專題01勾股定理的基本應(yīng)用(原卷版+解析)

專題01勾股定理的基本應(yīng)用題型一求面積1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)“趙爽弦圖”中直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，若，大正方形的面積為14，則小正方形的面積為A．2 B．3 C．4 D．52．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為6、10、24，則正方形的面積為A．4 B．6 C．8 D．123．如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以、為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)，兩個(gè)正方形的面積和，則圖中的面積為A．4 B．6 C．8 D．104．正方形的邊長(zhǎng)為1，其面積記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為A． B． C． D．5．如圖，以正方形的邊為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以線段、為邊各自向外作一個(gè)正方形，其面積分別為和，若正方形的面積為10，隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的值為A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不確定6．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．27．如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是A．18 B．24 C．36 D．728．如圖，中，，，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、，則等于A．60 B．80 C．90 D．1209．如圖，直線上有三個(gè)正方形，，，若，的面積分別為4和10，則的面積為．10．勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理．在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，，，，點(diǎn)，，，，，都在矩形的邊上，則空白部分的面積為．11．我國(guó)古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖，若勾，弦，則小正方形的面積是．12．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為4、6、18，則正方形的面積為．13．如圖，在同一平面內(nèi)，直線同側(cè)有三個(gè)正方形，，，若，的面積分別為9和4，則陰影部分的總面積為．14．如圖，正方形、、的面積分別為25、9、16，、、的面積分別為、、，則．題型二求線段長(zhǎng)15．一個(gè)大正方形，被兩條線段分割成兩個(gè)小正方形和兩個(gè)小長(zhǎng)方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為10和6，則小長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為A．4 B．6 C．10 D．1616．如圖，在中，，以為邊在外作正方形，其面積為9，以為斜邊在外作等腰直角三角形，其面積為4，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則A． B． C． D．217．如圖，在中，，于．已知，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為A．5 B． C． D．618．若中，，，高，則的長(zhǎng)為．A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不對(duì)19．如圖，在中，是邊上的中線，于，且，，，則的長(zhǎng)．20．如圖，銳角三角形中，，，，則的面積為．21．如圖所示，的頂點(diǎn)、、在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．22．如圖，在中，，，，的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求出的長(zhǎng)；（2）求出的長(zhǎng)．23．如圖，在中，，于點(diǎn)，，分別交，于點(diǎn)、．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；（2）如圖2，若，求證：．24．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)．題型三通過(guò)勾股定理設(shè)方程25．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形和正方形，即趙爽弦圖．連接，分別交、于點(diǎn)，，連接．已知，且，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．26．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．若，，則的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．27．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，則斜邊的長(zhǎng)是A． B． C． D．28．在長(zhǎng)方形中，，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，平分，則．29．如圖是“趙爽弦圖”，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，如果，且．那么等于．30．閱讀理解如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求線段的長(zhǎng)．解：設(shè)，則．，．在中，，在中，，．又，，．解得，．．知識(shí)遷移（1）在中，，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．如圖1，若，求線段的長(zhǎng)；若，求線段的長(zhǎng)．（2）如圖2，在中，，，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交線段于點(diǎn)，將沿直線翻折后得到對(duì)應(yīng)的，連接，若，求線段的長(zhǎng)．專題01勾股定理的基本應(yīng)用題型一求面積1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)“趙爽弦圖”中直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為，若，大正方形的面積為14，則小正方形的面積為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，解得，小正方形的面積是：，故選：．2．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為6、10、24，則正方形的面積為A．4 B．6 C．8 D．12【解答】解：由題意：，，正方形、、的面積依次為6、10、24，，．故選：．3．如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，分別以、為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)，兩個(gè)正方形的面積和，則圖中的面積為A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：設(shè)，，由題意得：，，，，，的面積．圖中的面積為4．故選：．4．正方形的邊長(zhǎng)為1，其面積記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為A． B． C． D．【解答】解：在圖中標(biāo)上字母，如圖所示．正方形的邊長(zhǎng)為1，為等腰直角三角形，，，．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，．當(dāng)時(shí)，，故選：．5．如圖，以正方形的邊為直徑作一個(gè)半圓，點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以線段、為邊各自向外作一個(gè)正方形，其面積分別為和，若正方形的面積為10，隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的值為A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不確定【解答】解：為半圓的直徑，，，，，．故選：．6．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正確；，，四邊形的面積是；故③正確；梯形的面積直角三角形的面積兩個(gè)直角三角形的面積，，．故③④⑤都正確．故選：．7．如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，則的面積是A．18 B．24 C．36 D．72【解答】解：作于，如圖，平分，，，，．故選：．8．如圖，中，，，，分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、，則等于A．60 B．80 C．90 D．120【解答】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，而，，，故；同理，，，，四邊形是矩形，，，，，三點(diǎn)共線，又，，而，，，同理可證，，同理可證，，，綜上所證：．故選：．9．如圖，直線上有三個(gè)正方形，，，若，的面積分別為4和10，則的面積為14．【解答】解：如圖，、、都為正方形，，，，，，，，在和中，，，，在中，，的面積為14．故答案為14．10．勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理．在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，，，，點(diǎn)，，，，，都在矩形的邊上，則空白部分的面積為60．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，所以，四邊形是正方形，，，，，，，因此，矩形的面積為，空白部分的面積為，故答案為：60．11．我國(guó)古代著作《周髀算經(jīng)》中記載了“趙爽弦圖”．如圖，若勾，弦，則小正方形的面積是4．【解答】解：如圖，勾，弦弦，股，小正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的面積．故答案是：4．12．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為4、6、18，則正方形的面積為8．【解答】解：由題意：，，正方形、、的面積依次為4、6、18，，．故答案為：8．13．如圖，在同一平面內(nèi)，直線同側(cè)有三個(gè)正方形，，，若，的面積分別為9和4，則陰影部分的總面積為6．【解答】解：如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形、、都是正方形，且正方形、的面積分別為9、4，，，，，，，，在和中，，，，，；，，，，，，，，，，在和中，，，，；在和中，，，，，，陰影部分的總面積為6．14．如圖，正方形、、的面積分別為25、9、16，、、的面積分別為、、，則18．【解答】解：，，且，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，，，，同理：，，，．故答案為：18．題型二求線段長(zhǎng)15．一個(gè)大正方形，被兩條線段分割成兩個(gè)小正方形和兩個(gè)小長(zhǎng)方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為10和6，則小長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為A．4 B．6 C．10 D．16【解答】解：如圖，兩個(gè)小正方形的面積分別為10和6，，，由勾股定理得，．故選：．16．如圖，在中，，以為邊在外作正方形，其面積為9，以為斜邊在外作等腰直角三角形，其面積為4，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則A． B． C． D．2【解答】解：以為邊的正方形的面積為9，，以為斜邊的等腰直角三角形的面積為4，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為，，在中，，則，，，解得：，由勾股定理得：，故選：．17．如圖，在中，，于．已知，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為A．5 B． C． D．6【解答】解：如圖所示：的周長(zhǎng)為，，，，，，即，，，，；故選：．18．若中，，，高，則的長(zhǎng)為．A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不對(duì)【解答】解：為邊上的高，．在中，，在中，．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，．的長(zhǎng)為28或8．故選：．19．如圖，在中，是邊上的中線，于，且，，，則的長(zhǎng)2．【解答】解：設(shè)，則，在中，，在中，，，即，解得，，則，，貴答案為：2．20．如圖，銳角三角形中，，，，則的面積為．【解答】解：過(guò)作于，延長(zhǎng)到使，則，，，，，，，，，，，，即，解得：，的面積，故答案為：．21．如圖所示，的頂點(diǎn)、、在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為3．【解答】解：由圖形可知，，邊上的高為3，的面積，由勾股定理得，，則，解得，，故答案為：3．22．如圖，在中，，，，的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求出的長(zhǎng)；（2）求出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）在中，，，，則，是的中垂線，；（2）是的中垂線，，，，在中，，即，解得：．23．如圖，在中，，于點(diǎn)，，分別交，于點(diǎn)、．（1）如圖1，若，，求的長(zhǎng)度；（2）如圖2，若，求證：．【解答】（1）解：如圖1，，，，，，中，，，中，，是等腰直角三角形，，；（2）證明：如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接、在和中，，，，，，，，，，，，，中，由勾股定理得：，．24．如圖，在中，，垂足為點(diǎn)，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的長(zhǎng)．【解答】解：（1），．在中，，，．，．（2）在中，，，．，．．題型三通過(guò)勾股定理設(shè)方程25．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形和正方形，即趙爽弦圖．連接，分別交、于點(diǎn)，，連接．已知，且，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．【解答】解：，，設(shè)，則，，，根據(jù)題意可知：，，，，，陰影部分的面積之和為：．故選：．26．如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，．若，，則的長(zhǎng)為A．3 B．4 C．5 D．【解答】解：如圖，連接，的垂直平分線交、于點(diǎn)、，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，故選：．27．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)，，則斜邊的長(zhǎng)是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，則，，，，，，，故選：．28．在長(zhǎng)方形中，，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，平分，則．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，四邊形是矩形，且，，，，，，平分，，，，，是等腰三角形，，，是等腰三角形，，，和是等腰三角形腰上的高，，，，，中，，設(shè)，則，中，，解得：，．故答案為：．29．如圖是“趙爽弦圖”，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和都是正方形，如果，且．那么等于6．【解答】解：，，設(shè)為，為，由勾股定理得：，，，