第16講 拋物線（教師版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第16講拋物線【學(xué)習(xí)目標】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想．3.了解拋物線的簡單應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一、拋物線的概念1.平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線．【解讀】(1)定直線l不經(jīng)過定點F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點,一條定直線及一個確定的比值.特別提醒：平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡不一定是拋物線.2.拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離,因此,由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡化某些問題.(2)解決最值問題.在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問題.與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．二、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【解讀】1.利用待定系數(shù)法求拋物線的標準方程的步驟(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標準方程的類型.(2)求參數(shù)p的值.(3)確定拋物線的標準方程.2.利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對稱性:解決拋物線的內(nèi)接三角形問題.(2)焦點、準線:解決與拋物線的定義有關(guān)的問題.(3)范圍:解決與拋物線有關(guān)的最值問題.(4)焦點:解決焦點弦問題.3.應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧(1)拋物線的中點弦問題用點差法較簡便.(2)軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系.(3)在直線和拋物線的綜合題中,經(jīng)常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化.三、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時直線與拋物線有一個交點,該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.(2)若k2≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點:當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,無公共點.特別提醒:判斷直線與拋物線的位置關(guān)系時注意斜率是否存在,是否為0的情況討論.四、拋物線上的點到直線距離的最小值問題求拋物線上的點到直線l距離最小值問題,方法一是設(shè)上的點,利用點到直線的距離公式把距離問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次函數(shù),配方求最值,方法二是確定與l平行的切線,把問題轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離或切點到直線距離.五、拋物線基礎(chǔ)性質(zhì)(1)以AB為直徑的圓與準線相切；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)A、O、三點共線；(9)B、O、三點共線；(10)；(11)(定值)；(12)；；(13)垂直平分；(14)垂直平分；(15)；(16)；(17)；(18)；(19);(20);(21).(22)切線方程HYPERLINK六、拋物線的焦點弦與切線過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線,則(1)切線交點在準線上(2)切線交點與弦中點連線平行于對稱軸(3)弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時,切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸．反之：(1)過拋物線準線上任一點作拋物線的切線,則過兩切點的弦必過焦點(2)過準線上任一點作拋物線的切線,過兩切點的弦最短時,即為通徑．【考點剖析】考點一：拋物線的方程例1．(2022學(xué)年四川省射洪中學(xué)校高二下學(xué)期期中)頂點在原點，關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)拋物線方程為，于是得，解得，所以所求拋物線方程是.故選B考點二：拋物線定義的應(yīng)用例2．(2022學(xué)年內(nèi)蒙古赤峰二中高二下學(xué)期第二次月考)已知的三個頂點都在拋物線上，且F為拋物線的焦點，若，則(

)A．12 B．10 C．9 D．6【答案】C【解析】由，得.設(shè)A，B，C的縱坐標分別是，由，有，即.由拋物線的定義可得:.故選C考點三：拋物線的性質(zhì)例3．(多選)(2022學(xué)年湖南省邵陽市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線的焦點到準線的距離為2，則(

)A．焦點的坐標為B．過點恰有2條直線與拋物線有且只有一個公共點C．直線與拋物線相交所得弦長為8D．拋物線與圓交于兩點，則【答案】ACD【解析】由題可知拋物線方程為，對于A，焦點的坐標為，故A正確，對于B，過點有拋物線的2條切線，還有，共3條直線與拋物線有且只有一個交點，故B錯誤，對于C，，弦長為，故C正確對于D，，解得(舍去)，交點為，有，故D正確故選ACD考點四：距離最值問題例4．(2022學(xué)年貴州省遵義市第四中學(xué)高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測)點F是拋物線的焦點，點，P為拋物線上一點，P不在直線AF上，則△PAF的周長的最小值是(

)A．4 B．6 C． D．【答案】C【解析】拋物線的焦點，準線為，過點作準線于點，故△PAF的周長為，，可知當三點共線時周長最小，為，故選C考點五：與拋物線有關(guān)的定點問題例5．(2020-2021學(xué)年甘肅省平?jīng)鍪袥艽h高二下學(xué)期期末)已知F為拋物線的焦點，M為拋物線上第一象限內(nèi)的一點，且軸，．(1)求拋物線的方程；(2)直線l與拋物線交于A、B兩點，若，問直線l是否過定點，若恒過定點，請求出該定點，否則，請說明理由．【解析】(1)∵軸，且，∴，代入，得，∴．(2)設(shè)，則．由可得設(shè)，則∵，則，∴，即或．∴或，∴恒過與M重合(舍)或恒過．綜上，直線l是恒過定點考點六：與拋物線有關(guān)的定值問題例6．(2022學(xué)年四川省南充市閬中中學(xué)校高二下學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測)已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線相交于，兩點，則_________.【答案】【解析】設(shè)，由得，所以，，，，．考點七：與拋物線有關(guān)的面積最值問題例7．(2022學(xué)年重慶市第八中學(xué)校高二下學(xué)期期中)在平面直角坐標系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點.(1)求曲線K的方程；(2)過點A且斜率為k的直線l與曲線K交于B?C兩點，若且直線OP與直線交于Q點.求的值；(3)若點D?E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值.【解析】(1)由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為；(2)設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去y得，∴，∴，設(shè)，，∴，，又，，∴，∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，的值為1．(3)設(shè)，，，直線PD的方程為，由題可知圓心到PD的距離為2，即，整理得，同理可得，∴，可知b，c是方程的兩根，∴，，由圖依題意可知，即，則，∵，∴，∴，當且僅當，即時上式取等號，∴面積的最小值為32．【真題演練】1．(2020年高考全國卷=1\*ROMANI)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p= ()A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得．故選C．2．(2020年高考全國卷Ⅲ)設(shè)為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選B．3.(多選)(2022新高考全國卷=2\*ROMANII)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點,若,則A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A,易得,由可得點在的垂直平分線上,則點橫坐標為,代入拋物線可得,則,則直線的斜率為,A正確；對于B,由斜率為可得直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程得,設(shè),則,則,代入拋物線得,解得,則,則,B錯誤；對于C,由拋物線定義知：,C正確；對于D,,則為銳角,又,則為銳角,,D正確.故選ACD.4.(多選)(2022新高考全國卷=1\*ROMANI)已知O為坐標原點,點在拋物線上,過點的直線交C于P,Q兩點,則A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.【答案】BCD【解析】將點坐標代入得,所以拋物線C的方程為,故準線方程為,A錯誤；,所以直線的方程為,聯(lián)立,可得,解得,故B正確；設(shè)過的直線為,若直線與軸重合,則直線與拋物線只有一個交點,所以,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,,聯(lián)立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正確；因為,,所以,而,故D正確.故選BCD5.(2022學(xué)年江蘇省南師附中高二下學(xué)期期末)已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，為坐標原點，若的面積為2，則到直線的距離為______.【答案】【解析】，設(shè)，因為，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.6.(2022學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二上學(xué)期期末)已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F(xiàn)構(gòu)成一個斜三角形，則______．【答案】2【解析】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.7.(2021高考全國卷=2\*ROMANII)拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．(1)求C，的方程；(2)設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】(1)依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；(2)設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切．8．(2021高考全國卷=1\*ROMANI)已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．(1)求；(2)若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．【解析】(1)拋物線的焦點為，，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；(2)拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，，所以，，點到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值．【過關(guān)檢測】1.設(shè)拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線(

)A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】A【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.2.(2022學(xué)年河南省安陽市高二下學(xué)期階段性測試)已知拋物線C的頂點與坐標原點重合，焦點為.過F且斜率為正的直線l與C交于A，B兩點，若，則l的方程為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，拋物線C的方程：，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，于是得，而直線l的斜率為正，且，即，有，即有，則，解得，因此，解得，所以直線l的方程為：，即.故選D3.已知曲線C：y2＝2px(p＞0)，過它的焦點F作直線交曲線C于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，可證明是一個定值m，則m＝()A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由拋物線的方程可得焦點F(，0)，準線的方程為：x，由題意可得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為：x＝ty，設(shè)t＞0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立，整理可得：，所以y1+y2＝2pt，x1+x2＝t(t1+y2)+p＝2pt2+p，所以MN的中點Q(pt2，pt)，由拋物線的性質(zhì)可得|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p＝2p(1+t2)，|QF|pt，由直線MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由題意在Rt△QFP中，|PF|p(1+t2)，所以為定值，所以m的值為，故選A．4.(2022學(xué)年湖北省宜昌市英杰學(xué)校高二上學(xué)期12月月月考)過拋物線的焦點且斜率為的直線交拋物線于、兩點，拋物線的準線為，于，于，則四邊形的面積為(

)A．32 B． C．64 D．【答案】D【解析】由拋物線得其焦點，設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，整理得，即，解得，所以，所以，，，所以四邊形的面積為，故選D.5.(多選)(2022學(xué)年湖南省長沙市南雅中學(xué)高二下學(xué)期期中)已知拋物線C：，圓F：(F為圓心)，點P在拋物線C上，點Q在圓F上，點A，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．的最小值是 B．的最小值是C．當最大時， D．當最小時，【答案】AC【解析】拋物線C：的焦點，圓F：的圓心，半徑，對于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對于B，設(shè)，則，，當時，，當時當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是，B不正確；對于C，如圖所示，要使最大，當且僅當AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當最大時，，C正確；對于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當最小時，即，D不正確.故選AC6.(多選)(2022學(xué)年重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校高二上學(xué)期月考)已知拋物線的焦點為，?是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正確的是(

)A．點的坐標為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BD【解析】對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，A錯誤；對于B，由題意知：直線斜率存在，設(shè)其方程為：，由得：，，B正確；對于C，若，則直線過焦點，的最小值為拋物線的通徑長，C錯誤；對于D，，，即點縱坐標為，到軸的距離為，D正確.故選BD.7.拋物線的焦點為，其準線與軸交于點，如果在直線上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題意可得、