黑龍江省龍東地區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)試卷【附真題答案】

黑龍江省龍東地區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（a2）5＝a7C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．3．一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．6 B．5 C．4 D．34．一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.55．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有兩個實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠26．已知關(guān)于x的分式方程2無解，則k的值為（）A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣17．國家“雙減”政策實施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．班級決定為在活動中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進行獎勵（兩種獎品都買）．其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費28元，則共有幾種購買方案（）A．5 B．4 C．3 D．28．如圖，雙曲線y（x＞0）經(jīng)過A、B兩點，連接OA、AB，過點B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點E，且E為AO的中點，則△AEB的面積是（）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.59．如圖，菱形ABCD中，點O是BD的中點，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點N，OM＝2，BD＝8，則MN的長為（）A． B． C． D．10．如圖，在正方形ABCD中，點H在AD邊上（不與點A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分線DF于點F，連接AC交BH于點M，連接BF交AC于點G，交CD于點N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF＝45°；②點G是BF的中點；③若點H是AD的中點，則sin∠NBC；④BNBM；⑤若AHHD，則S△BNDS△AHM．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．國家統(tǒng)計局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使得菱形ABCD為正方形．14．七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是．15．關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝°．17．若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為36π，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是°．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC，BC＝2，AD＝1，線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點P為CD的中點，則BP的最大值是．19．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過點A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點P（點P不與點B重合），點B的對稱點落在矩形對角線所在的直線上，則PC長為．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點M的坐標(biāo)為（3，0），△OAB是等邊三角形，點B坐標(biāo)是（1，0），△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向為O→M→N→P→O→M（→…）做無滑動滾動，第一次滾動后，點A的對應(yīng)點記為A1，A1的坐標(biāo)是（2，0）；第二次滾動后，A1的對應(yīng)點記為A2，A2的坐標(biāo)是（2，0）；第三次滾動后，A2的對應(yīng)點記為A3，A3的坐標(biāo)是（3，）；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是．三、解答題（滿分60分）21．先化簡，再求值：（1），其中m＝cos60°．22．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．⑴畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點B1的坐標(biāo)；⑵畫出△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫出點B2的坐標(biāo)；⑶在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點B2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．23．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點P，使得△APC的面積最大．若存在，請直接寫出點P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請說明理由．24．為貫徹落實教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時體育活動時間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計圖，結(jié)合圖解答下列問題：組別分組（cm）頻數(shù)A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤3005（1）頻數(shù)分布表中m＝，扇形統(tǒng)計圖中n＝；（2）本次調(diào)查立定跳遠成績的中位數(shù)落在組別；（3）該校有600名男生，若立定跳遠成績大于200cm為合格，請估計該校立定跳遠成績合格的男生有多少人？25．甲、乙兩貨車分別從相距225km的A、B兩地同時出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時，停下來卸貨，半小時后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達配貨站時接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時到達B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達配貨站之前的速度是km/h，乙貨車的速度是km/h；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26．已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點M、N在BC上，點M在點N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．

（2）當(dāng)∠BAC＝60°時，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進行證明．27．為了增強學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個和乙種品牌毽子5個共需200元；購買甲種品牌毽子15個和乙種品牌毽子10個共需325元．（1）購買一個甲種品牌毽子和一個乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲、乙兩種品牌毽子共花費1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？28．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，動點P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線OA﹣AB運動，動點Q從點O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB﹣BA運動，P、Q兩點同時出發(fā)，相遇時停止運動．設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面積為S．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時，點M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以點O、P、M、N為頂點的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】A7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】A11．【答案】1.3908×101212．【答案】x≥313．【答案】AC＝BD14．【答案】15．【答案】a＜016．【答案】6517．【答案】9018．【答案】19．【答案】、或1020．【答案】（1，3）21．【答案】解：原式＝1﹣m，當(dāng)m＝cos60°時，原式＝1．22．【答案】解：⑴△A1B1C1如圖所示，

B1的坐標(biāo)為（2，3）；⑵△AB2C2如圖所示，B2的坐標(biāo)為（﹣3，0）；⑶∵AB，∠BAB2＝90°，∴點B旋轉(zhuǎn)到點B2的過程中所經(jīng)過的路徑長為：．23．【答案】（1）解：將B（1，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴拋物線y＝﹣x2﹣2x+3．（2）解：存在，P的坐標(biāo)為（，）；△APC面積的最大值為.24．【答案】（1）8；40（2）C（3）解：600228（名），答：估計該校立定跳遠成績合格的男生有228人．25．【答案】（1）30；40（2）解：∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴點E（4，105），F(xiàn)（5.5，225）．設(shè)線段對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)E（4，105）和F（5.5，225）分別代入y＝kx+b，得，解得，∴甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y與行駛時間x之間的函數(shù)解析式為y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）解：出發(fā)h或h或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26．【答案】解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

以點B為頂點在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝30°，

∴∠BAM+∠QAB＝30°，

即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM；

∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，

∴∠QBH＝60°，

∴∠BQH＝30°，

∴BHBQ，QHBQ，

∴HM＝BM+BH＝BMBQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BMBQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．

∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．

圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．

證明：以點B為頂點在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點Q作QH⊥BC，垂足為H，

∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，

∴△ACN≌△ABQ（SAS），

∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，

又∵∠CAN+∠BAM＝60°，

∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，

又∵AM＝AM，

∴△AQM≌△ANM（SAS），

∴MN＝QM，

在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，

∴BHBQ，QHBQ，

HM＝BM﹣BH＝BMBQ，

在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BMBQ）2＝QM2，

整理得BM2+BQ2﹣BM?BQ＝QM2．

∴BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．27．【答案】（1）解：設(shè)購買一個甲種品牌毽子需要x元，一個乙種品牌毽子需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購買一個甲種品牌毽子需要15元，一個乙種品牌毽子需要10元；（2）解：設(shè)購買m個甲種品牌毽子，則購買（100m）個乙種品牌毽子，根據(jù)題意得：，解得：m≤64，又∵m，（100m）均為正整數(shù)，∴m可以為60，62，64，∴學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買60個甲種品牌毽子，10個乙種品牌毽子；方案2：購買62個甲種品牌毽子，7個乙種品牌毽子；方案3：購買64個甲種品牌毽子，4個乙種品牌毽子；（3）解：學(xué)校選擇方案1商家可獲得的總利潤為5×60+4×10＝340（元）；學(xué)校選擇方案2商家可獲得的總利潤為5×62+4×7＝338（元）；學(xué)校選擇方案3商家可獲得的總利潤為5×64+4×4＝336（元）．∵340＞338＞336，∴在（2）的條件下，學(xué)校購買60個甲種品牌毽子，10個乙種品牌毽子時，商家獲得利潤最大，最大利潤是340元．28．【答案】（1）解：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∵OA的長度是x2﹣5x﹣6＝0的根，∴OA＝6，∵△OAB是等邊三角形，∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，∴∠OAC＝30°，∴OCOA6＝3，∴AС3，∴點A的坐標(biāo)為