第04講 用樣本估計總體（主干知識復(fù)習(xí)）（學(xué)生版）-2023年新高二暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第04講用樣本估計總體【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性．2.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，3.結(jié)合實例，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，4.結(jié)合實例，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義，5.能用樣本估計總體的取值規(guī)律，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義【基礎(chǔ)知識】一、頻率分布直方圖1.制作頻率分布直方圖的步驟第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表；第四步：畫頻率分布直方圖。2.解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1.(2)直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距),故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距),即矩形的面積．(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總體數(shù)．二、樣本的數(shù)字特征1.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)3.平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即．4．百分位數(shù)：求總體百分位數(shù)的估計，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，然后計算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，當(dāng)i是整數(shù)，則百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．5．方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離．(2)方差：(是樣本數(shù)據(jù)，是樣本容量，是樣本平均數(shù))．(3)標(biāo)準(zhǔn)差：．6.平均數(shù)、方差公式的推廣若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為meq\o(x,\s\up6(－))＋a，方差為m2s2.7.平均數(shù)和方差是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)描述總體的平均水平,方差反映了數(shù)據(jù)偏離于平均數(shù)的程度,它們從整體和全局上刻畫了總體特征,是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較平均數(shù),若平均數(shù)相同,再用方差來決定．8.用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法(1)眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)；(3)平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點橫坐標(biāo)之積的和。三、統(tǒng)計圖1.統(tǒng)計圖是利用點、線、面、體等繪制成幾何圖形,以表示各種數(shù)量間的關(guān)系及其變動情況的工具.其中有條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、象形圖等.其特點是:形象具體、簡明生動、通俗易懂、一目了然.其主要用途有:表示現(xiàn)象間的對比關(guān)系;揭露總體結(jié)構(gòu);檢查計劃的執(zhí)行情況;揭示現(xiàn)象間的依存關(guān)系,反映總體單位的分配情況;說明現(xiàn)象在空間上的分布情況.一般采用直角坐標(biāo)系.橫坐標(biāo)用來表示事物的組別或自變量x,縱坐標(biāo)常用來表示事物出現(xiàn)的次數(shù)或因變量y;或采用角度坐標(biāo)(如圓形圖)、地理坐標(biāo)(如地形圖)等.2.莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列；第三步：將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè)．3.折線圖折線圖是用直線段將各數(shù)據(jù)點連接起來而組成的圖形,以折線方式顯示數(shù)據(jù)的變化趨勢.折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例設(shè)置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù),因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.在折線圖中,類別數(shù)據(jù)沿水平軸均勻分布,所有值數(shù)據(jù)沿垂直軸均勻分布.另外,在折線圖中,數(shù)據(jù)是遞增還是遞減、增減的速率、增減的規(guī)律(周期性、螺旋性等)、峰值等特征都可以清晰地反映出來.所以,折線圖常用來分析數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢,也可用來分析多組數(shù)據(jù)隨時間變化的相互作用和相互影響.例如可用來分析某類商品或是某幾類相關(guān)的商品隨時間變化的銷售情況,從而進一步預(yù)測未來的銷售情況.在折線圖中,一般x軸用來表示時間的推移,并且間隔相同；而y軸代表不同時刻的數(shù)據(jù)的大小.四、頻率分布折線圖和總體密度曲線1.頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖．2.總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線．【考點剖析】考點一：頻率分布直方圖例1．(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)為了解學(xué)生在“弘揚傳統(tǒng)文化，品讀經(jīng)典文學(xué)”月的閱讀情況，現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的閱讀時間(閱讀時間)，分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a的值為(

)A．0.028 B．0.029 C．0.280 D．0.290考點二：折線圖例2．(2022學(xué)年山東省濱州市陽信縣高一下學(xué)期期中)走路是“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.下圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600 B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙C．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙 D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030考點三：其他統(tǒng)計圖表例3．(多選)(2020-2021學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末)中興?華為事件暴露了我國計算機行業(yè)中芯片?軟件兩大短板，為防止“卡脖子”事件的再發(fā)生，科技專業(yè)人才就成了決勝的關(guān)鍵．為了解我國在芯片?軟件方面的潛力，某調(diào)查機構(gòu)對我國若干大型科技公司進行調(diào)查統(tǒng)計，得到了這兩個行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和“90后”從事這兩個行業(yè)的崗位分布雷達圖，則下列說法中正確的是(

)A．芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，"90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過60%B．芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計崗位的"90后”人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的25%C．芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多D．芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多考點四：眾數(shù)與中位數(shù)例4．(多選)(2022學(xué)年吉林省長春市第二實驗中學(xué)高一下學(xué)期期中)某人射箭10次，射中的環(huán)數(shù)依次為：8，7，8，9，7，6，9，8，10，8關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(

)A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8 D．這組數(shù)據(jù)的方差是考點五：百分位數(shù)例5．(2022學(xué)年山西省太原市第五中學(xué)校高一下學(xué)期5月階段性檢測)互不相等的5個正整數(shù)從小到大排序為1，，，，，若它們的和為18，且其分位數(shù)是分位數(shù)的2倍，則的值為_________．考點六：平均數(shù)與方差例6．已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1∶3∶6，2019年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價為1.2萬元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為2.4萬元/平方米，1.8萬元/平方米，0.8萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10，8，則二線城市房價的方差為________.考點七：用樣本估計總體例7．(2022學(xué)年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校協(xié)作高一5月聯(lián)考)2021年根據(jù)移動通信協(xié)會監(jiān)測，某校全體教師通訊費用(單位：元)如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)若該校有200名教師，采用分層抽樣的方法從這200名教師中抽取容量為20的樣本，求每組應(yīng)抽取的樣本量；(2)估計該校教師話費的80%分位數(shù)；(3)估計該校教師通訊費用的眾數(shù)和平均數(shù)．考點八：平均數(shù)與方差的實際應(yīng)用例8．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)．試驗的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23．52.52.61.22.71.52.93.03.12．32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31．41.60.51.80.62.11.12.51.22．70.5分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，估計哪種藥的療效更好？【真題演練】1．(多選)(2021新高考全國卷Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，2，，，為非零常數(shù)，則A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同2.(2021新高考全國卷Ⅱ)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是()A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差 D.樣本的平均數(shù)3.(2021高考全國卷Ⅱ)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為 B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為 C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間4．(2018高考全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:則下面結(jié)論中不正確的是 ()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半5.(2021高考全國卷Ⅰ)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．(1)求，，，；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高)．6．(2019高考全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為．(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年河南省豫西部分名校高一下學(xué)期月考)某實驗圍種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田(種植環(huán)境相同)連續(xù)5次的產(chǎn)量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290則下列說法錯誤的是(

)A．甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為250B．乙種水稻產(chǎn)量的極差為70C．甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)D．甲種水稻產(chǎn)量的方差小于乙種水稻產(chǎn)量的方差2.(2022學(xué)年山東省淄博市博山區(qū)、沂源縣聯(lián)考高一6月份月考)排球社的同學(xué)為訓(xùn)練動作組織了墊排球比賽，以下為排球社50位同學(xué)的墊球個數(shù)所做的頻率分布直方圖，所有同學(xué)墊球數(shù)都在5——40之間，估計墊球數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是(

)A．25 B．26 C．27 D．283.(2022學(xué)年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則(

)A．， B．，C．， D．，4.(2022學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到的另一組數(shù)據(jù)，，…，，滿足(c為非零常數(shù))，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．兩組數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)不同 B．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組數(shù)據(jù)的樣本方差相同 D．兩組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差不同5．(多選)(2022學(xué)年山東省濟南市第一中學(xué)高一5月月考)根據(jù)關(guān)于世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計圖(如圖所示)，有下列四個結(jié)論：①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況；②2050年非洲人口將達到大約15億；③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多；④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢．其中所有正確結(jié)論的編號是(

)A．① B．② C．③ D．④6.(多選)(2022學(xué)年三湘名校教育聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，過去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下：甲地：中位數(shù)為，極差為；乙地：平均數(shù)為，眾數(shù)為；丙地：平均數(shù)為，中位數(shù)為；丁地：平均數(shù)為，方差為，甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是(

)A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地7.(2022學(xué)年廣東省廣州市八十六中高一下學(xué)期期中)若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為________．8.(2022學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中)棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)．在一批棉花中隨機抽測了60根棉花的纖維長度(單位：mm)，按從小到大排序結(jié)果如下：25283350525859606162828611311514014314617017519520220623323623825526026326426529329