小學(xué)數(shù)學(xué)探尋構(gòu)建生長

【摘

要】數(shù)字謎題是一種特殊的算式形式，包括橫式算式謎和豎式算式謎兩類。數(shù)字謎題不僅可以鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，還蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化、推理以及分析與綜合等思想方法，對提升學(xué)生的思維能力具有獨特的價值。在教學(xué)實踐中，教師可運用“借助數(shù)字謎題，突破知識難點；運用數(shù)字謎題，理解內(nèi)在關(guān)系；巧用數(shù)字謎題，培養(yǎng)高階思維”等策略，探究數(shù)字謎題在夯實基礎(chǔ)、滲透策略、培養(yǎng)核心素養(yǎng)等方面的綜合價值。【關(guān)鍵詞】數(shù)字謎題；小學(xué)數(shù)學(xué)；計算練習(xí)；設(shè)計與運用數(shù)字謎題也被稱為“蟲食算”，是一種隱去部分?jǐn)?shù)字的特殊算式。它包括橫式算式謎和豎式算式謎兩類，其中未知數(shù)字常用幾何圖形、符號、字母或文字表示。解決數(shù)字謎題，需運用四則運算的內(nèi)在聯(lián)系及算式的特征，通過觀察、推理、判斷，還原被“蟲子”吃掉的數(shù)字，從而得出完整的算式。具體而言，學(xué)生解題時，需先依賴已有的知識經(jīng)驗，通過整體觀察，找到解題的突破口，然后根據(jù)數(shù)據(jù)特點進(jìn)行邏輯分析、推理，最終通過數(shù)學(xué)運算得出答案。由此可見，數(shù)字謎題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面具有獨特的價值。在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，數(shù)字謎題是一種常見的題型。據(jù)統(tǒng)計，人教版教材中一共出現(xiàn)了34次數(shù)字謎題。數(shù)字謎題雖然屬于計算范疇，但由于它結(jié)合了推理、轉(zhuǎn)化、概念理解，以及口算、筆算和估算等多種數(shù)學(xué)技能，所以比一般的計算題目具有更高的思維價值，非常適合學(xué)有余力的學(xué)生深入思考和探究。下面，筆者將結(jié)合自己的教學(xué)實踐，詳細(xì)闡述在計算練習(xí)課中設(shè)計與運用數(shù)字謎題的具體做法。一、借助數(shù)字謎題，突破知識難點數(shù)字謎題通常以隱去部分?jǐn)?shù)字的豎式計算題的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生根據(jù)已知的數(shù)字推算隱去的數(shù)字。教師可以在計算的重點和難點處設(shè)置未知數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生分析、討論、交流，從而得出結(jié)論。這樣不僅能加深學(xué)生對所學(xué)新知的理解，還能突破計算教學(xué)中的重難點。（一）設(shè)計數(shù)字謎題，理解計算方法“多位數(shù)乘一位數(shù)”是三年級數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的重要內(nèi)容，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)整數(shù)的多位數(shù)乘法奠定基礎(chǔ)。在進(jìn)行多位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算時，兩數(shù)相乘的乘積是否進(jìn)位是影響學(xué)生正確率的主要原因，也是計算教學(xué)中的難點。為了有效突破這一難點，教師可以設(shè)計一組數(shù)字謎題的對比題?！緮?shù)字謎題1】[2][1][3][5][7][5][4][2][6][2][2][2][8][6][8]圍繞這組數(shù)字謎題，教師可以提問：“解決這三道題的突破口在哪里？”解決第1題以5乘7為突破口，得到的積的十位上的數(shù)即為5乘7向十位進(jìn)位的數(shù)，由此推斷第一個因數(shù)十位上的數(shù)為0。解決第2題的關(guān)鍵則在于積的十位（數(shù)2）與因數(shù)乘積（6乘2）恰好一致，這說明兩個因數(shù)的個位的乘積不進(jìn)位，由此可以確定第一個因數(shù)的個位是0或1。解決第3題需要綜合考慮積的百位和個位，由于百位未發(fā)生進(jìn)位，所以第二個因數(shù)只能是1～4中的一個，再根據(jù)個位的積為8，確定只有3符合要求。通過數(shù)字謎題的練習(xí)，學(xué)生能夠?qū)W會全面審視題目，特別是當(dāng)兩個數(shù)相乘的個位與積的對應(yīng)位數(shù)不符時，能意識到這是一道進(jìn)位乘法題，進(jìn)而思考進(jìn)位的是幾，從而推斷出數(shù)字謎題中的未知數(shù)。這樣的數(shù)字謎題能夠幫助學(xué)生在分析、判斷并得出結(jié)論的過程中，進(jìn)一步理解多位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法。（二）創(chuàng)設(shè)數(shù)字謎題，鞏固計算法則在三年級上冊“萬以內(nèi)數(shù)的加減法”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生常?；煜宋粶p法、不退位減法以及連續(xù)退位減法等概念，甚至出現(xiàn)誤操作。為幫助學(xué)生感受退位減法的數(shù)據(jù)特征，教師可以創(chuàng)設(shè)數(shù)字謎題，從而培養(yǎng)學(xué)生的辨析和推理能力?！緮?shù)字謎題2】圍繞這道數(shù)字謎題，教師可以提問：“根據(jù)豎式，你們會選擇哪個答案？”調(diào)查發(fā)現(xiàn)，高達(dá)80%的學(xué)生選擇了C。這些學(xué)生未能關(guān)注到豎式個位上的數(shù)字，所以容易根據(jù)豎式的直觀表現(xiàn)，誤認(rèn)為十位上被減數(shù)和減數(shù)之間相差1（?-△=1）。如果他們能注意到該豎式中被減數(shù)個位上的數(shù)字小于減數(shù)個位上的數(shù)字，就會意識到這是一道退位減法題。只要關(guān)注到這一點，教師便可理解學(xué)生的錯誤，有針對性地為學(xué)生提供指導(dǎo)，使學(xué)生認(rèn)識到正確的解題方法應(yīng)為“?-1-△=1”，因此選項B才是正確答案。數(shù)字謎題的教學(xué)應(yīng)在分析學(xué)生困惑和教學(xué)重難點的基礎(chǔ)上循序漸進(jìn)地進(jìn)行。通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生學(xué)會觀察數(shù)字特征，了解是否需要退位，從而鞏固多位數(shù)減法，尤其是退位減法的計算方法。（三）編制數(shù)字謎題，揭示本質(zhì)特征循環(huán)小數(shù)是一個數(shù)概念，在鞏固循環(huán)小數(shù)的概念時，教師可以編制如下數(shù)字謎題?！緮?shù)字謎題3】[]圍繞這兩道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師提問：“我們已經(jīng)知道了什么是循環(huán)小數(shù)，現(xiàn)在請你們在第1題中快速寫出它的商?！痹诮虒W(xué)反饋中，教師先引導(dǎo)學(xué)生分析：（1）商是有限小數(shù)還是無限小數(shù)？如何判斷？學(xué)生可根據(jù)余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，判斷商為無限小數(shù)。（2）你們認(rèn)為循環(huán)節(jié)是多少？為什么？學(xué)生觀察到第一次重復(fù)出現(xiàn)的余數(shù)所對應(yīng)的商為6，因此循環(huán)節(jié)為“6”。接著引導(dǎo)學(xué)生分析第2題。這是一道易錯題，學(xué)生容易誤認(rèn)為循環(huán)節(jié)是“225”，所以教師可以引導(dǎo)學(xué)生重點關(guān)注余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律。通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)是按照“25、52、25、52……”的規(guī)律重復(fù)的，對應(yīng)的商分別是“2”和“5”，因此循環(huán)節(jié)應(yīng)為“25”。在教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”時，教師通常僅提供一道計算題，學(xué)生只需按照規(guī)定步驟進(jìn)行計算，便可判斷其是否為循環(huán)小數(shù)以及其循環(huán)節(jié)的長度，但這類計算題對理解循環(huán)小數(shù)概念本質(zhì)的意義不大。采用數(shù)字謎題，便可促使學(xué)生關(guān)注算式特征，思考余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)時商的變化規(guī)律，從而更深入地理解循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)。二、運用數(shù)字謎題，理解內(nèi)在關(guān)系在四則運算中，運用數(shù)字謎題的練習(xí)，不僅能夠幫助學(xué)生鞏固運算技能，還能使學(xué)生感悟到各類運算之間的關(guān)系，從而體驗數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和層次性。（一）憑借乘法與加法的關(guān)系，破解數(shù)字謎題乘法是加法的簡便運算。在筆算加法中，常常有相同加數(shù)連加的情況。因此，在設(shè)計數(shù)字謎題時，可融入相同加數(shù)連加的知識點，既鞏固學(xué)生基礎(chǔ)，訓(xùn)練其基本技能，又提升學(xué)生的思維品質(zhì)。比如，在教學(xué)三年級“萬以內(nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計如下數(shù)字謎題?！緮?shù)字謎題4】圍繞這道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師提問：“這是一道萬以內(nèi)數(shù)加法的數(shù)字謎題，你們覺得每個圖形的背后藏著什么數(shù)？”學(xué)生思考后回答：三角形表示的數(shù)為7是確定的，因為3個三角形相加的和的個位數(shù)是1，滿足這一條件的數(shù)字只有“三七二十一”中的7；而圓圈和五角星表示的數(shù)則存在不確定性。于是教師進(jìn)一步追問：“為什么不確定？”學(xué)生隨之解釋：它存在兩種情況，分別是進(jìn)位加法與不進(jìn)位加法。教師順著學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：什么情況下是進(jìn)位加法？什么情況下是不進(jìn)位加法？學(xué)生便得出：如果十位相加的和是12，加上個位進(jìn)上來的2合起來是14，就是進(jìn)位加法；如果十位相加連同個位進(jìn)上來的2合起來是4，就是不進(jìn)位加法。借助數(shù)字謎題，學(xué)生在觀察、分析與交流的過程中，巧妙運用加法與乘法之間的關(guān)系，對進(jìn)位加法與不進(jìn)位加法進(jìn)行了區(qū)分。在解決數(shù)字謎題的同時，既鞏固了基礎(chǔ)知識，又培養(yǎng)了觀察與分析能力。（二）利用各部分之間的關(guān)系，分析數(shù)字謎題數(shù)字謎題通常只是在一個完整的計算過程中隱去部分?jǐn)?shù)字，并未破壞算式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，各部分之間的關(guān)系依然存在。因此，要解決數(shù)字謎題，需從算式本身的關(guān)系入手，借助各部分的關(guān)系進(jìn)行分析，從而掌握計算法則，提升解題能力。比如，在三年級學(xué)習(xí)了“萬以內(nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計如下數(shù)字謎題。【數(shù)字謎題5】圍繞這兩道數(shù)字謎題，教師可以提示學(xué)生：這兩道題目中，每個數(shù)位上的3個數(shù)字，基本上都有2個數(shù)是已知的，因此可借助加減法各部分的關(guān)系加以分析。如左邊這道題，被減數(shù)的個位應(yīng)為“7+7”的和的個位，這便是利用“被減數(shù)=差+減數(shù)”的關(guān)系進(jìn)行計算的。而計算被減數(shù)十位上的數(shù)，則應(yīng)在“8+3”的基礎(chǔ)上，再加上個位進(jìn)位的1，其結(jié)果應(yīng)為“8+3+1”的和的個位。如此一來，原本連續(xù)的退位減法便轉(zhuǎn)化為連續(xù)進(jìn)位加法。同理，右邊的加法題可借助加數(shù)與和的關(guān)系進(jìn)行推理。這類數(shù)字謎題對學(xué)生而言是只需跳一跳就可以摘到的桃子，具有一定的挑戰(zhàn)性。在解決數(shù)字謎題的過程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，學(xué)會靈活運用所學(xué)知識，借助各部分的關(guān)系，運用計算的法則，對知識的掌握更加扎實。（三）運用奇偶性之間的關(guān)系，巧解數(shù)字謎題在數(shù)字謎題中，遇到相同的字母或文字相加，就會涉及奇偶性。巧妙運用這種奇偶性，有助于成功巧解數(shù)字謎題。比如，在教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計如下數(shù)字謎題?！緮?shù)字謎題6】圍繞這道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：“兩個相同的數(shù)相加，結(jié)果會是怎樣一個數(shù)？”學(xué)生通過舉例計算，得出“兩個相同的數(shù)相加，結(jié)果必定為雙數(shù)”的結(jié)論。接著，教師進(jìn)一步追問：“那為什么‘行加‘行的結(jié)果為7（即單數(shù)）呢？”此時學(xué)生便會意識到，由于個位上的數(shù)相加滿十進(jìn)一，使得原來的雙數(shù)變成了單數(shù)?；谶@樣的分析，學(xué)生可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)相加會引起進(jìn)位，由此得出：動+動=10，盤+盤=12。學(xué)生通過舉例分析和交流討論，理解了相同的兩個數(shù)相加的結(jié)果一定是雙數(shù)，如果不是雙數(shù)，那表明低一位有進(jìn)位。在這個過程中，學(xué)生不僅理解了進(jìn)位加法的原理，也清楚了加法的結(jié)構(gòu)。三、巧用數(shù)字謎題，培養(yǎng)高階思維布魯姆等人將認(rèn)知思維過程從低級到高級分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造六個層次。其中，分析、評價和應(yīng)用屬于高階思維。解決數(shù)字謎題需要用到觀察、分析、猜測和推理，是一個綜合性的學(xué)習(xí)活動。好的數(shù)字謎題有助于學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系，靈活解決問題，從而提升高階思維能力。（一）借助數(shù)字謎題，經(jīng)歷猜想—求證過程，積累解題經(jīng)驗推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿于學(xué)生整個學(xué)習(xí)過程。教師在設(shè)計練習(xí)時，應(yīng)創(chuàng)編數(shù)字謎題，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。比如，在教學(xué)“萬以內(nèi)數(shù)的加減法”后，教師可以設(shè)計如下數(shù)字謎題?！緮?shù)字謎題7】圍繞這道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師先引導(dǎo)學(xué)生思考：在這道數(shù)字謎題中，“學(xué)”“習(xí)”“好”這三個字之間可能存在哪些關(guān)系？通過對減法豎式的分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)它們存在以下幾個關(guān)系：“好”比“學(xué)”大1；“好”+“學(xué)”=“習(xí)”；“好”+“習(xí)”=“學(xué)”+10。接著，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，借助列表尋找可能的答案（如圖1），并通過驗證得出結(jié)果。在解題過程中，學(xué)生經(jīng)過簡單的分析，借用簡單枚舉的推理方法獲得了解題結(jié)果，逐漸積累了一些解題經(jīng)驗，從而提升了解題能力。（二）設(shè)計數(shù)字謎題，運用等量—代換策略，培養(yǎng)解題能力等量代換是一種基本思想方法，指用一種量（或一種量的一部分）來代替和它相等的另一種量（或另一種量的一部分）。在計算中運用等量代換策略，能將復(fù)雜的算式變簡單，順利求得結(jié)果。比如，在四年級“四則混合運算”的教學(xué)中，教師可以設(shè)計如下數(shù)字謎題?！緮?shù)字謎題8】[○+□=32○+○+○+○+○+□+□+□=134○=？

□=？]圍繞這道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師先讓學(xué)生獨立思考，然后提問：“你是怎樣想的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個圓和1個正方形的和為32，而134可以看成3組這樣的正方形和圓相加，再加上剩余2個圓的和。這樣就可以求出圓代表的數(shù)為19，進(jìn)而求出正方形代表的數(shù)為13。學(xué)生運用等量代換策略，能巧妙地重構(gòu)原有的算式結(jié)構(gòu)，將原本復(fù)雜的算式簡化為簡單的算式，從而培養(yǎng)了解題能力。（三）運用數(shù)字謎題，學(xué)會觀察—轉(zhuǎn)化方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的基本思維方式，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過程。數(shù)字謎題中蘊(yùn)含著豐富的轉(zhuǎn)化思想。比如，六年級的“數(shù)學(xué)廣角”中就有這樣兩道數(shù)字謎題。【數(shù)字謎題9】圍繞這兩道數(shù)字謎題，可以開展如下教學(xué)過程。教師提問：“看到第（1）題，你們想到了什么？”引導(dǎo)學(xué)生思考：由圓加正方形等于91和三角形加正方形等于63，可以得出圓比三角形大28。接著，根據(jù)三角形加圓等于46，可以得出2個圓的和是74，從而得出1個圓表示37。得出圓是多少后，便可通過計算得到其他幾個圖形的值。第（2）題也可采用同樣的方法求解，其