重難點02二次函數(shù)綜合(原卷版+解析)

重難點02二次函數(shù)綜合命題趨勢命題趨勢二次函數(shù)是初三學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)中的熱門考點。其主要的考點包括二次函數(shù)的概念，解析式的求解，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用。這些考點在復(fù)習(xí)的過程當(dāng)中，其關(guān)聯(lián)性是非常重要的一個部分，不能說某一部分的考點在考試中只是考這個部分。隨著這個中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識點之間的關(guān)聯(lián)性，所以二次函數(shù)的各個考點在實際的解題或者是應(yīng)用當(dāng)中，除了針對每一個考點的應(yīng)用能夠熟練使用以外，還要加強(qiáng)各知識點之間的聯(lián)系。熱點解讀熱點解讀二次函數(shù)是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。也正是這些二次函數(shù)的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．滿分技巧滿分技巧1．通過思維導(dǎo)圖整體把握二次函數(shù)所有考點1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達(dá)式、開口問題、頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系）；3）與實際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問題）2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問題（線段、周長、面積）3．熟練掌握各種常見有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對策略1）線段最值（周長）問題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)5）相似三角形存在性問題——根據(jù)相等角分類討論6）（特殊）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法限時檢測限時檢測1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，新二次函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）對于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點B．拋物線向左平移個單位長度后得到C．拋物線與軸的交點是D．當(dāng)時，隨的增大而增大4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對稱軸是直線x＝1，則函數(shù)y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．個交點為，與y軸的交點在和之間．下列結(jié)論中：①；②；③（m為任意實數(shù)）；④正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標(biāo)為，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個根為和3；③；④當(dāng)時，x的取值范圍是；⑤當(dāng)時，y隨x的增大而增大．其中錯誤的有（）個A．4 B．3 C．2 D．19．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點，連接、，點，點分別是、上的點，且．設(shè)的面積為，的長為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽黃山·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點．若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．14．（2023·江蘇常州·常州市?？寄M預(yù)測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過D作交于點E，連接BE，當(dāng)時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當(dāng)時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標(biāo)，若不存在，請簡要說明理由.15．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線與軸交于點、（左右），與軸交于點，直線經(jīng)過點、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點在直線上方的拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點在點右側(cè)軸上，連接，，，過點作軸交拋物線于點，連接，點在軸負(fù)半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式16．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知拋物線過兩點，交軸于點.(1)求拋物線的表達(dá)式和對稱軸；(2)如圖1，若點是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點落在該拋物線的對稱軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線線段于點點，過點作軸，求的最大值.17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足（是坐標(biāo)原點），求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點是直線上方拋物線上的一點，過點作于點，作軸交于點，求周長的最大值．真題演練1．(2023·江蘇無錫）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標(biāo)．3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．4．(2023·四川宜賓）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結(jié)AC．(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．重難點02二次函數(shù)綜合命題趨勢命題趨勢二次函數(shù)是初三學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)中的熱門考點。其主要的考點包括二次函數(shù)的概念，解析式的求解，函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用。這些考點在復(fù)習(xí)的過程當(dāng)中，其關(guān)聯(lián)性是非常重要的一個部分，不能說某一部分的考點在考試中只是考這個部分。隨著這個中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識點之間的關(guān)聯(lián)性，所以二次函數(shù)的各個考點在實際的解題或者是應(yīng)用當(dāng)中，除了針對每一個考點的應(yīng)用能夠熟練使用以外，還要加強(qiáng)各知識點之間的聯(lián)系。熱點解讀熱點解讀二次函數(shù)是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)。也正是這些二次函數(shù)的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數(shù)本身就比較抽象，這就導(dǎo)致了題目得分率非常低．其實我們只要能熟練掌握二次函數(shù)的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數(shù)的得分，不是什么難事，多多練習(xí)，多多總結(jié)．滿分技巧滿分技巧1．通過思維導(dǎo)圖整體把握二次函數(shù)所有考點1）圖象與性質(zhì)：（函數(shù)的三種表達(dá)式、開口問題、頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結(jié)合（交點坐標(biāo)與方程的根的關(guān)系）；3）與實際生活結(jié)合（用二次函數(shù)解決生活中的最值（范圍）問題）2.二次函數(shù)的壓軸題主要考向1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問題（線段、周長、面積）3．熟練掌握各種常見有關(guān)二次函數(shù)的題型和應(yīng)對策略1）線段最值（周長）問題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題4）線段差——三角形三邊關(guān)系或函數(shù)5）相似三角形存在性問題——根據(jù)相等角分類討論6）（特殊）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法限時檢測限時檢測1．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．答案:B分析：根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減（橫軸），上加下減（縱軸）”，即可求解．【詳解】解：拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位得，，故選：．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，新二次函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:C分析：將原二次函數(shù)整理為用頂點式表示的形式，根據(jù)二次函數(shù)的平移可得新拋物線的表達(dá)式．【詳解】解：，先向右平移2個單位長度得到的函數(shù)表達(dá)式為：，即，再向上平移1個單位長度后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為，故選：C．3．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）對于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點B．拋物線向左平移個單位長度后得到C．拋物線與軸的交點是D．當(dāng)時，隨的增大而增大答案:C分析：根據(jù)二次函數(shù)解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及平移的規(guī)律，即可得出結(jié)論．【詳解】A、，拋物線的頂點，故錯誤，不符合題意，B、拋物線向左平移個單位長度后得到，，故錯誤，不符合題意，C、當(dāng)時，，拋物線與軸的交點是，故正確，符合題意，D、，開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而減小，故錯誤，不符合題意，故選：C．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)當(dāng)時，即拋物線經(jīng)過即可判斷．【詳解】當(dāng)時，，∴拋物線經(jīng)過∴只有B選項符合故選：B．5．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：根據(jù)“銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個”結(jié)合“當(dāng)銷售單價定為元時，每天可售出個”；即可表示出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再表示出每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤等于單件利潤乘以銷量即可求解．【詳解】解：由題可得：，．故選：D．6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖像如圖所示，其對稱軸是直線x＝1，則函數(shù)y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．答案:A分析：先由的開口向下，對稱軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，判斷的符號，再確定的圖像分布，從而可得答案．【詳解】解：的開口向下，對稱軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，＜＞＞即的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，選項：的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，三象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，過的圖像在二，四象限，不符合題意，故選：7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知拋物線的頂點為，其中，與x軸的一個交點為，與y軸的交點在和之間．下列結(jié)論中：①；②；③（m為任意實數(shù)）；④正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：拋物線的頂點坐標(biāo)為，，與x軸有交點，說明拋物線開口向下，則，當(dāng)時，而拋物線與y軸的交點在和之間，則，所以，故①是錯誤的；拋物線的頂點坐標(biāo)為，所以拋物線關(guān)于對稱軸對稱，拋物線上的點也關(guān)于對稱軸對稱，則拋物線與x軸的另一個交點為，將此交點代入解析式，故②正確；當(dāng)時y取最大值，所以正確；，而，所以，而拋物線與y軸的交點在和之間，，所以，所以正確．【詳解】解：拋物線的頂點坐標(biāo)為，，拋物線開口向下，則，當(dāng)時，而拋物線與y軸的交點在和之間，，故①是錯誤的；拋物線的頂點坐標(biāo)為，它的對稱軸，即，拋物線與x軸的一個交點為，拋物線與x軸的另一個交點為，即時，，，故②是正確的；當(dāng)時，y取最大值，，，故③是正確的；前面求出拋物線與x軸的另一個交點為，即時，，，，，，又拋物線與y軸的交點在和之間，故④是正確的．綜合以上②③④是正確的，故選C．8．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標(biāo)為，其圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個根為和3；③；④當(dāng)時，x的取值范圍是；⑤當(dāng)時，y隨x的增大而增大．其中錯誤的有（）個A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：利用拋物線與軸的交點個數(shù)可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的一個交點坐標(biāo)為，則可對②進(jìn)行判斷；由對稱軸方程得到，然后根據(jù)時函數(shù)值為0可得到，則可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線在軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷．【詳解】解：拋物線與軸有2個交點，，，故①錯誤；拋物線的對稱軸為直線，而點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，方程的兩個根是，，故②正確；，即，而時，，即，，即，故③錯誤；拋物線與軸的兩點坐標(biāo)為，，當(dāng)時，的取值范圍是，故④錯誤；拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時，隨增大而增大，當(dāng)時，隨增大而增大，故⑤正確；所以其中結(jié)論正確有①③④，共3個．故選：B．9．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點，連接、，點，點分別是、上的點，且．設(shè)的面積為，的長為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．答案:A分析：證明為等邊三角形，再利用，即可求解．【詳解】解：，為的中點，則，在中，，，則，同理可得，故為等邊三角形，則，，則，在中，過點作于點，則，則，該函數(shù)為開口向下的拋物線，時，的最大值為，故選：A．10．（2023·安徽黃山·校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．答案:A分析：作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對稱軸為直線，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)點P在時，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．答案:(1)拋物線的解析式為(2)(3)的面積最大值為分析：（1）把點，代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)拋物線的解析式，令，可求出拋物線與軸的交點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（3）如圖所示，過點作軸交于，設(shè)，則，用含的式子表示的面積，根據(jù)拋物線的頂點式即可求出最大值．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得，，∴，且，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．（3）解：如圖所示，過點作軸交于，設(shè)，則，∴，∴，∴當(dāng)時，的面積有最大值，最大值為，∴的面積最大值為．12．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過點．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點．若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．答案:(1)，拋物線的解析式為(2)的值為或分析：（1）利用待定系數(shù)法將代入即可得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到，分兩種情況得到的值．【詳解】（1）解：把代入，得，∴解得，∴直線的解析式為，∴，把分別代入，解得，∴拋物線的解析式為，（2）解：∵，∴P，N，有兩種情況：①當(dāng)點在點的上方時，，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，解得，②當(dāng)點在點的下方時，，同理，，解得，綜上所述，的值為或．13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標(biāo)；(3)拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．答案:(1)(2)點的坐標(biāo)為或(3)存在，點的坐標(biāo)為或分析：（1）運用待定系數(shù)法，將，代入，即可求得拋物線的解析式；（2）先求出直線的解析式，設(shè)，過點作軸于點，過點作軸于點，易得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用含的式子表示點的坐標(biāo)，再由點也在直線上，得到關(guān)于的方程，解方程即可；（3）分情況討論：①當(dāng)點是拋物線上與點對稱的點時，②當(dāng)時，分別求得點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：拋物線與軸交于點，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得，直線的解析式為，設(shè)，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，，即，，，，又點在直線上，，解得或，當(dāng)時，，即點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即點的坐標(biāo)為；（3）解：存在點使得，如圖，①當(dāng)點是拋物線上與點對稱的點時，則有，點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為，；②當(dāng)時，則有，直線的解析式，直線的解析式一次項系數(shù)為，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，（舍去），，綜上，存在點使得，點的坐標(biāo)為或．14．（2023·江蘇常州·常州市?？寄M預(yù)測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設(shè)運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)過D作交于點E，連接BE，當(dāng)時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當(dāng)時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標(biāo)，若不存在，請簡要說明理由.答案:(1)(2)(3)或分析：（1）用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求出直線的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）當(dāng)在右側(cè)和在左側(cè)兩種情況加以分析即可；【詳解】（1）解：（1）將，代入得，解得：∴（2）∵，設(shè)直線的解析式為：∴，解得：∴直線AC的解析式為：當(dāng)時，，則當(dāng)時，當(dāng)，∴∵∴∴∴（3）當(dāng)在右側(cè)時，過C作軸于H，如圖：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵當(dāng)時，則∴∴∴此時直線與x軸的交點Q的坐標(biāo)為②當(dāng)在左側(cè)時，作Q關(guān)于直線的對稱點M，作直線交拋物線于P，由對稱性知此時，直線與x軸交點Q'是滿足條件的點，如圖：設(shè)，∵，∴∴或∴由，得直線解析式為令得，則，∴∴直線與x軸的交點Q的坐標(biāo)為或15．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線與軸交于點、（左右），與軸交于點，直線經(jīng)過點、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點在直線上方的拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點在點右側(cè)軸上，連接，，，過點作軸交拋物線于點，連接，點在軸負(fù)半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式答案:(1)(2)(3)分析：（1）先求出點A，B，C的坐標(biāo)，再代入，即可求解；（2）設(shè)點，可得，再證得，可得，從而得到，再由，得到關(guān)于t的方程，即可求解；（3）根據(jù)，證明，設(shè)點G的橫坐標(biāo)為m，則，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到點，過點P作交軸于點T，可得到，過點T作交于點N，交于點M，證明，可得，設(shè)，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求出直線的解析式．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點B、C，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴．當(dāng)時，，∴，將點A、B、C分別代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點D在拋物線上，∴設(shè)點，∴，∵，，∴，

∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，解得(舍去)，，當(dāng)時，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，設(shè)點G的橫坐標(biāo)為m，則，∴，∴，解得，∴，∴，∴，

∵軸，∴點P的橫坐標(biāo)為4，對于，當(dāng)時，，∴點，過點P作交軸于點T，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，過點T作交于點N，交于點M，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵，設(shè)，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．16．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知拋物線過兩點，交軸于點.(1)求拋物線的表達(dá)式和對稱軸；(2)如圖1，若點是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當(dāng)點落在該拋物線的對稱軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線線段于點點，過點作軸，求的最大值.答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，對稱軸為；(2)點的坐標(biāo)為；(3)當(dāng)時，取得最大值，最大值是分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得到拋物線的函數(shù)解析式；（2）利用折疊的性質(zhì)得到邊相等和角相等，再利用正切的定義即可得到正確的結(jié)果；（3）根據(jù)直線和的解析式，得到的函數(shù)解析即可得到最大值．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過兩點，∴

，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：，對稱軸為

；（2）解：如圖1，∵，∴，∵對稱軸是，∴，∴由折疊得，在中，，

∴，∴，在中，，∴，，∴點的坐標(biāo)為，（3）解：如圖2，過點作交的延長線于點，過點作于點，∵過點∴直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，∵，軸，∴，∵，∴，∴在中，，又∵，

∴得，∴，∵點在線段上，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值是．17．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足（是坐標(biāo)原點），求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，點是直線上方拋物線上的一點，過點作于點，作軸交于點，求周長的最大值．答案:(1)(2)或(3)分析：（1）由、、三點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）當(dāng)點在軸上方時，則可知當(dāng)時，滿足條件，由對稱性可求得點坐標(biāo)；當(dāng)點在軸下方時，可證得，利用的解析式可求得直線的解析式，再聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求得點坐標(biāo)；（3）首先根據(jù)表示出的周長，判斷出當(dāng)最大時，的周長最大，求出直線的解析式，設(shè)，，利用二次函數(shù)的最值求出的最大值，再分別求出，，可得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得：，拋物線解析式為；（2）當(dāng)點在軸上方時，過作交拋物線于點，如圖1，、關(guān)于對稱軸對稱，、關(guān)于對稱軸對稱，四邊形為等腰梯形，，即點滿足條件，；當(dāng)點在軸下方時，，，，可設(shè)直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，可設(shè)直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得或，；綜上可知滿足條件的點的坐標(biāo)為或；（3）的周長，是定值，當(dāng)最大時，的周長最大，設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，，，當(dāng)時，最大值為2，，，，，，軸，，，，的周長最大值為．真題演練1．(2023·江蘇無錫）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．答案:(1)(2)1(3)，，分析：（1）二次函數(shù)與y軸交于點，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點D在第一象限，根據(jù)點的坐標(biāo)寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進(jìn)一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應(yīng)點C的坐標(biāo)即可。(1)解：∵二次函數(shù)與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數(shù)對稱軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．(2)解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時，，∴，，∴，∵在中，∴(3)解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標(biāo)為，∴此時，點C的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點C、D關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標(biāo)為，當(dāng)點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標(biāo)為，綜上：點C的坐標(biāo)為，，．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側(cè)），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標(biāo)．答案:(1)(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由見解析(3)存在，或，(4)最短距離為，平移后的頂點坐標(biāo)為分析：（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）分別求得B、C、Q的坐標(biāo)，勾股定理的逆定理驗證即可求解；（3）由，故分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解；（4）如圖，作且與拋物線只有1個交點，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于，進(jìn)而求得直線與的距離，即為所求最短距離，進(jìn)而求得平移方式，將頂點坐標(biāo)平移即可求解．(1)解：∵拋物線與y軸交于點∴拋物線解析式為(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：的頂點坐標(biāo)為依題意得，平移后的拋物線解析式為令，解得令，則，即以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯(lián)立解得，，，是等腰直角三角形，設(shè)直線的解析式為,直線的解析式為當(dāng)時，設(shè)的解析式為，由NT過點則解得的解析式為，令解得，②當(dāng)時，則即解得綜上所述，或(4)如圖，作，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于直線的解析式為設(shè)與平行的且與只有一個公共點的直線解析式為則整理得：則解得直線的解析式為，即拋物線平移的最短距離為，方向為方向∴把點P先向右平移EF的長度，再向下平移FC的長度即得到平移后的坐標(biāo)平移后的頂點坐標(biāo)為，即3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．答案:(1)，點C的坐標(biāo)為；(2)(3)存在；m的值為4或解析：分析：（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標(biāo)，利用待