第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)綜合能力測試-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練（解析版）

第第頁第6章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)綜合能力測試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（，）恒過定點，則函數(shù)的圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴恒過定點，∴，，∴，其圖象不經過第四象限，故選：D.2．已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸沒有公共點，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因為為冪函數(shù)，所以，解得，或，又的圖象與坐標軸無公共點，故，所以，故，所以.故選:A.3．若為偶函數(shù)，則（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】由，得或，由是偶函數(shù)，，得，即，即，則，由于不恒為0，所以，得，故選：D4．設，，，則、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，，因此，.故選：B.5．已知函數(shù)在定義域上是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，單調遞增且，所以當時，也單調遞增，則解得，所以.故選：B.6．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調遞增.若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以可化為因為在區(qū)間單調遞增，所以，所以，所以，因為，當且僅當，即時取等號，所以，解得，即的取值范圍是，故選：A7．函數(shù)的單調遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得，設，即求函數(shù)在中的減區(qū)間，即．故選：C．8．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由可得：，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，又時，在上單調遞增，則在上單調遞減，若，則，即，所以或，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．設指數(shù)函數(shù)，且，則下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，，所以，故A正確；對于B，，，所以，故B正確；對于C，，，所以，故C正確；對于D，，，所以，故D錯誤；故選：ABC．10．下列命題正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)在上單調遞增C．函數(shù)在區(qū)間上單調遞減D．函數(shù)與的圖像關于直線對稱【答案】ABD【解析】對于A，定義域為,關于原點對稱，又由于，所以為偶函數(shù)，A正確，對于B，，由于函數(shù)在單調遞增，所以在單調遞減，因此在單調遞增，B正確，對于C，由于函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當時，在區(qū)間上單調遞增，故C錯誤，對于D，由于函數(shù)與互為反函數(shù)，所以兩者圖象關于，D正確，故選：ABD11．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中錯誤的是（

）A．在上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)C．的值域是 D．的值域是【答案】BC【解析】根據題意知，，在定義域上單調遞增，且，在上單調遞增，∴在上是增函數(shù)，故A正確；∵，，∴，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故B錯誤；∵，∴，，，∴，即，∴，故C錯誤，D正確.故選：BC12．設都是定義域為的單調函數(shù)，且對于任意，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因為是上的單調函數(shù)，且對于任意，設，其中為常數(shù)，即，；又因為，所以，可得，即，解得，所以；由可得，即；所以，，即，所以A錯誤，B正確；由可知，恒成立；即C正確；由函數(shù)的值域為可知，不一定成立，故D錯誤．故選：BC．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)滿足：對于且，①，②.試寫出滿足以上兩個條件的一個函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】因為對于，都有，所以對應的函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)（且），因為對于且，有，所以此函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以滿足以上兩個條件的一個函數(shù)為，故答案為：（答案不唯一）14．設函數(shù)（為常數(shù)）．若為奇函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意函數(shù)為奇函數(shù)，所以有，解得，當時，有，顯然此時的定義域為關于原點對稱，且有成立，故滿足題意.故答案為：.15．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由于在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：16．已知函數(shù)，若，則.【答案】6【解析】函數(shù)的定義域為，又因為，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知函數(shù).(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【解析】（1），故，，所以，解得；（2）令，當時，，故，由于在上單調遞增，故，由復合函數(shù)單調性可知，在上單調遞增，故.18．（12分）已知函數(shù)，且.(1)求a及的值；(2)判斷的奇偶性并證明.【解析】（1）由已知可得，，解得，，所以，，所以，.（2）為奇函數(shù)由（1）知，，定義域為關于原點對稱，又，所以，為奇函數(shù).19．（12分）已知冪函數(shù)在上單調遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為冪函數(shù)在上單調遞減，則，解得，故.（2）由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.20．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）是奇函數(shù)，經檢驗當時，是奇函數(shù)符合題意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因為，故，由對勾函數(shù)性質可得在上單調遞減，.21．（12分）已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.(1)判斷函數(shù)的單調性，并用單調性的定義證明；(2)求函數(shù)，的最小值.【解析】（1）定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，則，∵①，∴，即②，聯(lián)立①②解得:，在上單調遞增，證明如下:設，且，，，，，即，在單調遞增.（2），令，可知時單調遞增，則，，令，當，即時，在時單調遞增，則；當，即時，在時單調遞減，在時單調遞增，則；當，即時，在時單調遞減，則；綜上，當時，的最小值為0；當時，的最小值為；當時，的最小值為.22．（12分）已知函數(shù)且．(1)當時，求的單調增區(qū)間；(2)是否存在，，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由．【解析】（1）時，，由解得或，所以的定義域為，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，在上單調遞增