重難點02二次函數綜合(原卷版+解析)

重難點02二次函數綜合命題趨勢命題趨勢二次函數是初三學習的重點內容之一，也是中考數學中的熱門考點。其主要的考點包括二次函數的概念，解析式的求解，函數的圖像與性質，二次函數與一元二次方程、不等式的應用以及二次函數的實際應用。這些考點在復習的過程當中，其關聯性是非常重要的一個部分，不能說某一部分的考點在考試中只是考這個部分。隨著這個中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識點之間的關聯性，所以二次函數的各個考點在實際的解題或者是應用當中，除了針對每一個考點的應用能夠熟練使用以外，還要加強各知識點之間的聯系。熱點解讀熱點解讀二次函數是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現。也正是這些二次函數的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低．其實我們只要能熟練掌握二次函數的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數的得分，不是什么難事，多多練習，多多總結．滿分技巧滿分技巧1．通過思維導圖整體把握二次函數所有考點1）圖象與性質：（函數的三種表達式、開口問題、頂點坐標、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結合（交點坐標與方程的根的關系）；3）與實際生活結合（用二次函數解決生活中的最值（范圍）問題）2.二次函數的壓軸題主要考向1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問題（線段、周長、面積）3．熟練掌握各種常見有關二次函數的題型和應對策略1）線段最值（周長）問題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題4）線段差——三角形三邊關系或函數5）相似三角形存在性問題——根據相等角分類討論6）（特殊）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法限時檢測限時檢測1．（2023·廣東茂名·統考一模）將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東深圳·統考一模）把二次函數先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，新二次函數表達式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．3．（2023·廣東肇慶·統考一模）對于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點B．拋物線向左平移個單位長度后得到C．拋物線與軸的交點是D．當時，隨的增大而增大4．（2023·廣東廣州·統考一模）二次函數的圖象可能是（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·統考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價元，銷售期間發(fā)現，當銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．6．（2023·廣東深圳·統考一模）二次函數的圖像如圖所示，其對稱軸是直線x＝1，則函數y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．個交點為，與y軸的交點在和之間．下列結論中：①；②；③（m為任意實數）；④正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·廣東中山·統考一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，其圖象如圖所示，下列結論：①；②方程的兩個根為和3；③；④當時，x的取值范圍是；⑤當時，y隨x的增大而增大．其中錯誤的有（）個A．4 B．3 C．2 D．19．（2023·廣東佛山·統考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點，連接、，點，點分別是、上的點，且．設的面積為，的長為，則關于的函數圖象大致是（

）A． B． C． D．10．（2023·安徽黃山·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．11．（2023·廣東肇慶·統考一模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．12．（2023·廣東茂名·統考一模）如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點．若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．13．（2023·廣東深圳·統考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標；(3)拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．14．（2023·江蘇常州·常州市校考模擬預測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達式；(2)過D作交于點E，連接BE，當時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標，若不存在，請簡要說明理由.15．（2023·黑龍江哈爾濱·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點、（左右），與軸交于點，直線經過點、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點在直線上方的拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，點在點右側軸上，連接，，，過點作軸交拋物線于點，連接，點在軸負半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式16．（2023·山東濟南·統考一模）已知拋物線過兩點，交軸于點.(1)求拋物線的表達式和對稱軸；(2)如圖1，若點是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點落在該拋物線的對稱軸上時，求點的坐標；(3)如圖2，點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線線段于點點，過點作軸，求的最大值.17．（2023·廣東佛山·統考一模）如圖1，已知二次函數的圖象經過，，三點．(1)求這個二次函數的解析式；(2)點是該二次函數圖象上的一點，且滿足（是坐標原點），求點的坐標；(3)如圖2，點是直線上方拋物線上的一點，過點作于點，作軸交于點，求周長的最大值．真題演練1．(2023·江蘇無錫）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進行適當的平移，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；(2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．4．(2023·四川宜賓）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與y軸交于點，其頂點為點D，連結AC．(1)求這條拋物線所對應的二次函數的表達式及頂點D的坐標；(2)在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；(3)在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．重難點02二次函數綜合命題趨勢命題趨勢二次函數是初三學習的重點內容之一，也是中考數學中的熱門考點。其主要的考點包括二次函數的概念，解析式的求解，函數的圖像與性質，二次函數與一元二次方程、不等式的應用以及二次函數的實際應用。這些考點在復習的過程當中，其關聯性是非常重要的一個部分，不能說某一部分的考點在考試中只是考這個部分。隨著這個中考難度的“逐漸下降”，那么更加注重各知識點之間的關聯性，所以二次函數的各個考點在實際的解題或者是應用當中，除了針對每一個考點的應用能夠熟練使用以外，還要加強各知識點之間的聯系。熱點解讀熱點解讀二次函數是中考必考題型，常常以壓軸題的形式出現。也正是這些二次函數的壓軸題，難度之大，讓不少考生叫苦連天。加上二次函數本身就比較抽象，這就導致了題目得分率非常低．其實我們只要能熟練掌握二次函數的基本知識，同時掌握一些常見的題型，提高對于二次函數的得分，不是什么難事，多多練習，多多總結．滿分技巧滿分技巧1．通過思維導圖整體把握二次函數所有考點1）圖象與性質：（函數的三種表達式、開口問題、頂點坐標、對稱軸、最值、增減性、圖象的平移等）；2）與一元二次方程（不等式）結合（交點坐標與方程的根的關系）；3）與實際生活結合（用二次函數解決生活中的最值（范圍）問題）2.二次函數的壓軸題主要考向1）存在性問題（全等與相似、特殊三角形（直角、等腰、等邊）、平行四邊形（含特殊平行四邊形）、幾何變換等）；2）最值問題（線段、周長、面積）3．熟練掌握各種常見有關二次函數的題型和應對策略1）線段最值（周長）問題——斜化直策略2）三角形或多邊形面積問題——鉛垂高、水平寬策略3）線段和最小值問題——胡不歸+阿氏圓策略問題4）線段差——三角形三邊關系或函數5）相似三角形存在性問題——根據相等角分類討論6）（特殊）平行四邊形存在性問題——中點公式+平移法限時檢測限時檢測1．（2023·廣東茂名·統考一模）將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，得到拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．答案:B分析：根據二次函數的平移規(guī)律“左加右減（橫軸），上加下減（縱軸）”，即可求解．【詳解】解：拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位得，，故選：．2．（2023·廣東深圳·統考一模）把二次函數先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，新二次函數表達式變?yōu)椋?/p>

）A． B． C． D．答案:C分析：將原二次函數整理為用頂點式表示的形式，根據二次函數的平移可得新拋物線的表達式．【詳解】解：，先向右平移2個單位長度得到的函數表達式為：，即，再向上平移1個單位長度后，所得圖象的函數表達式為，故選：C．3．（2023·廣東肇慶·統考一模）對于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點B．拋物線向左平移個單位長度后得到C．拋物線與軸的交點是D．當時，隨的增大而增大答案:C分析：根據二次函數解析式結合二次函數的性質以及平移的規(guī)律，即可得出結論．【詳解】A、，拋物線的頂點，故錯誤，不符合題意，B、拋物線向左平移個單位長度后得到，，故錯誤，不符合題意，C、當時，，拋物線與軸的交點是，故正確，符合題意，D、，開口向下，對稱軸為直線，當時，隨的增大而減小，故錯誤，不符合題意，故選：C．4．（2023·廣東廣州·統考一模）二次函數的圖象可能是（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據當時，即拋物線經過即可判斷．【詳解】當時，，∴拋物線經過∴只有B選項符合故選：B．5．（2023·廣東佛山·統考一模）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀念品進價元，銷售期間發(fā)現，當銷售單價定為元時，每天可售出個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：根據“銷售單價每上漲1元，每天銷量減少個”結合“當銷售單價定為元時，每天可售出個”；即可表示出與之間的函數關系式，再表示出每天銷售紀念品獲得的利潤等于單件利潤乘以銷量即可求解．【詳解】解：由題可得：，．故選：D．6．（2023·廣東深圳·統考一模）二次函數的圖像如圖所示，其對稱軸是直線x＝1，則函數y＝ax＋b和y＝的大致圖像是（

）A． B．C． D．答案:A分析：先由的開口向下，對稱軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，判斷的符號，再確定的圖像分布，從而可得答案．【詳解】解：的開口向下，對稱軸是直線x＝1，與軸交于正半軸，＜＞＞即的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，選項：的圖像過一，二，四象限，且過的圖像在一，三象限，符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，三象限，但不過過的圖像在一，三象限，不符合題意，選項：的圖像過一，二，四象限，過的圖像在二，四象限，不符合題意，故選：7．（2023·廣東佛山·統考一模）已知拋物線的頂點為，其中，與x軸的一個交點為，與y軸的交點在和之間．下列結論中：①；②；③（m為任意實數）；④正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：拋物線的頂點坐標為，，與x軸有交點，說明拋物線開口向下，則，當時，而拋物線與y軸的交點在和之間，則，所以，故①是錯誤的；拋物線的頂點坐標為，所以拋物線關于對稱軸對稱，拋物線上的點也關于對稱軸對稱，則拋物線與x軸的另一個交點為，將此交點代入解析式，故②正確；當時y取最大值，所以正確；，而，所以，而拋物線與y軸的交點在和之間，，所以，所以正確．【詳解】解：拋物線的頂點坐標為，，拋物線開口向下，則，當時，而拋物線與y軸的交點在和之間，，故①是錯誤的；拋物線的頂點坐標為，它的對稱軸，即，拋物線與x軸的一個交點為，拋物線與x軸的另一個交點為，即時，，，故②是正確的；當時，y取最大值，，，故③是正確的；前面求出拋物線與x軸的另一個交點為，即時，，，，，，又拋物線與y軸的交點在和之間，故④是正確的．綜合以上②③④是正確的，故選C．8．（2023·廣東中山·統考一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點坐標為，其圖象如圖所示，下列結論：①；②方程的兩個根為和3；③；④當時，x的取值范圍是；⑤當時，y隨x的增大而增大．其中錯誤的有（）個A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：利用拋物線與軸的交點個數可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與軸的一個交點坐標為，則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到，然后根據時函數值為0可得到，則可對③進行判斷；根據拋物線在軸上方所對應的自變量的范圍可對④進行判斷；根據二次函數的性質對⑤進行判斷．【詳解】解：拋物線與軸有2個交點，，，故①錯誤；拋物線的對稱軸為直線，而點關于直線的對稱點的坐標為，方程的兩個根是，，故②正確；，即，而時，，即，，即，故③錯誤；拋物線與軸的兩點坐標為，，當時，的取值范圍是，故④錯誤；拋物線的對稱軸為直線，當時，隨增大而增大，當時，隨增大而增大，故⑤正確；所以其中結論正確有①③④，共3個．故選：B．9．（2023·廣東佛山·統考一模）如圖，在矩形中，，，為的中點，連接、，點，點分別是、上的點，且．設的面積為，的長為，則關于的函數圖象大致是（

）A． B． C． D．答案:A分析：證明為等邊三角形，再利用，即可求解．【詳解】解：，為的中點，則，在中，，，則，同理可得，故為等邊三角形，則，，則，在中，過點作于點，則，則，該函數為開口向下的拋物線，時，的最大值為，故選：A．10．（2023·安徽黃山·校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．答案:A分析：作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進而得出，進一步得出結果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對稱軸為直線，∴，當時，，∴，當時，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當點P在時，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．11．（2023·廣東肇慶·統考一模）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點為直線上方拋物線上的動點，連接，直線與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線的解析式；（3）求的面積最大值．答案:(1)拋物線的解析式為(2)(3)的面積最大值為分析：（1）把點，代入拋物線，利用待定系數法即可求解；（2）根據拋物線的解析式，令，可求出拋物線與軸的交點，根據待定系數法即可求解；（3）如圖所示，過點作軸交于，設，則，用含的式子表示的面積，根據拋物線的頂點式即可求出最大值．【詳解】（1）解：將，代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：令，則，解得，，∴，且，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．（3）解：如圖所示，過點作軸交于，設，則，∴，∴，∴當時，的面積有最大值，最大值為，∴的面積最大值為．12．（2023·廣東茂名·統考一模）如圖，直線與x軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點．（1）求的值和拋物線的解析式．（2）為軸上一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及拋物線分別交于點．若以為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．答案:(1)，拋物線的解析式為(2)的值為或分析：（1）利用待定系數法將代入即可得到函數解析式；（2）根據平行四邊形的性質即可得到，分兩種情況得到的值．【詳解】（1）解：把代入，得，∴解得，∴直線的解析式為，∴，把分別代入，解得，∴拋物線的解析式為，（2）解：∵，∴P，N，有兩種情況：①當點在點的上方時，，∵四邊形為平行四邊形，∴，即，解得，②當點在點的下方時，，同理，，解得，綜上所述，的值為或．13．（2023·廣東深圳·統考一模）如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與軸交于點．

圖1

備用圖(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，是上方拋物線上一點，連接交線段于點，若，求點的坐標；(3)拋物線上是否存在點使得，如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．答案:(1)(2)點的坐標為或(3)存在，點的坐標為或分析：（1）運用待定系數法，將，代入，即可求得拋物線的解析式；（2）先求出直線的解析式，設，過點作軸于點，過點作軸于點，易得，根據相似三角形的性質用含的式子表示點的坐標，再由點也在直線上，得到關于的方程，解方程即可；（3）分情況討論：①當點是拋物線上與點對稱的點時，②當時，分別求得點的坐標．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：拋物線與軸交于點，，設直線的解析式為，把，代入，得，解得，直線的解析式為，設，過點作軸于點，過點作軸于點，，，，，，即，，，，又點在直線上，，解得或，當時，，即點的坐標為，當時，，即點的坐標為；（3）解：存在點使得，如圖，①當點是拋物線上與點對稱的點時，則有，點關于對稱軸的對稱點坐標為，；②當時，則有，直線的解析式，直線的解析式一次項系數為，設直線的解析式為，把代入，得，解得，直線的解析式為，聯立，解得，（舍去），，綜上，存在點使得，點的坐標為或．14．（2023·江蘇常州·常州市?？寄M預測）如圖1，拋物線的圖像與x軸交于兩點.過點動點D從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向運動，設運動的時間為t秒.(1)求拋物線的表達式；(2)過D作交于點E，連接BE，當時，求的面積；(3)如圖2，點在拋物線上.當時，連接、、，在拋物線上是否存在點P，使得若存在，直接寫出此時直線與x軸的交點Q的坐標，若不存在，請簡要說明理由.答案:(1)(2)(3)或分析：（1）用待定系數法即可得出答案；（2）先求出直線的解析式，然后得出，再利用即可得出答案；（3）當在右側和在左側兩種情況加以分析即可；【詳解】（1）解：（1）將，代入得，解得：∴（2）∵，設直線的解析式為：∴，解得：∴直線AC的解析式為：當時，，則當時，當，∴∵∴∴∴（3）當在右側時，過C作軸于H，如圖：∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即平分，∴，∵當時，則∴∴∴此時直線與x軸的交點Q的坐標為②當在左側時，作Q關于直線的對稱點M，作直線交拋物線于P，由對稱性知此時，直線與x軸交點Q'是滿足條件的點，如圖：設，∵，∴∴或∴由，得直線解析式為令得，則，∴∴直線與x軸的交點Q的坐標為或15．（2023·黑龍江哈爾濱·統考一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點、（左右），與軸交于點，直線經過點、，．(1)求拋物線的解析式；(2)點在直線上方的拋物線上，過點作軸的垂線，垂足為，交于點，，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，點在點右側軸上，連接，，，過點作軸交拋物線于點，連接，點在軸負半軸上，連接，若，連接，求直線的解析式答案:(1)(2)(3)分析：（1）先求出點A，B，C的坐標，再代入，即可求解；（2）設點，可得，再證得，可得，從而得到，再由，得到關于t的方程，即可求解；（3）根據，證明，設點G的橫坐標為m，則，再由，可得，從而得到，進而得到點，過點P作交軸于點T，可得到，過點T作交于點N，交于點M，證明，可得，設，可得，從而得到，進而得到，即可求出直線的解析式．【詳解】（1）解：∵直線經過點B、C，當時，，∴，∴，∵，∴．當時，，∴，將點A、B、C分別代入得：，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點D在拋物線上，∴設點，∴，∵，，∴，

∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，解得(舍去)，，當時，，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，設點G的橫坐標為m，則，∴，∴，解得，∴，∴，∴，

∵軸，∴點P的橫坐標為4，對于，當時，，∴點，過點P作交軸于點T，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，過點T作交于點N，交于點M，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∵，設，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．16．（2023·山東濟南·統考一模）已知拋物線過兩點，交軸于點.(1)求拋物線的表達式和對稱軸；(2)如圖1，若點是線段上的一動點，連接，將沿直線翻折，得到，當點落在該拋物線的對稱軸上時，求點的坐標；(3)如圖2，點在直線上方的拋物線上，過點作直線的垂線，分別交直線線段于點點，過點作軸，求的最大值.答案】(1)拋物線的表達式為：，對稱軸為；(2)點的坐標為；(3)當時，取得最大值，最大值是分析：（1）利用待定系數法即可得到拋物線的函數解析式；（2）利用折疊的性質得到邊相等和角相等，再利用正切的定義即可得到正確的結果；（3）根據直線和的解析式，得到的函數解析即可得到最大值．【詳解】（1）解：拋物線經過兩點，∴

，解得：，∴拋物線的表達式為：，對稱軸為

；（2）解：如圖1，∵，∴，∵對稱軸是，∴，∴由折疊得，在中，，

∴，∴，在中，，∴，，∴點的坐標為，（3）解：如圖2，過點作交的延長線于點，過點作于點，∵過點∴直線的表達式為，直線的表達式為，設，∵，軸，∴，∵，∴，∴在中，，又∵，

∴得，∴，∵點在線段上，∴，∴當時，取得最大值，最大值是．17．（2023·廣東佛山·統考一模）如圖1，已知二次函數的圖象經過，，三點．(1)求這個二次函數的解析式；(2)點是該二次函數圖象上的一點，且滿足（是坐標原點），求點的坐標；(3)如圖2，點是直線上方拋物線上的一點，過點作于點，作軸交于點，求周長的最大值．答案:(1)(2)或(3)分析：（1）由、、三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）當點在軸上方時，則可知當時，滿足條件，由對稱性可求得點坐標；當點在軸下方時，可證得，利用的解析式可求得直線的解析式，再聯立直線和拋物線的解析式可求得點坐標；（3）首先根據表示出的周長，判斷出當最大時，的周長最大，求出直線的解析式，設，，利用二次函數的最值求出的最大值，再分別求出，，可得結果．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得：，拋物線解析式為；（2）當點在軸上方時，過作交拋物線于點，如圖1，、關于對稱軸對稱，、關于對稱軸對稱，四邊形為等腰梯形，，即點滿足條件，；當點在軸下方時，，，，可設直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，可設直線解析式為，把代入可求得，直線解析式為，聯立直線和拋物線解析式可得，解得或，；綜上可知滿足條件的點的坐標為或；（3）的周長，是定值，當最大時，的周長最大，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為，設，，，當時，最大值為2，，，，，，軸，，，，的周長最大值為．真題演練1．(2023·江蘇無錫）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．答案:(1)(2)1(3)，，分析：（1）二次函數與y軸交于點，判斷，根據，即二次函數對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數的表達式；（2）證明，得到，即，設，點D在第一象限，根據點的坐標寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進一步得出tan∠CDA的值；（3）根據題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質，求出對應點C的坐標即可。(1)解：∵二次函數與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數對稱軸為，∴，∴，∴二次函數的表達式為．(2)解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當時，，∴，，∴，∵在中，∴(3)解：存在，如圖，（2）圖中關于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標為，∴此時，點C的坐標為，如圖，當點C、D關于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標為，當點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設點C的坐標為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標為，綜上：點C的坐標為，，．2．(2023·湖北恩施）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與y軸交于點．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖，將拋物線向左平移1個單位長度，記平移后的拋物線頂點為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．判斷以B、C、Q三點為頂點的三角形是否為直角三角形，并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點（點N在點M的右側），請?zhí)骄吭趚軸上是否存在點T，使得以B、N、T三點為頂點的三角形與相似，若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．(4)若將拋物線進行適當的平移，當平移后的拋物線與直線BC最多只有一個公共點時，請直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時拋物線的頂點坐標．答案:(1)(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由見解析(3)存在，或，(4)最短距離為，平移后的頂點坐標為分析：（1）待定系數法求二次函數解析式；（2）分別求得B、C、Q的坐標，勾股定理的逆定理驗證即可求解；（3）由，故分兩種情況討論，根據相似三角形的性質與判定即可求解；（4）如圖，作且與拋物線只有1個交點，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于，進而求得直線與的距離，即為所求最短距離，進而求得平移方式，將頂點坐標平移即可求解．(1)解：∵拋物線與y軸交于點∴拋物線解析式為(2)以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：的頂點坐標為依題意得，平移后的拋物線解析式為令，解得令，則，即以B、C、Q三點為頂點的三角形是直角三角形(3)存在，或，理由如下，，，是等腰直角三角形設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，聯立解得，，，是等腰直角三角形，設直線的解析式為,直線的解析式為當時，設的解析式為，由NT過點則解得的解析式為，令解得，②當時，則即解得綜上所述，或(4)如圖，作，交軸于點，過點作于點，則是等腰直角三角形，作于直線的解析式為設與平行的且與只有一個公共點的直線解析式為則整理得：則解得直線的解析式為，即拋物線平移的最短距離為，方向為方向∴把點P先向右平移EF的長度，再向下平移FC的長度即得到平移后的坐標平移后的頂點坐標為，即3．(2023·山西）綜合與探究如圖，二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m．過點P作直線軸于點D，作直線BC交PD于點E(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；(2)當是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；(3)連接AC，過點P作直線，交y軸于點F，連接DF．試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．答案:(1)，點C的坐標為；(2)(3)存在；m的值為4或解析：分析：（1）令中y和x分別為0，即可求出A，B，C三點的坐標，利用待