2025版新教材高中數(shù)學同步練習52兩角差的余弦公式新人教A版必修第一冊

同步練習52兩角差的余弦公式必備學問基礎練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．[2024·云南師大附中高一期末]coseq\f(π,12)＝()A．eq\f(\r(6)＋\r(2),4)B．eq\f(\r(6)－\r(2),4)C．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)D．－eq\f(\r(6)－\r(2),4)2．[2024·河南鄭州高一期末]sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)3．[2024·四川成都高一期末]cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝()A．cos(2α－β)B．cos(α－2β)C．cosβD．－cosβ4．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，若sinα＝eq\f(1,3)，則cos(α－β)＝()A．－1B．eq\f(7,9)C．－eq\f(7,9)D．±eq\f(2\r(2),9)5．已知θ∈(0，eq\f(π,2))，sinθ＝eq\f(4,5)，則cos(θ－eq\f(π,4))＝()A．eq\f(\r(2),10)B．－eq\f(\r(2),10)C．eq\f(7\r(2),10)D．－eq\f(7\r(2),10)6．[2024·江西九江高一期末]已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，則cos(α－β)＝()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)7．已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(1,\r(10))，則α－β＝()A．－eq\f(π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．－eq\f(π,4)或eq\f(π,4)8．[2024·福建龍巖高一期末](多選)若α∈[0，2π]，sineq\f(α,3)sineq\f(4α,3)＋coseq\f(α,3)coseq\f(4α,3)＝0，則α＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(3π,2)9．(多選)已知α，β，γ∈(0，eq\f(π,2))，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，則下列說法正確的是()A．cos(β－α)＝eq\f(1,2)B．cos(β－α)＝－eq\f(1,2)C．β－α＝eq\f(π,3)D．β－α＝－eq\f(π,3)二、填空題(每小題5分，共15分)10．已知cos(eq\f(π,3)－α)＝eq\f(1,8)，則cosα＋eq\r(3)sinα＝________.11．[2024·山東北鎮(zhèn)中學高一期末]計算：eq\f(2cos20°－\r(2)cos25°,2sin25°)＝________.12．在△ABC中，sinA＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(12,13)，則cos(A－B)＝________.三、解答題(共20分)13．(10分)[2024·山東北鎮(zhèn)中學高一期末]已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，求：(1)cosα的值；(2)cos(α－eq\f(π,3))的值．14．(10分)[2024·陜西西安高一期末]已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，cosβ＝－eq\f(5,13)，求cos(α－β)的值．關鍵實力提升練15．(5分)若0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(5,13)，則cos(α＋eq\f(π,4))＝()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(3,2)C．eq\f(56,65)D．eq\f(36,65)[答題區(qū)]題號12345678915答案16.(5分)[2024·福建南平高一期末]若α是其次象限角，sin(α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(1,3)，則cosα＝________.17．(10分)已知cosα＝eq\f(1,7)，α∈(－eq\f(π,2)，0).(1)求cos(eq\f(π,3)－α)的值；(2)若sin(α＋β)＝－eq\f(3\r(3),14)，β∈(0，eq\f(π,2))，求β的值．同步練習52兩角差的余弦公式必備學問基礎練1．答案：A解析：coseq\f(π,12)＝cos(eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).故選A.2．答案：A解析：sin70°sin10°＋cos10°cos70°＝cos(70°－10°)＝cos60°＝eq\f(1,2).故選A.3．答案：C解析：cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝cos[α－(α－β)]＝cosβ.故選C.4．答案：C解析：角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，所以β＝2kπ＋π－α，k∈Z，所以α－β＝2α－2kπ－π，cos(α－β)＝－cos2α＝2sin2α－1＝2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(7,9).故選C.5．答案：C解析：由sinθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0，eq\f(π,2))，可得cosθ＝eq\f(3,5)，則cos(θ－eq\f(π,4))＝cosθcoseq\f(π,4)＋sinθsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＝eq\f(7\r(2),10).故選C.6．答案：A解析：因為sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，所以sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝eq\f(9,25)，(1)因為cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，所以cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝eq\f(16,25)，(2)(1)＋(2)得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－eq\f(1,2).故選A.7．答案：A解析：∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(1,\r(10))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－（\f(\r(5),5)）2)＝eq\f(2,\r(5))，sinβ＝eq\r(1－cos2β)＝eq\r(1－（\f(1,\r(10))）2)＝eq\f(3,\r(10))，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2,\r(5))×eq\f(1,\r(10))＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3,\r(10))＝eq\f(\r(2),2).又∵sinα<sinβ，∴α<β，∴－eq\f(π,2)<α－β<0，∴α－β＝－eq\f(π,4).故選A.8．答案：CD解析：因為α∈[0，2π]，sineq\f(α,3)sineq\f(4α,3)＋coseq\f(α,3)coseq\f(4α,3)＝cosα＝0，則α＝eq\f(π,2)或α＝eq\f(3π,2).故選CD.9．答案：AC解析：由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.兩式分別平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝eq\f(1,2)，∴A正確，B錯誤．∵α，β，γ∈(0，eq\f(π,2))，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝eq\f(π,3)，∴C正確，D錯誤．故選AC.10．答案：eq\f(1,4)解析：因為cos(eq\f(π,3)－α)＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(1,8)，所以cosα＋eq\r(3)sinα＝eq\f(1,4).11．答案：eq\f(\r(2),2)解析：由題意得，eq\f(2cos20°－\r(2)cos25°,2sin25°)＝eq\f(2cos（45°－25°）－\r(2)cos25°,2sin25°)＝eq\f(\r(2)cos25°＋\r(2)sin25°－\r(2)cos25°,2sin25°)＝eq\f(\r(2)sin25°,2sin25°)＝eq\f(\r(2),2).12．答案：－eq\f(16,65)解析：因為cosB＝－eq\f(12,13)，且0<B<π，所以eq\f(π,2)<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(5,13)，且0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(3,5)，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(3,5)×(－eq\f(12,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝－eq\f(16,65).13．解析：(1)由sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－（\f(3,5)）2)＝－eq\f(4,5).(2)由(1)得cos(α－eq\f(π,3))＝cosα·coseq\f(π,3)＋sinα·sineq\f(π,3)＝(－eq\f(4,5))×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(－4＋3\r(3),10).14．解析：∵sinα＝eq\f(4,5)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(3,5)，又∵cosβ＝－eq\f(5,13)，∴sinβ＝±eq\r(1－cos2β)＝±eq\f(12,13)，當sinβ＝eq\f(12,13)時，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65)；當sinβ＝－eq\f(12,13)時，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(3,5)×(－eq\f(5,13))＋eq\f(4,5)×(－eq\f(12,13))＝－eq\f(63,65).關鍵實力提升練15．答案：C解析：因為0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(4,5).又－eq\f(π,4)<β－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)，所以cos(β－eq\f(π,4))＝eq\r(1－sin2（β－\f(π,4)）)＝eq\f(12,13).所以cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)·cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).故選C.16．答案：－eq\f(2\r(2)＋\r(3),6)解析：因為α是其次象限角，且sin(α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(1,3)<0，所以α＋eq\f(π,3)為第三象限角，所以cos(α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(2\r(2),3)，所以cosα＝cos[(α＋eq\f(π,3))－eq\f(π,3)]＝eq\f(1,2)cos(α＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)×(－eq\f(2\r(2),3))＋eq