廣東省廣州市2021-2022學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末調(diào)研試卷（四）含答案

廣東省廣州市2021-2022學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末調(diào)研試卷（四）

一、選一選（本題有12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確的選項(xiàng)用鉛筆涂在答題卡上.）

D.

【答案】B

【解析】

【詳解】解：從上邊看是一個(gè)同心圓，外圓是實(shí)線，內(nèi)圓是虛線，

故選:B.

2.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=的圖象在【】

x

A.第四象限B.第三象限C.第二象限D(zhuǎn).象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y=K（kwO）的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于、三象限；當(dāng)k<0

X

時(shí)，圖象分別位于第二、四象限.

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=-2的系數(shù)一5<0,...圖象兩個(gè)分支分別位于第二、四象限.

X

???當(dāng)x>0時(shí)，圖象位于第四象限.故選A.

3.如果：=那么下列等式中沒(méi)有一定成立的是（）

bd

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a+bc+da+ca

--------=--------B.--------=-D.ad=bc

bdb+db

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：A,/.-+1=-+1,故此選項(xiàng)正確;

bdbdb=d

當(dāng)力+d=0時(shí)此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

C>V———,（—）2=（一）2,---7?故此選項(xiàng)正確；

bdbdbd

cic

D>V—=—,?'?ad=be;故此選項(xiàng)正確.

bd

故選B.

4.矩形、菱形、正方形都一定具有的性質(zhì)是（）

A.鄰邊相等B,四個(gè)角都是直角

C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

【答案】D

【解析】

【詳解】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，所以一定都具有的性質(zhì)是平行四邊形的性質(zhì)，

即對(duì)角線互相平分.

故選：D.

5.下列說(shuō)確的是（）

A.矩形都是相似圖形；B.菱形都是相似圖形

C.各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形；D.等邊三角形都是相似三角形

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)相似多邊形的判定法則可以得出所有的等邊三角形都是相似三角形.

考點(diǎn)：相似多邊形的判定

6.某學(xué)校要種植一塊面積為1001對(duì)的長(zhǎng)方形草坪，要求兩邊長(zhǎng)均沒(méi)有小于5m,則草坪的一邊

長(zhǎng)為j（單位：m）隨另一邊長(zhǎng)x（單位：m）的變化而變化的圖象可能是（）

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【解析】

【詳解】由草坪面積為lOOn?,可知x、y存在關(guān)系產(chǎn)”!，然后根據(jù)兩邊長(zhǎng)均沒(méi)有小于5m,

x

可得X”、y>5,則爛20,

故選：C.

7.某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)，都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1892張照

片，如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為()

A.x(x+1)=1892B.x(x-1)=1892x2

C.x(x-1)=1892D.2x(x+1)=1892

【答案】C

【解析】

【詳解】：全班有x名同學(xué)，

.?.每名同學(xué)要送出(x-1)張；

又Y是互送照片，

總共送的張數(shù)應(yīng)該是x(x-1)=1892.

故選：C.

8.如圖，ZXABC中，DE〃BC,BE與CD交于點(diǎn)O,AO與DE,BC交于點(diǎn)N、M,則下列式

子中錯(cuò)誤的是()

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A

ADDEDODE

A.B.------=-------C.------=-------D.

BMABABBCOCBC

AEAO

EC-OM

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析:?JDE//BC,

:.AADNsAABM,AADES/XABC,△DOES^COB,

.DNADADDEDODE

所以A、B、C正確；

'."DE//BC,

：.4AENs/\ACM,

.AE_AN

,,就一而‘

.AEAN

,,正一而‘

所以D錯(cuò)誤.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交,

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.注意數(shù)形思想的應(yīng)用.

9.如圖，菱形力3c。的周長(zhǎng)為16,ZABC=\20°,則4c的長(zhǎng)為（）

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A.45/3B.4C.26D.2

【答案】A

【解析】

【詳解】：菱形/3CZ）的周長(zhǎng)為16,ZABC=\20°,

:./BAD=60°,AC±BD,AD=AB=4

:4BD為等邊三角形，

：.EB=-BD=-AB=2

22

在放△N8E中，

AE=yjAB2-BE2=273

故可得

故選A.

D

10.如己知：線段AB,BC,ZABC="90°."求作：矩形ABCD.

以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：

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甲：1.以點(diǎn)。為回心.長(zhǎng)為半徑國(guó)詆；

2.以點(diǎn)?為畫(huà)心.5c長(zhǎng)為半徑曲孤；

3.兩瓠在BC上方交于點(diǎn)D.連接

AD,CD,四邊形4SCD即為所求

（加圖1）.

乙：1.連接/C,作我段XC的垂直平分線,

文.4。于點(diǎn)M；

2.連接RW■并延長(zhǎng),在延長(zhǎng)段上取一點(diǎn)D.

使MD=MB.連接.40.CD.臼邊

形/BCD即為所求（如出2）.

對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說(shuō)確的是

A.兩人都對(duì)B.兩人都沒(méi)有對(duì)

C.甲對(duì)，乙沒(méi)有對(duì)D.甲沒(méi)有對(duì)，乙對(duì)

【答案】A

【解析】

【詳解】對(duì)于甲：由兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形及/B=90°,得四邊形ABCD是

矩形，正確;

對(duì)于乙：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形及NB=90°,得四邊形ABCD是矩形，，正確.

因此，對(duì)于兩人的作業(yè)，兩人都對(duì).

故選A.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yi=2x-2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線丫2=月（x

X

>0）交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CDJ_x軸，且OA=AD,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

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A.當(dāng)x>0時(shí)，yi隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減??；

B.k=4

C.當(dāng)0<x<2時(shí)，yi<y2

D.當(dāng)x=4時(shí)，EF=4

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：A、從圖象可知：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，》隨x的增大而減小,

故本選項(xiàng)沒(méi)有符合題意；

B、y\=2x—2,

當(dāng)y=0時(shí)，x=l,

即OA=\,

"：OA^AD,

：.OD=2,

把x=2代入y=2x—2得：y=2,

即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,2）,

把C的坐標(biāo)代入雙曲線"=&（x>0）得：k=4,故本選項(xiàng)沒(méi)有符合題意；

x

C、根據(jù)圖象可知：當(dāng)0<x<2時(shí)，yi<y2,故本選項(xiàng)沒(méi)有符合題意；

4

D^當(dāng)x=4時(shí)，a=2*4—2=6,V2——=1,

4

所以E/uG—1=5,故本選項(xiàng)符合題意.

故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記函數(shù)的性質(zhì)是解

此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形思想的運(yùn)用.

12.如圖，已知矩形ABCD中，AB=2,BC=6,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿DA方向以每秒1個(gè)單位

的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線AB以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)A時(shí)，E、F兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).連接BD,過(guò)點(diǎn)E作EHJ_BD,垂足為H,連接EF,交BD于點(diǎn)

G,交BC于點(diǎn)M,連接CF,給出下列結(jié)論:①△CDEs/XCBF；②NDBC=NEFC；③廿一=——；

ABEH

④GH的值為定值典；上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

5

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A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：作CNL8D,連接4C

NCDA=ZDCB=ZDAB=ZABC=90°,

設(shè)E點(diǎn)和F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3則CE=3BF=3t,

?_C_D___2__1_D_E___t___1

"BC-6-3'BF-3t-31

.CDDE

"BC-BF'

在ACDE和ACB/中，

ZCDE=ZCBF=90°

-CDDE，

JBC-BF

：./\CDE^/\CBF,故①正確，

:.NDCE=NBCF,

VADCE+/BCE=90°,

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:.NBCE+NBCF=90°,

：.4ECF=90。,

..ECDC

.ECCF

??二,

DCBC

*：4DCB=/ECF,

:.△DCBS/\ECF,

:./DBC=/EFC,故②正確；

:./CDB=NCEF,

/CDB+/DCN=9Q。,ZDCN+ZNCB=90°,

：.ZDCB=ZNCB=/CEF,

?：CNLBD,EH上DB,

:.CN〃EH,

:?/NCE=/CEH,

:./ECB=/HEG,

YAD〃BC,

:?/DEC=NECB,

：.ZDEC=/HEG,

ZEDC=NEHG=90。,

:./XEDCSAEHG,

?EDDC

??------=-------,

EHHG

?:AB=DC,

EDEH…、口

-----=------,故③車(chē)曰灰；

ABHG

?:AD=BC=6,AB=2,

:?BD=NAD?+AB?=2V10，

?：/EDH=/ADB,/EHD=/DAB,

:.ADEHsADBA,

.EDEH

??=------，

DBAB

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■t_EH

一2710~2

：.EH=Vio

..EDEH

?~AB~~HG

網(wǎng)

??1二10，

2~HG

:.3=叵,故④正確.

5

綜上所述①②④正確.

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，

綜合性較強(qiáng)，利用同角的余角相等證明角相等是解題的關(guān)鍵，本題還用到比例式和勾股定理解

決線段的長(zhǎng)度問(wèn)題.

二、填空題（本題有4小題，每小題3分，共12分，把答案填在答題卡上）

13.如圖，是某射手在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練的結(jié)果統(tǒng)計(jì)圖，該射手擊中把心的概率的估計(jì)

值為_(kāi)____.

0.650

0.640

0.630

0.620

0.610

0.600

0.590

0.580?射名火救

10020030050080010003000

【答案】0.600

【解析】

【詳解】觀察圖象可知，該射手擊中靶心的頻率維持在0.600左右，所以該射手擊中靶心的概

率的估計(jì)值為0.600.

14.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似點(diǎn)是點(diǎn)O,黑,則:四邊形

OA5）四邊形/sc。

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A

【答案】攝9

【解析】

【詳解】試題分析：?.?四邊形48CQ與四邊形EFGH位似，位似點(diǎn)是點(diǎn)0,

.EF_0E_3

"AB~04~5,

SWH=0E2=32=2.

S四邊形"co0A525

9

故答案為-.

點(diǎn)睛：本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)C是線段48的黃金分割點(diǎn)(AOBC),已知/B=2,則ZC=.

ACB

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】由黃金分割點(diǎn)的含義知且￡=咨二1,由48=2即可求得4C的值.

AB2

【詳解】???點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)UOBC)

.ACV5-1

??-----=----------

AB2

*8=2

,AC=^^-AB=^^-x2=y/5-]

22

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故答案為：A/5-I

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的含義，掌握此知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

4

16.如圖，函數(shù)y=—x與函數(shù)y=一—的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作y軸的

x

垂線，垂足分別為點(diǎn)C,D,則四邊形ACBD的面積

【答案】8

【解析】

4

【分析】根據(jù)函數(shù)丫二-x與函數(shù)y=--的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，

x

然后根據(jù)過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C,D,即可得到四邊形ACBD的形

狀，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可解答本題.

4

【詳解】：函數(shù)y=-x與函數(shù)y:一的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，

x

y——U=_2[y=2

IX

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2.2),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-2),

,:A,B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C,D,

.?.AC=BD=2,AC/7BD,CD=4,

四邊形ADBC是平行四邊形，

四邊形ACBD的面積是2x4=8.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題

需要的條件，利用數(shù)形的思想解答.

三、解答題(本大題有7題，其中17題8分，18題6分，19題6分，20題7分,

21題8分，22題8分，23題9分，共52分)

17.解下列方程(1)x2+2x-l=0(2)x(2x+3)=4x+6

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3

【答案】(1)xi=T+后，*2=-1-夜；(2)xi=2,X2=--

【解析】

【詳解】試題分析：(1)方程的左邊利用完全平方公式分解因式，然后利用直接開(kāi)平方法求解

即可；

(2)方程右邊提出公因式2后，移至左邊，然后再提出公因式(2x+3)分解因式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為一元方程求解即可.

試題解析：

解：(1)x2+2x-l=0,

(x+1)2=2,

x+1±,

Xl=_l+-s/2>X2=T-5/^；

(2)x(2x+3)=4x+6

x(2x+3)=2(2x+3)

(x-2)(2x+3)=0

3

Xl—2,X2=.

2

點(diǎn)睛：本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法,

公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.

18.某同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，有以下5個(gè)項(xiàng)目可供選擇：徑賽項(xiàng)目：100，〃、200m.

1()00加(分別用41、42、A3表示)；田賽項(xiàng)目：跳遠(yuǎn)，跳高(分別用71、72表示).

(1)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)，恰好是田賽項(xiàng)目的概率P為；

(2)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選兩個(gè)，求恰好是一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的概率P1,

利用列表法或樹(shù)狀圖加以說(shuō)明；

(3)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選兩個(gè)，則兩個(gè)項(xiàng)目都是徑賽項(xiàng)目的概率P2為.

233

【答案】(1)—;(2)—；(3)—；

5510

［解析］

【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解；

(2)先畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的結(jié)果

數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的概率Pi；

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(3)找出兩個(gè)項(xiàng)目都是徑賽項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算兩個(gè)項(xiàng)目都是徑賽項(xiàng)目的概

率率

【詳解】解：(1)該同學(xué)從5個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)，恰好是田賽項(xiàng)目的概率P=5；

5

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖為:

4A2出T\7]

AA

A2I2乂1T\iTxTiAyAsT24自/在

共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)為12,

所以一個(gè)徑賽項(xiàng)目和一個(gè)田賽項(xiàng)目的概率Pi=M=2;

205

(3)兩個(gè)項(xiàng)目都是徑賽項(xiàng)目的結(jié)果數(shù)為6,

所以?xún)蓚€(gè)項(xiàng)目都是徑賽項(xiàng)目的概率P2=裊3.

2010

故答案為

10

考點(diǎn)：列表法與樹(shù)狀圖法.

19.如圖，晚上，小亮在廣場(chǎng)涼.圖中線段AB表示站在廣場(chǎng)上的小亮，線段P0表示直立在廣

場(chǎng)上的燈桿，點(diǎn)P表示照明燈.

(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出小亮在照明燈(P)照射下的影子；

(2)如果燈桿高P0=12m,小亮的身高AB=1.6m,小亮與燈桿的距離B0=13m,請(qǐng)求出小亮影

子的長(zhǎng)度.

【答案】(1)

【解析】

【分析】(1)直接連接點(diǎn)光源和物體頂端形成的直線與地面的交點(diǎn)即是影子的頂端;

(2)根據(jù)投影的特點(diǎn)可知ACABsaCPO,利用相似比即可求解.

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【詳解】(1)連接PA并延長(zhǎng)交地面于點(diǎn)C,線段BC就是小亮在照明燈(P)照射下的影子;

(2)在ACAB和ACPO中，

VZC=ZC,ZABC=ZPOC=90°

AACAB^ACPO

,ABCB

??--------，

POco

.1.6CB

"~V2~\3+BC

??BC=2m,

小亮影子的長(zhǎng)度為2m

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了投影的特點(diǎn)和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是利用投

影的特點(diǎn)可知在這兩組三角形相似，利用其相似比作為相等關(guān)系求出所需要的線段.

20.蘇寧電器某種冰箱，每臺(tái)的進(jìn)貨價(jià)為2600元，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)價(jià)為3000元時(shí)，平均每天能售出8

臺(tái)，而當(dāng)價(jià)每降低100元時(shí)，平均每天就能多售出8臺(tái).商場(chǎng)要使這種冰箱的利潤(rùn)平均每天達(dá)

到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)為多少元？

【答案】要使這種冰箱的利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為2850元時(shí).

【解析】

【詳解】試題分析：利潤(rùn)=一臺(tái)冰箱的利潤(rùn)X冰箱數(shù)量，一臺(tái)冰箱的利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)，降低

售價(jià)的同時(shí)，量就會(huì)提高，“一減一加”，根據(jù)每臺(tái)的盈利X的件數(shù)=5000元，即可列方程求

解.

試題解析：

解：設(shè)每臺(tái)冰箱價(jià)格降低lOOx元，量為8+8x,

(3000-100x-2600)(8+8x)=5000,

解得x=L5,

冰箱定價(jià)=3000-100x=3000-100x1.5=2850(元)，

答：要使這種冰箱的利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為2850元.

第15頁(yè)/總22頁(yè)

點(diǎn)睛：考查一元二次方程的應(yīng)用，得到利潤(rùn)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是得到售出冰

箱的臺(tái)數(shù).

21.如圖，已知正方形ABCD,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足BF=

EF,將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FG,過(guò)點(diǎn)B作FG的平行線，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

連接NG.

（1）求證：BE=2CF；

（2）試猜想四邊形BFGN是什么的四邊形，并對(duì)你的猜想加以證明.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）四邊形BFGN是菱形，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）過(guò)尸作尸于點(diǎn)4,可證明四邊形5CF"為矩形，可得到8/7=CE且〃為

BE中點(diǎn),可得BE=2CF；

（2）由條件可證明絲可得BN=EF,可得到BN=G凡且8N〃尸G,可證得四邊

形8尸GN為菱形.

【詳解】（1）證明：過(guò)F作FHLBE于H點(diǎn),

在四邊形BHFC中，ZBHF=ZCBH=ZBCF=90°,

所以四邊形為矩形，

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:?CF=BH,

?:BF=EF,FH1BE,

：?H為BE中點(diǎn),

:.BE=2BH,

：.BE=2CF；

(2)四邊形BbGN是菱形.

證明：

???將線段放繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得FG,

:?EF=GF,NGFE=90。,

：.ZEFH+ZBFH+NG必=90。

,:BN〃FG,

JZF+ZGF^=180°,

JZA+ZABC+ZCBF+NGF8=180。，

ZABC=90°t

：.ZJ+ZCBF+ZGFB=180°-90°=90°,

由BHFC是矩形可得BC//HF,：.ZBFH=/CBF,

：.ZEFH=90°-ZGFB-ZBFH=90°-ZGFB-ACBF=N4

由BHFC是矩形可得印7=6。，

?；BC=AB,:?HF=AB,

ZNAB=ZEHF=90°

在A48N和中，<AB=HF,

ZNBA=ZEFH

：?>ABNQXHFE,

：.=EF,

?：EF=GF,

：?=GF,

又丁〃GR

???bG是平行四邊形，

VEF=BF,：,=BF,

???平行四邊尸G是菱形.

點(diǎn)睛：本題主要考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判

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定等，作出輔助線是解決(1)的關(guān)鍵.在(2)中證得zUBN四是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形,a、b、c是Rt^ABC和RtABED

的邊長(zhǎng)，已知AE=E，這時(shí)我們把關(guān)于X的形如℃2+血4+6=0二次方程稱(chēng)為“勾系一

元二次方程

請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出一個(gè)“勾系一元二次方程”；

(2)求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程“及+及cx+b=O,必有實(shí)數(shù)根；

⑶若x=I是"勾系一元二次方程”/+夜cx+b=O的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)

是68，求AABC的面積.

【答案】(1)3X2+5瓜+4=0(答案沒(méi)有)(2)見(jiàn)解析(3)1.

【解析】

【分析】(1)直接找一組勾股數(shù)代入方程即可；

(2)根據(jù)根的判別式即可求解；

(3)根據(jù)方程的解代入求出a,b,c的關(guān)系，再根據(jù)完全平方公式的變形進(jìn)行求解.

【詳解】⑴當(dāng)a=3,b=4,c=5時(shí),

勾系一元二次方程為3x2+5y/2x+4=0；

(2)依題意得4=(0c)2-4ab=2c2-4ab,

a2+b2=c2,2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2^0,

即△N),故方程必有實(shí)數(shù)根；

(3)把x=-l代入得a+b=

?.?四邊形ACDE的周長(zhǎng)是6夜，

即2(a+b)+V20=672-故得到c=2,

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/.a2+b2=4,a+b=2拒

*/(a+b)2=a2+b2+2ab

ab=2,

故AABC的面積為gab=l.

【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、根的判別式及完全

平方公式的應(yīng)用.

23.如圖1,已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,將直線在x軸下方的部分沿x

軸翻折，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象(圖中的“V形折線”).

(1)類(lèi)比研究函數(shù)圖象的方法，請(qǐng)列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,雙曲線產(chǎn)壇新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C(I,a),點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(沒(méi)有

x

包括端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)E,與雙曲線交于點(diǎn)P.

①試求4PAD的面積的值；

②探索：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);

若沒(méi)有能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)①函數(shù)的最小值為0；②函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3；尸」y=x+3"(x...-37)；

y=-x-3(x<-3)

25

(2)①一；②在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形PAEC沒(méi)有能為平行四邊形.理由見(jiàn)解析.

8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象可寫(xiě)出新函數(shù)的兩條性質(zhì)；求新函數(shù)的解析式，可分

兩種情況進(jìn)行討論：①x》-3時(shí)，顯然y=x+3；②當(dāng)x<-3時(shí)1利用待定系數(shù)法求解；

(2)①先把點(diǎn)C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析

4

式為y=一.由點(diǎn)D是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(沒(méi)有包括端點(diǎn))，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,m+3),且-3

X

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44i

<m<l,那么P(——，m+3),PD=-----m,再根據(jù)三角形的面積公式得出4PAD的面積為S=不

m+3m+32