們稱(chēng)△AB′C′是△ABC的“雙旋三角形”，如果等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，那么它所得的“雙旋三角形”中B′C′＝（用含a的代數(shù)式表示）．【模型三】正方形與旋轉(zhuǎn)面積解題關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造等腰直角三角形；作垂直，構(gòu)造等腰直角三角形；勾股定理逆定理，證明三角形是直角三角形，三點(diǎn)共線(xiàn)4．(2023?回民區(qū)二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為、、4，則正方形ABCD的面積為（）A． B． C．12 D．24【模型四】三角形面積最大問(wèn)題（隱圓問(wèn)題）解題關(guān)鍵：三角形求面積，先作高；有定點(diǎn)，有定長(zhǎng)，構(gòu)造圓，相切角最大；證全等，可知結(jié)果6．(2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，連接BF，DE．若△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABF最大時(shí)，S△ADE＝．【模型五】手拉手模型求線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系解題關(guān)鍵：知等邊及特殊角，旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形/直角三角形隱圓問(wèn)題：定邊對(duì)定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動(dòng)點(diǎn)折疊，必有隱圓；同側(cè)共邊等角，異側(cè)共邊互補(bǔ)，必有隱圓；矩形、正方形，四個(gè)頂點(diǎn)是共圓，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是圓心，對(duì)角線(xiàn)是直徑5．(2023?新余一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度數(shù)．（2）連接AC，探究AD，AB，AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若BC＝2，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足DE2＝CE2+BE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【模型六】三角形面積最大值問(wèn)題（手拉手）解題關(guān)鍵：底邊是定值，垂直平分高最大。遇見(jiàn)平方等式，要用手拉手模型；構(gòu)造全等三角形，等量代換是解題三要素；等腰圖形有旋轉(zhuǎn)，辯清共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)邊；關(guān)注三邊旋轉(zhuǎn)角，全等思考邊角邊；7．如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE＝4﹣2，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），如圖②，連接CE，BD．（1）當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，求證：CE＝BD；（2）如圖③，當(dāng)α＝90°時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)N，求證：CN垂直平分BD；（3）如圖④，當(dāng)0°＜α＜270°時(shí)，連接BE，求BE的取值范圍；（4）△ADE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求△BCD的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；（5）如圖⑤，當(dāng)ED∥AB時(shí)，連接CD，判斷CD與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型七】共端點(diǎn)模型與旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等、相似三角形問(wèn)題解題關(guān)鍵：等線(xiàn)段，共端點(diǎn)，必旋轉(zhuǎn)；必全等，有相似，要牢記；8．(2023?歷下區(qū)三模）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫(huà)圖：將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′，此時(shí)∠ABB′＝；【問(wèn)題解決】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問(wèn)題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流、對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系……請(qǐng)參考他們的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AC＝7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面積；【思維拓展】如圖4，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．【模型八】對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)最小值問(wèn)題9．(2023?南京二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，若P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'，則線(xiàn)段PP'長(zhǎng)度的最小值是（）A． B．2 C．3 D．2【模型九】線(xiàn)段最大值為題（三點(diǎn)共線(xiàn)）解題關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)線(xiàn)段最大值，三點(diǎn)共線(xiàn)最合適；10．(2023?高淳區(qū)二模）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'、B'、C'，則BC'的最大值為．專(zhuān)題01旋轉(zhuǎn)問(wèn)題【解題方法】遇見(jiàn)中點(diǎn)要旋轉(zhuǎn)，遇見(jiàn)等腰要旋轉(zhuǎn)（等腰三角形、等腰直角三角形），遇見(jiàn)等邊要旋轉(zhuǎn)（等邊三角形），遇見(jiàn)正方形要旋轉(zhuǎn).【口訣】等線(xiàn)段，共端點(diǎn)，必旋轉(zhuǎn)，必全等，有相似，要牢記.【模型一】旋轉(zhuǎn)與截長(zhǎng)補(bǔ)短法解題口訣：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形；等邊三角形，等量代換的結(jié)果。1．(2023秋?鳩江區(qū)期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)AE∥BC時(shí)，設(shè)DE與AC于交P．證明：△ADP是等邊三角形；（2）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），α為多少時(shí)，使得△ADE的頂點(diǎn)D落在BC上？（3）當(dāng)直角三角形變?yōu)橐话闳切螘r(shí)，如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可以得到∠APB＝60°，試證明：PA+PC＝PE．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證∠D＝60°，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠C＝∠CAE＝30°，則∠APD＝60°，即可得出結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB＝AD，由（1）得∠B＝60°，則△ABD是等邊三角形，即可得出結(jié)果；（3）連接EC，延長(zhǎng)BC到F，使CF＝PA，連接EF，設(shè)DE交AC于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠EAC＝60°，∠ACB＝∠AED，AE＝AC，易證∠EPC＝∠EAC＝60°，則△ACE是等邊三角形，得出AE＝EC＝AC，∠ACE＝60°，由三角形內(nèi)角和定理和平角性質(zhì)易證∠PAE＝∠ECF，由SAS證得△APE≌△ECF，得出PE＝PF，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠D，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，∴∠APD＝∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，∴△ADP是等邊三角形；（2）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB＝AD，由（1）得：∠B＝60°，∵△ADE的頂點(diǎn)D落在BC上，∴△ABD是等邊三角形，∴∠BAD＝60°，∴α＝60°；（3）證明：連接EC，延長(zhǎng)BC到F，使CF＝PA，連接EF，如圖2所示：設(shè)DE交AC于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠EAC＝60°，∠ACB＝∠AED，AE＝AC，∵∠AHE＝∠PHC，∴∠EPC＝180°﹣∠PHC﹣∠ACB＝180°﹣∠AHE﹣∠AED＝∠EAC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等邊三角形，∴AE＝EC＝AC，∠ACE＝60°，∵∠APB＝60°，∴∠APE＝180°﹣∠APB﹣∠EPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠APE＝∠ACE，∴∠PAE＝180°﹣∠APE﹣∠AED＝180°﹣∠ACE﹣∠ACB＝∠ECF，在△APE和△ECF中，，∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∵PF＝CF+PC＝PA+PC，∴PA+PC＝PE．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【模型二】雙旋三角形面積問(wèn)題解題關(guān)鍵：作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形2．(2023春?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC'，聯(lián)結(jié)B'C．當(dāng)α+β＝30°時(shí)，我們稱(chēng)△AB'C'是△ABC的“雙旋三角形”．如果等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，那么它的“雙旋三角形”的面積是．（用含a的代數(shù)式表示）【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；列代數(shù)式；等邊三角形的性質(zhì)．分析：首先根據(jù)等邊三角形、“雙旋三角形”的定義得出△AB′C′是等腰直角三角形，其中AB′＝AC′＝a．根據(jù)S△AB′C′＝AB′?AC′即可求解．【解答】解：∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB'，∴AB'＝AB＝a，∠B'AB＝α，∵邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC，∴AC'＝AC＝a，∠CAC'＝β，∴∠B'AC'＝∠B'AB+∠BAC+∠CAC'＝α+60°+β＝60°+30°＝90°，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的面積．運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023春?松江區(qū)期中）如圖，將△ABC的邊AB繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到AB′，邊AC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得到AC′，聯(lián)結(jié)B′C′，當(dāng)α+β＝60°時(shí)，我們稱(chēng)△AB′C′是△ABC的“雙旋三角形”，如果等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，那么它所得的“雙旋三角形”中B′C′＝（用含a的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；等邊三角形的性質(zhì)．分析：利用△ABC為等邊三角形得到AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，再利用“雙旋三角形”的定義得到α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，所以∠B′AC＝120°，作AH⊥B′C′于H，如圖，則B′H＝C′H，然后計(jì)算出B′H即可得到B′C′的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵△AB′C′是△ABC的“雙旋三角形”，∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，∴∠B′AC＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，作AH⊥B′C′于H，如圖，則B′H＝C′H，在Rt△AB′H中，AH＝AB′＝a，∴B′H＝AH＝a，∴B′C′＝2B′H＝a．故答案為a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線(xiàn)段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．【模型三】正方形與旋轉(zhuǎn)面積解題關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)90°構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造等腰直角三角形；作垂直，構(gòu)造等腰直角三角形；勾股定理逆定理，證明三角形是直角三角形，三點(diǎn)共線(xiàn)4．(2023?回民區(qū)二模）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C的距離分別為、、4，則正方形ABCD的面積為（）A． B． C．12 D．24【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PM于H．首先證明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共線(xiàn)，利用勾股定理求出AB2即可．【解答】解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM，連接PM，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PM于H．∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝PB＝2，∵PC＝4，PA＝CM＝2，∴PC2＝CM2+PM2，∴∠PMC＝90°，∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPM＝180°，∴A，P，M共線(xiàn)，∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2+1，∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，∴正方形ABCD的面積為14+4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【模型四】三角形面積最大問(wèn)題（隱圓問(wèn)題）解題關(guān)鍵：三角形求面積，先作高；有定點(diǎn)，有定長(zhǎng)，構(gòu)造圓，相切角最大；證全等，可知結(jié)果6．(2023秋?崇川區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，連接BF，DE．若△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABF最大時(shí)，S△ADE＝．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)．分析：過(guò)D作DH⊥AE于H，由題意得△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在以A為圓心，12為半徑的圓上，當(dāng)BF為此圓的切線(xiàn)時(shí)，∠ABF最大，則BF⊥AF，再由勾股定理求出BF＝5，然后證△ADH≌△ABF（AAS），得DH＝BF＝5，最后由三角形面積公式求解即可．【解答】解：過(guò)D作DH⊥AE于H，如圖所示：∵AF＝12，∴當(dāng)△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)F在以A為圓心，12為半徑的圓上，∴當(dāng)BF為此圓的切線(xiàn)時(shí)，∠ABF最大，∴BF⊥AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝5，∴S△ADE＝AE?DH＝×12×5＝30，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADH≌△ABF是解題的關(guān)鍵．【模型五】手拉手模型求線(xiàn)段數(shù)量關(guān)系解題關(guān)鍵：知等邊及特殊角，旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形/直角三角形隱圓問(wèn)題：定邊對(duì)定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動(dòng)點(diǎn)折疊，必有隱圓；同側(cè)共邊等角，異側(cè)共邊互補(bǔ)，必有隱圓；矩形、正方形，四個(gè)頂點(diǎn)是共圓，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是圓心，對(duì)角線(xiàn)是直徑5．(2023?新余一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度數(shù)．（2）連接AC，探究AD，AB，AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若BC＝2，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足DE2＝CE2+BE2，求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．分析：（1）利用四邊形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△QDC，連接AQ，證明∠QDA＝90°，根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；（3）如圖中，將△BCE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDF，連接EF，想辦法證明∠BEC＝150°即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）在四邊形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，∴∠D+∠B＝360°﹣∠A﹣∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△QDC，連接AQ，∴∠ACQ＝60°，AC＝CQ，AB＝QD，∴△ACQ是等邊三角形，∴AC＝CQ＝AQ，由（1）知：∠ADC+∠B＝270°，∴∠ADC+∠CDQ＝270°，可得∠QDA＝90°，∴AD2+DQ2＝AQ2，∴AD2+AB2＝AC2；（3）將△BCE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDF，連接EF，∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝60°，∵DE2＝CE2+BE2，∴DE2＝EF2+DF2，∴∠DFE＝90°，∴∠CFD＝∠CFE+∠DFE＝60°+90°＝150°，∴∠CEB＝150°，則動(dòng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足∠CEB＝150°，以BC為邊向外作等邊△OBC，則點(diǎn)E是以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為，∵OB＝BC＝2，則＝＝．點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及逆定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【模型六】三角形面積最大值問(wèn)題（手拉手）解題關(guān)鍵：底邊是定值，垂直平分高最大。遇見(jiàn)平方等式，要用手拉手模型；構(gòu)造全等三角形，等量代換是解題三要素；等腰圖形有旋轉(zhuǎn)，辯清共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)邊；關(guān)注三邊旋轉(zhuǎn)角，全等思考邊角邊；7．如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE＝4﹣2，連接DE．現(xiàn)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），如圖②，連接CE，BD．（1）當(dāng)0°＜α＜180°時(shí)，求證：CE＝BD；（2）如圖③，當(dāng)α＝90°時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)N，求證：CN垂直平分BD；（3）如圖④，當(dāng)0°＜α＜270°時(shí)，連接BE，求BE的取值范圍；（4）△ADE在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求△BCD的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；（5）如圖⑤，當(dāng)ED∥AB時(shí)，連接CD，判斷CD與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．分析：（1）利用線(xiàn)段的和差定義證明即可；（2）證明CN⊥BD，CD＝CB＝4，可得結(jié)論；（3）根據(jù)AB﹣AE≤BE≤AE+AB，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角的范圍，可得結(jié)論；（4）如圖4中，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△BCD的面積最大，延長(zhǎng)DA交CB于點(diǎn)J．求出DJ，可得結(jié)論；（5）結(jié)論CD＝DB，證明AD垂直平分線(xiàn)段BC即可．【解答】（1）證明：如圖①中，∵AB＝AC，AE＝AD，∴AC﹣AE＝AB﹣AD，∴EC＝BD；（2）證明：如圖②中，∵AC＝AB，∠CAE＝∠BAD＝90°，AE＝AD，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AEC＝∠BEN，∴∠CAE＝∠BNE＝90°，∴CN⊥DB，∵AC＝AB＝2，∴BC＝AC＝4，∵AD＝4﹣2，∴CD＝AC+AD＝4，∴CD＝CB，∴DN＝BN，∴CN垂直平分線(xiàn)段BD；（3）解：∵AE＝4﹣2，AB＝2，∴2﹣（4﹣2）≤BE≤4﹣2+2，∴4﹣4≤BE≤4，∵0＜α＜270°，∴4﹣4≤BE＜4；（4）解：如圖4中，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△BCD的面積最大，延長(zhǎng)DA交CB于點(diǎn)J．則AJ⊥CB，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴CJ＝BJ＝2，∴AJ＝CB＝2，∴DJ＝AD+AJ＝4﹣2+2＝6﹣2，∴△BCD的面積的最大值＝?BC?DJ＝×4×（6﹣2）＝12﹣4；（5）解：如圖5中，結(jié)論：CD＝BD．理由：∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠E＝∠EDA＝45°，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠DAB＝45°，∵∠CAB＝90°，∴∠DAC＝∠DAB，∵AC＝AB，∴AD垂直平分線(xiàn)段BC，∴DC＝DB．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【模型七】共端點(diǎn)模型與旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等、相似三角形問(wèn)題解題關(guān)鍵：等線(xiàn)段，共端點(diǎn)，必旋轉(zhuǎn)；必全等，有相似，要牢記；8．(2023?歷下區(qū)三模）【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．請(qǐng)按要求畫(huà)圖：將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′，此時(shí)∠ABB′＝；【問(wèn)題解決】在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問(wèn)題：（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．經(jīng)過(guò)同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流、對(duì)上述問(wèn)題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系……請(qǐng)參考他們的想法，完成該問(wèn)題的解答過(guò)程；【學(xué)以致用】（3）如圖3，在等邊△ABC中，AC＝7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面積；【思維拓展】如圖4，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．【考點(diǎn)】相似形綜合題．分析：【操作發(fā)現(xiàn)】（1）連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則AB＝AB′，∠B′AB＝90°，即可得出答案；【問(wèn)題解決】（2）由∠ABC＝60°，將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABP'，連接PP′，則△APP′是等邊三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，得出∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∠PP′B＝90°，由勾股定理即可得出結(jié)果；【學(xué)以致用】（3）將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，連接PP′，則△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，得出PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，推出PP′＝PC，即AP＝PC，由勾股定理得出AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，求出PC＝2，AP＝，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；【思維拓展】由等腰三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，得出∠BAC＝∠DAG，∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，證出△ABC∽△ADG，得出BC＝2，DG＝kBC＝2k，證得∠GDC＝90°，得出CG＝＝，即可得出結(jié)果．【解答】【操作發(fā)現(xiàn)】解：（1）連接BB′，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，如圖1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案為：45°；【問(wèn)題解決】解：（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△ABP'，連接PP′，如圖2所示：則△APP′是等邊三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∴∠PP′B＝90°，∴PB＝＝＝5；【學(xué)以致用】解：（3）將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△AP′C，連接PP′，如圖3所示：則△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP?PC＝××2＝7；【思維拓展】解：∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，如圖4所示：∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD