新高考數(shù)學一輪復(fù)習專題三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專題二同構(gòu)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用練習含答案

微專題二同構(gòu)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用1.(2024云南、廣西、貴州、四川聯(lián)考(二),8)已知a=ln(2e),b=e+1e,c=ln55+1,則a,b,c的大小關(guān)系為(BA.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a2.(2024黑龍江哈爾濱模擬,7)設(shè)實數(shù)m>0,若對任意的正實數(shù)x,不等式emx≥lnxm恒成立,則m的最小值為(AA.1eB.12eC.2e3.(2024湖南長沙長郡中學一模,8)已知實數(shù)a,b分別滿足ea=1.02,ln(b+1)=0.02,且c=151,則(DA.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2024湖南長沙調(diào)研,14)已知對任意x1,x2∈(0,+∞),且當x1<x2時,都有a(lnx2?lnx1)x2?x1<1+15.(2024山東菏澤一模,14)關(guān)于x的不等式xeax+bx-lnx≥1(a>0)恒成立,則ba的最小值為-16.(2024天津紅橋二模,20)已知函數(shù)f(x)=aex?1x的圖象在(1,f(1))處的切線經(jīng)過點(2(1)求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)證明:對任意正實數(shù)λ,關(guān)于x的不等式exlnx-lnx+x2+(λ?1)x?解析(1)因為f(x)=aex?1x,所以f(1)又f'(x)=axex?aex+1x2,又函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線經(jīng)過點(2,e),所以ae?1?e1?2=1,解得a所以f(x)=ex?1x,函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0f'(x)=xe令g(x)=xex-ex+1,則g'(x)=xex,所以當x>0時g'(x)>0,當x<0時g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,所以當x≠0時xex-ex+1>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)證明:若exlnx-lnx+x2+(λ?1)x?由x∈(1,+∞),lnx>0,得ex+λ≥lnx+x2+(λ?1)x?λlnx在區(qū)間(1,+∞所以ex+λ-1≥(x+λ)(x?1)lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,(提示:由f(又λ>0,所以x+λ>0,所以ex+λ?1x+λ≥x?1lnx即f(x+λ)≥f(lnx)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,由(1)可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以x+λ≥lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即λ≥-x+lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,令h(x)=-x+lnx,x∈(1,+∞),則h'(x)=-1+1x=1?x所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)<h(1)=-1,即-x+lnx<-1在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,所以λ>0時λ≥-x+lnx在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即對任意λ∈(0,+∞),關(guān)于x的不等式exlnx-lnx+x2+(λ?1)x?7.(2024河北滄州一模,19)已知函數(shù)f(x)=xae2x(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當x>0時,不等式f(x)-cos(lnf(x))≥alnx2-4x恒成立,求a的取值范圍.解析(1)當a=2時,f(x)=x2f'(x)=2x·e2令f'(x)=0,解得x=0或x=1,所以x,f'(x),f(x)的關(guān)系如表,x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增1單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(1,+∞);極大值為f(1)=1e2,極小值為f(0)(2)f(x)-cos(lnf(x))≥alnx2-4x?xae2x-coslnxae2x≥2alnx-4x?ealnx-2x-2(alnx-2x)-cos(alnx-2x令g(t)=et-2t-cost,其中t=alnx-2x,設(shè)F(x)=alnx-2x,a>0,F'(x)=ax-2=a令F'(x)>0,解得0<x<a2,令F'(x)<0,解得x>a所以函數(shù)F(x)在0,a2上單調(diào)遞增,在a則F(x)max=Fa2=alna2-a,且當x→0+時,F(x)所以函數(shù)F(x)的值域為?∞所以t∈?∞g'(t)=et-2+sint,設(shè)h(t)=et-2+sint,則h'(t)=et+cost,t∈?∞當t≤0時,et≤1,sint≤1,且等號不同時成立,即g'(t)<0恒成立;當t>0時,et>1,cost≥-1,即h'(t)>0恒成立,所以h(t)即g'(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g'(0)=-1,g'(1)=e-2+sin1>0,所以存在t0∈(0,1),使得g'(t0)=0,當0<t<t0時,g'(t)<0,當t>t0時,g'(t)>0,所以函數(shù)g(t)在(-∞,t0)上單調(diào)遞減,在(t0,