高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-4-1等比數(shù)列同步課件新人教A版必修5

2.4等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列主題1等比數(shù)列的概念及等比中項(xiàng)1.觀察下面的數(shù)列,它們有什么共同特點(diǎn)?(1)1,2,4,8,16,…(2)3,9,27,81,243,…(3)-2,8,-32,128,-512,…提示:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù).2.若把滿足上述特點(diǎn)的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列,試判斷滿足G2=ab的三個(gè)數(shù)a,G,b是否組成等比數(shù)列(其中a,b≠0)?反之是否成立?提示:因?yàn)镚2=ab≠0,故,所以a,G,b組成等比數(shù)列;反之亦成立,即若a,G,b成等比數(shù)列,則G2=ab.結(jié)論:1.等比數(shù)列:(1)定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從________,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于_________,那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.(2)公比及表示:這個(gè)_____叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母________表示.第2項(xiàng)起同一常數(shù)常數(shù)q(q≠0)2.等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式_____.G2=ab【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.下列各數(shù)列成等比數(shù)列的是 (

)A.1,-2,-4,-8,-16,…B.1,…C.-1,1,-1,1,-1,…D.0,0,0,0,0,…【解析】選C.由等比數(shù)列的定義知C是等比數(shù)列.【解析】選C.由等比數(shù)列的定義知C是等比數(shù)列.2.在等比數(shù)列{an}中,a1,a5為方程x2-10x+16=0的兩根,則a3= (

)

A.4 B.5 C.±4 D.±5【解析】選A.因?yàn)閍1,a5為方程x2-10x+16=0的兩根,所以a1a5=16,在等比數(shù)列{an}中,=a1a5=16,所以a3=±4,又因?yàn)閍1,a5為正數(shù),奇數(shù)項(xiàng)同號(hào),所以a3=4.3.已知等差數(shù)列{an}的公差為3,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則a2=________.

【解析】設(shè)公差為d,因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的公差為3,a1,a3,a4成等比數(shù)列,所以(a1+6)2=a1(a1+9).所以a1=-12,所以a2=-9.答案:-9主題2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1.根據(jù)等比數(shù)列的定義,對(duì)于等比數(shù)列{an}你能得出任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系嗎?提示:對(duì)于等比數(shù)列{an}中任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系為

=q(n≥2,q≠0),即an=an-1·q(n≥2,q≠0).主題2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1.根據(jù)等比數(shù)列的定義,對(duì)于等比數(shù)列{an}你能得出任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系嗎?提示:對(duì)于等比數(shù)列{an}中任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系為

=q(n≥2,q≠0),即an=an-1·q(n≥2,q≠0).2.根據(jù)等比數(shù)列的定義,類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法,如何推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?提示:由等比數(shù)列定義知=q(n≥2,q≠0),故=q,=q,…,=q,以上各式相乘得:=qn-1,因此an=a1·qn-1.結(jié)論:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:首項(xiàng)為a1,公比是q(q≠0)的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:________________.an=a1·qn-1(q≠0)【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知等比數(shù)列{an}中,a1=32,公比q=-,則a6= (

)

A.1 B.-1 C.2 D.

【解析】選B.a6=a1·q5=32×=-1.2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1=3,a9=a2a3a4,則公比q的值為 (

)A. B. C.2 D.3【解析】選D.由a9=a2a3a4得a1q8=q6,所以q2=,因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),所以q=a1=3.3.已知數(shù)列{an}中,an+1=3an,a1=2,則a4等于 (

)A.18 B.54 C.36 D.72【解析】選B.數(shù)列{an}中,an+1=3an,a1=2,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q=3.則a4=2×33=54.類型一等比數(shù)列中基本量的計(jì)算【典例1】(1)在等比數(shù)列{an}中,a1=,q=,an=,則項(xiàng)數(shù)n為 (

)

A.3 B.4 C.5 D.6(2)在等比數(shù)列{an}中,若a2+a6=3,a6+a10=12,則a8+a12= (

)A.12 B.24 C.24 D.48【解題指南】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出關(guān)于n的方程,求解即可.(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出q2=2,再求值即可.【解析】(1)選C.因?yàn)閍n=a1qn-1,所以,故n=5.(2)選B.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,且q≠0,因?yàn)閍2+a6=3,a6+a10=12,所以q4=4,所以q2=2,所以a8+a12=q6(a2+a6)=24.【方法總結(jié)】1.求等比數(shù)列某項(xiàng)的方法先建立關(guān)于a1和q的兩個(gè)方程,從而求出a1和q,再求相應(yīng)的項(xiàng).2.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(1)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a1,q的方程組,求出a1,q后再求an,這是常規(guī)方法.(2)充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系,直接求出q后,再求a1,最后求an,這種方法帶有一定的技巧性,能簡(jiǎn)化運(yùn)算.【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q<1,若a2=2,a1+a2+a3=7.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.【解析】(1)由已知得,則或(舍去)所以an=4×=23-n.(2)因?yàn)閎n=log2an=log223-n=3-n.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為-1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,所以Tn=【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知等比數(shù)列{an}中,a1+a2=1,a4+a5=-8,則公比q= (

)A.-2

B.2

C.-

D.

【解析】選A.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1,原等式變?yōu)閍1+a1q=1,a1q3+a1q4=-8,兩式相除得=-8,解得q=-2.類型二等比中項(xiàng)及應(yīng)用【典例2】(1)若a=5+2,c=5-2,則a與c的等比中項(xiàng)為_(kāi)_______.

(2)已知1既是a2與b2的等比中項(xiàng),又是與的等差中項(xiàng),求的值.【解題指南】(1)利用等比中項(xiàng)的定義去求.(2)結(jié)合等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)的定義求解.【解析】(1)設(shè)a與c的等比中項(xiàng)為b,則b2=ac=(5+2)(5-2)=1,即b=±1.答案:±1(2)由題意得,a2b2=(ab)2=1,=2,所以或因此=1或-.【方法總結(jié)】等比中項(xiàng)應(yīng)用的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)由等比中項(xiàng)的定義可知?G2=ab?G=±,所以當(dāng)a,b同號(hào)時(shí),a,b的等比中項(xiàng)有兩個(gè),異號(hào)時(shí),沒(méi)有等比中項(xiàng).(2)在一個(gè)等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).=an-1·an+1.(3)a,G,b成等比數(shù)列等價(jià)于G2=ab(ab>0).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a-1,a+1,a+4三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則公比q=______.

【解析】由題意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故q=答案:

類型三等比數(shù)列的判定【典例3】(2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列.(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【解題指南】(1)可通過(guò)題意中的4an+1=3an-bn+4以及4bn+1=3bn-an-4對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列{an+bn}是等比數(shù)列以及數(shù)列{an-bn}是等差數(shù)列;

(2)可通過(guò)(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列{an+bn}以及數(shù)列{an-bn}的通項(xiàng)公式,然后利用數(shù)列{an+bn}以及數(shù)列{an-bn}的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果.【解析】(1)由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn).又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因?yàn)閍1-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1.所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-,bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+.【方法總結(jié)】證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的三種方法(1)定義法:驗(yàn)證=q(常數(shù))是否成立.(2)等比中項(xiàng)法:證明=anan+2,注意an≠0.(3)通項(xiàng)公式法:證明an=a1qn-1,這里a1≠0且q≠0.提醒:利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)必須說(shuō)明為同一常數(shù).【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=2an+n-1,記bn=an+n.(1)求b1,b2,b3.(2)判斷{bn}是否為等比數(shù)列,并說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)閍1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,從而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8.(2){bn}是等比數(shù)列.因?yàn)閍n+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以=2,即=2,所以{bn}是等比數(shù)列,且首項(xiàng)b1=2,公比為2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1).(n∈N*)(1)求a1,a2.(2)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【解析】(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-,又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)得,又故{an}是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞(2