四川省樂山市2025屆高三數(shù)學第一次調查研究考試理試題

四川省樂山市2024屆高三數(shù)學第一次調查探討考試（理）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．為了了解樂山大佛景區(qū)暑假游客年齡狀況，大佛管委會對不同年齡段的游客人數(shù)進行了統(tǒng)計，并整理得到如下的頻率分布直方圖．已知20歲到70歲的游客人數(shù)共約200萬，則年齡在的游客人數(shù)約為（）A．6萬 B．60萬 C．8萬 D．80萬3．設復數(shù)z滿意，z在復平面內對應的點為，則（）A． B． C． D．4．的綻開式中的系數(shù)為（）A．4 B．6 C．9 D．125．青海省龍羊峽水電站大壩為重力拱壩（如圖1），其形態(tài)猶如曲池（如圖2）．《九章算術》指出，曲池是上下底面皆為扇環(huán)形態(tài)的水池，設其上底面扇環(huán)的內外弧長分別為，，內外徑之差為，下底面扇環(huán)的內外弧長分別為，，內外徑之差為，高為h，則曲池體積公式為，其中，．已知龍羊峽水電站大壩的上底面內外弧長分別為360m和380m，內外半徑分別為250m和265m；下底面內外弧長分別為50m和70m，內外半徑差為80m，高為180m．則澆鑄龍羊峽大壩須要的混凝土約為（結果四舍五入）（）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．8．已知，，則（）A． B． C． D．9．已知，，設，則M所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．10．已知，滿意，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．11．已知，，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．12．已知，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分．13．拋物線上一點到焦點F的距離，則拋物線的方程為______．14．若向量，滿意，，與的夾角為120°，則______．15．函數(shù)在上全部零點之和為______．16．在平面四邊形ABCD中，，，沿BD將△ABD折起，使得△ABC與△BAD全等．記四面體ABCD外接球球心到平面ABC的距離為，四面體ABCD的內切球球心到點A的距離為，則的值為______．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．17．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前三項和為15，等比數(shù)列的前三項積為64，且．（1）求和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前20項和．18．（本小題滿分12分）設函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積．若且，求的最大值．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD滿意，且，，三角形PAC的面積為．（1）畫出平面PAB和平面PCD的交線，并說明理由；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．20．（本小題滿分12分）“雙十一”期間，某大型商場實行了“消費領獎”的促銷活動，在規(guī)定的商品中，顧客消費滿200元（含200元）即可抽獎一次，抽獎方式有兩種（顧客只能選擇其中一種）．方案一：從裝有5個形態(tài)、大小完全相同的小球（其中紅球1個，黑球4個）的抽獎盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次紅球，立減100元．方案二：從裝有10個形態(tài)、大小完全相同的小球（其中紅球2個，黑球8個）的抽獎盒中，不放回地摸出2個球，中獎規(guī)則為：若摸出2個紅球，享受免費實惠；若摸出1個紅球，1個黑球，則打5折；若摸出2個黑球，則抵扣現(xiàn)金50元．（1）某顧客恰好消費200元，選擇抽獎方案一，求他實付現(xiàn)金的分布列和期望；（2）若顧客消費300元，試從實付金額的期望值分析顧客選擇哪一種抽獎方式更合理？21．（本小題滿分12分）若函數(shù)．（1）證明：當時，；（2）設，證明：．請考生在第22－23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分．22．（本小題滿分10分）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）若P是C上一動點，，，作線段BP的中垂線交直線AP于點Q，求點Q的軌跡方程．23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）求的最大值m；（2）若正數(shù)a，b，c滿意，證明．樂山市中學2024屆第一次調查探討考試理科數(shù)學參考答案及評分看法2024.12一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．CBBCC BAACD BA二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．；14．－3；15．4；16．三、解答題：本大題共6小題，共70分．17．解：（1）∵等差數(shù)列滿意，∴．∵，∴，∴．∵等比數(shù)列滿意，∴．∵，∴，∴．（2）由題知的前20項．18．解：（1）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為．（2）∵，∴．∵B為銳角，∴．∵，∴，．∴．∴．當時，原式有最大值．19．解：（1）延長BA、CD交于點E，連接EP，則EP為平面PAB和平面PCD的交線．∵，平面PAB，∴平面PAB．同理可得平面PCD．∴平面平面PCD．∵平面PAB，平面PCD，∴平面平面PCD．∴EP為平面PAB和平面PCD的交線．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB∵三角形PAC的面積為，∴，解得．從而．又在直角三角形PAB中，，∴．在△PBC中，，，，∴，∴PB⊥BC．∵BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB．設平面PAB與平面PCD所成銳二面角為，∴△PCD在平面PAB上的投影為△PAB，∵ABCD為直角梯形，由，，∴，∵在直角三角形PAD中，，，∴，∵在三角形PCD中，由，，∴．∴．∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．（注：建立空間直角坐標系也可以求解，未說明AB⊥AD扣2分．）20．解：（1）設實付金額為X元，則X可能取值為0，100，200．則，，，則X的分布列為X0100200P∴（元）（2）若選方案一，設摸到紅球的個數(shù)為Y，實付金額為，則，由題意得，故．∴（元）若選方案二，設實付金額為，則得可能取值為0，150，250．則，，．則的分布列為0150250P∴（元）∵，∴選擇方案二更合理．21．解：（1）∵，∴．令，則．當時，．∴在上單調遞減，故．∵，∴．∴在上單調遞減，故．∴當時，．（2）由（1）可知，當時，．令，則上式化為．∴，．令，得∴．∴，．∵．∴，得證．