(學生版+解析)第10講不等式及不等式組-基礎(chǔ)

第10講不等式及不等式組知識點1不等式1．不等式的定義不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．注意：凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．2．不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞b③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜b（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．3．不等式的解和解集（1）不等式的解的：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的：求不等式的解集的過程叫做解不等式．【典例】例1(2023春?槐蔭區(qū)月考）濟南春季某日最高氣溫是，最低氣溫是，則濟南當日氣溫的變化范圍是A． B． C． D．例2(2023秋?三水區(qū)校級月考）據(jù)某市日報報道，2018年9月18日該市的最高氣溫是，最低氣溫是，則當天該市氣溫的變化范圍是A． B． C． D．例3(2023春?南崗區(qū)校級月考）若，則下列式子錯誤的是A． B． C． D．【方法總結(jié)】1．不等式的判定方法用“＜，＞，≤，≥，≠”連接的式子叫做不等式． 2．不等式的基本性質(zhì)①不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．③不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．3．判斷某個數(shù)是否為不等式的解法思路將某個數(shù)代入不等式，如果不等式成立，那么這個數(shù)是該不等式的解；否則，這個數(shù)不是不等式的解．4．求不等式的解集的依據(jù)解不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，要熟練掌握不等式的基本性質(zhì)．【隨堂練習】 1．(2023春?叢臺區(qū)校級期中）式子①②③④⑤⑥中，屬于不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．(2023春?巴州區(qū)校級期中）在下列數(shù)學表達式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．(2023秋?西湖區(qū)校級期中）下列不等式說法中，不正確的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則知識點2一元一次不等式1．一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．2．解一元一次不等式解一元一次不等式步驟如下①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到不等式性質(zhì)3，即可能改變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．3．在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【典例】例1(2023秋?西湖區(qū)校級期中）下列是一元一次不等式的是A． B． C． D．例2(2023春?鼓樓區(qū)校級期中）下列各式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．例3(2023春?蘭考縣期末）解不等式，下列去分母正確的是A． B． C． D．例4(2023?荔灣區(qū)二模）解不等式，并在數(shù)軸上將解集表示出來．【方法總結(jié)】1．一元一次不等式?？疾橐辉淮尾坏仁降亩x，解答這類題目要記住以下兩個關(guān)鍵點：①含有一個未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)是1．2．解一元一次不等式解一元一次不等式關(guān)鍵在于掌握其解題步驟：①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)化為1．注意：以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到不等式的性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．3．求一元一次不等式的整數(shù)解的解題思路①求一元一次不等式的解集；②結(jié)合題目所給條件，然后在一元一次不等式解集內(nèi)找出相應的整數(shù)，從而解答此類題目．【隨堂練習】1．(2023春?相城區(qū)期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是A． B． C． D．2．(2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）下列不等式是一元一次不等式的是A． B． C． D．3．(2023?廣西）把不等式的解集在數(shù)軸上表示，正確的是A． B． C． D．4．(2023秋?嵊州市期中）解不等式（組并把解表示在數(shù)軸上（1）；（2）．知識點3一元一次不等式組1．一元一次不等式組的概念由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組.不等式組中所有不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.求不等式組的解集的過程叫做解不等式組．注意：一個一元一次不等式組的幾個不等式必須符合三個條件：(1)這里的幾個可以是兩個、三個、…；(2)每個不等式都是一元一次不等式；(3)必須都含有同一個未知教．2．解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間夾；大大小小無解答．【典例】例1(2023春?安慶期中）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數(shù)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個例2(2023?西寧）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【方法總結(jié)】1．解一元一次不等式組方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：大大取最大；小小取最??；大小小大中間夾；大大小小無解答．解集的規(guī)律如下圖所示：2．一元一次不等式組的整數(shù)解①求出一元一次不等式組的解集；②在數(shù)軸上表示出一元一次不等式組的解集；③結(jié)合題目所給條件，然后在一元一次不等式組的解集內(nèi)確定一元一次不等式組的整數(shù)解，從而解答此類題目．【隨堂練習】1．(2023秋?道外區(qū)期末）不等式組的解集是A． B． C．或 D．2．(2023春?越秀區(qū)校級月考）解不等式組并把解集在數(shù)軸上表示出來．3．(2023春?市中區(qū)校級月考）解不等式組，并在數(shù)軸上表示出它的解集．綜合運用1．(2023春?磁縣期末）下列選項中是一元一次不等式組的是A． B． C． D．2．(2023春?密山市期末）數(shù)學表達式中：①②③④⑤⑥不等式是（填序號）．3．(2023秋?柯橋區(qū)期中）已知，則下列四個不等式中，不正確的是A． B． C． D．4．(2023秋?南崗區(qū)校級月考）解不等式：（1）；（2）．5．(2023春?撫順縣期末）解不等式，并在數(shù)軸上表示它的解集．6．(2023秋?金東區(qū)期中）解不等式組．7．(2023秋?湖里區(qū)校級月考）解不等式組：．第10講不等式及不等式組知識點1不等式1．不等式的定義不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．注意：凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．2．不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞b③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜b（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．3．不等式的解和解集（1）不等式的解的：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．（3）解不等式的：求不等式的解集的過程叫做解不等式．【典例】例1(2023春?槐蔭區(qū)月考）濟南春季某日最高氣溫是，最低氣溫是，則濟南當日氣溫的變化范圍是A． B． C． D．【解答】解：由題意得：濟南當日氣溫的變化范圍是：，故選：．例2(2023秋?三水區(qū)校級月考）據(jù)某市日報報道，2018年9月18日該市的最高氣溫是，最低氣溫是，則當天該市氣溫的變化范圍是A． B． C． D．【解答】解：某日該市最高氣溫是，最低氣溫是，當天該市氣溫的變化范圍是：．故選：．例3(2023春?南崗區(qū)校級月考）若，則下列式子錯誤的是A． B． C． D．【解答】解：、在不等式的兩邊同時加上1，不等式仍成立，即，故本選項不符合題意．、在不等式的兩邊同時除以3，不等式仍成立，即，故本選項不符合題意．、在不等式的兩邊同時乘以，不等號方向改變，即，故本選項不符合題意．、在不等式的兩邊同時乘以，再加上1，不等號方向改變，即，故本選項符合題意．故選：．【方法總結(jié)】1．不等式的判定方法用“＜，＞，≤，≥，≠”連接的式子叫做不等式． 2．不等式的基本性質(zhì)①不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．③不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．3．判斷某個數(shù)是否為不等式的解法思路將某個數(shù)代入不等式，如果不等式成立，那么這個數(shù)是該不等式的解；否則，這個數(shù)不是不等式的解．4．求不等式的解集的依據(jù)解不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，要熟練掌握不等式的基本性質(zhì)．【隨堂練習】 1．(2023春?叢臺區(qū)校級期中）式子①②③④⑤⑥中，屬于不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：①是二元一次方程；②是不等式；③是代數(shù)式；④是代數(shù)式；⑤是不等式；⑥是不等式；屬于不等式的共3個，故選：．2．(2023春?巴州區(qū)校級期中）在下列數(shù)學表達式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：①，②，⑤，⑥是不等式，共4個，故選：．3．(2023秋?西湖區(qū)校級期中）下列不等式說法中，不正確的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【解答】解：、，，，原說法正確，故本選項不符合題意；、，，原說法錯誤，故本選項符合題意；、，，原說法正確，故本選項不符合題意；、，，原說法正確，故本選項不符合題意；故選：．知識點2一元一次不等式1．一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．2．解一元一次不等式解一元一次不等式步驟如下①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到不等式性質(zhì)3，即可能改變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．3．在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【典例】例1(2023秋?西湖區(qū)校級期中）下列是一元一次不等式的是A． B． C． D．【解答】解：、是一元一次不等式，故此選項符合題意；、含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；、不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；、未知數(shù)是2次，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；故選：．例2(2023春?鼓樓區(qū)校級期中）下列各式中，是一元一次不等式的是A． B． C． D．【解答】解：．中的次數(shù)為2，不是一元一次不等式；．含有2個未知