第6章 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)章末題型歸納總結(jié) -蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練（解析版）

第第頁第6章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：函數(shù)的圖象經(jīng)典題型二：指對冪比較大小經(jīng)典題型三：指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題經(jīng)典題型四：對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題經(jīng)典題型五：冪函數(shù)型性質(zhì)的綜合問題模塊三：數(shù)學(xué)思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：函數(shù)的圖象例1．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校校考期末）函數(shù)的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除選項(xiàng)B；又當(dāng)時，，所以，故排除CD.故選：A例2．（2023·陜西西安·高一長安一中校考期末）冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時，在區(qū)間上它們的圖像是一組美麗的曲線（如圖），設(shè)點(diǎn)連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)的圖像三等分，即BM=MN=NA,那么（

）A． B．.2 C．1 D．【答案】C【解析】因?yàn)镸、N為線段AB的三等分點(diǎn)，易得，分別帶入得，解得，所以.故選：C例3．（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一?？计谀┖瘮?shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋灰驗(yàn)?，所以；所以為定義域上的偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，可排除選項(xiàng)A，C；當(dāng)時,,排除選項(xiàng)B．故選：D．例4．（2023·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分離萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像的特征，如：函數(shù)的大致圖像是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵的定義域?yàn)椋?，∴為奇函?shù)，排除B、D；又當(dāng)時，，故A滿足，C排除.故選：A.例5．（2023·江西九江·高一?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)與的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，AC選項(xiàng)錯誤，的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，B選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確，故選：D.例6．（2023·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，函數(shù)，則與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，為增函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，A選項(xiàng)錯誤，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時，為減函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，B選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)錯誤．故選：C例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下面給出4個冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)大致對應(yīng)的是（

）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】A【解析】函數(shù)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，該函數(shù)圖像應(yīng)與①對應(yīng)；函數(shù)，且該函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，該函數(shù)圖像應(yīng)與②對應(yīng)；的定義域、值域都是，該函數(shù)圖像應(yīng)與③對應(yīng)；，其圖像應(yīng)與④對應(yīng)．故選：A．例8．（2023·湖北黃石·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)（且）的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)定義域?yàn)椋?，函?shù)圖像過原點(diǎn)，AD選項(xiàng)不符合，，B選項(xiàng)不符合.故選：C.例9．（2023·江蘇無錫·高一江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，當(dāng)，，所以函數(shù)的圖像大致是選項(xiàng)D，故選：D經(jīng)典題型二：指對冪比較大小例10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，即.故選：D.例11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即.故選：A.例12．（2023·云南曲靖·高一?？计谥校┰O(shè)，則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，∴，∵冪函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴，∵對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，∴，即，∴.故選：A.例13．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）已知函數(shù)，其中，，，則判斷a，b，c的大小是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】；，，，，則又在R上單調(diào)遞增，則，即故選：B例14．（2023·廣東惠州·高一惠州市惠陽高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎?，，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，由題意可知，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增，且，所以，即，所以.故選:B.例15．（2023·貴州遵義·高一遵義航天高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，所以．故選：C．例16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）三個數(shù)的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由于，所以，所以，即，而，，所以，所以，即，所以.故選：D．例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則，，的大小排序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：設(shè).則，，，又，所以，可得.方法二：由.得，即，可得.故選：D例18．（2023·全國·高一期末）令，，，則三個數(shù)、、的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，，判斷可得選項(xiàng).由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象可知：，，，所以，故選：D．經(jīng)典題型三：指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例19．（2023·山東濰坊·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)求函數(shù)的值域.【解析】（1）因?yàn)?，若，則，令，則方程為，解得或（舍去），所以，解得.（2）因?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時，取得最小值，故的值域.例20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù).(1)若，求證：函數(shù)是奇函數(shù)；(2)若，請判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.【解析】（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?，由于，所以函?shù)是奇函數(shù).（2）當(dāng)時，函數(shù)為上的增函數(shù).當(dāng)時，，任取，且，則，由，得，則，即，所以函數(shù)為上的增函數(shù).例21．（2023·安徽淮北·高一淮北市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)求不等式的解集.【解析】（1）∵是奇函數(shù)，定義域?yàn)?，∴，則，，所以，符合為奇函數(shù)，證明：任取，且，則，由，可得，則，，∴，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù).（2）∵函數(shù)在上是奇函數(shù)∴又函數(shù)在上是增函數(shù)∴令為，則解得即∴不等式的解集為例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求的值；(2)在（1）的條件下，求的值域．【解析】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以.（2）,令，則，因?yàn)椋?，所以的值域．?3．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域是.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解關(guān)于m的不等式.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，因此在上恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）由（1）知，則指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即，解得或，所以原不等式的解集為.例24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）在上最大值和最小值的和為，令.(1)求實(shí)數(shù)a的值，并探究是否為定值，若是定值，寫出證明過程；若不是定值，請說明理由；(2)解不等式：.【解析】（1）當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)（且）在上最大值和最小值的和為，所以，所以或，因?yàn)榇藭r，所以或，舍去，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)（且）在上最大值和最小值的和為，所以，所以或，因?yàn)榇藭r，所以，綜上所述，，所以，此時是定值，證明如下：所以，所以，所以為定值.（2）由（1）知，且，所以，所以即，所以，即，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以不等式的解集為.例25．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式；(3)是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（1）是定義在R上的奇函數(shù)，，從而得出，當(dāng)時，，；（2）是R上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)任意，且，，，，，，，是在上是單調(diào)增函數(shù).，又是定義在R上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，，故解集為：；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使之滿足題意，由（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，n為方程的兩個根，即方程有兩個不等的實(shí)根，令，即方程有兩個不等的正根，設(shè)為，，于是有且且，解得：.存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)在上的取值范圍是，并且實(shí)數(shù)k的取值范圍是.例26．（2023·全國·高一期中）已知二次函數(shù)，關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式的解集為(1)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式：(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的函數(shù)的最小值為？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）由不等式的解集為知關(guān)于的方程的兩根為和，且由根與系數(shù)關(guān)系，得，所以原不等式化為，①當(dāng)時，原不等式化為，且，解得或；②當(dāng)時，原不等式化為，解得且；③④當(dāng)時，原不等式化為，且，解得或；綜上所述當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為或．（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由（1）得：，，，令，，則對稱軸為，又，，，函數(shù)在,遞減，時，最小為：，解得：，例27．（2023·四川達(dá)州·高一四川省萬源中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)且在上的最大值與最小值之差為.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)，若，求不等式的解集.【解析】（1）①當(dāng)時，上單調(diào)遞增，則，所以，解得或（舍去）；②當(dāng)時，上單調(diào)遞減則，所以，解得或（舍去）；綜上所述：或.（2）因?yàn)?，由?）可知：，則，可知：的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，則為奇函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，綜上所述：在R上是奇函數(shù)且為增函數(shù)，因?yàn)?，可得，則，解得或，所以不等式的解集為.例28．（2023·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．(1)指出單調(diào)性與的奇偶性，并用定義證明的奇偶性．(2)是否存在實(shí)數(shù)使不等式對恒成立，若存在求出的范圍，若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵，函數(shù)的定義域?yàn)?，為增函?shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，∴為上的增函數(shù).∵，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴，∴是奇函數(shù).∵為奇函數(shù)，∴也是奇函數(shù).（2），即，即，即，即，即，∵是奇函數(shù)，∴，又∵為上的增函數(shù)，∴，∴，∵，∴，令，問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，所以，解得，故存在實(shí)數(shù)使不等式對恒成立.經(jīng)典題型四：對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題例29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)且，且函數(shù)的圖像過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的圖像過點(diǎn),且（2），當(dāng)時,在上為增函數(shù),或.實(shí)數(shù)的取值范圍為或.例30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù).(1)求a，b的值；(2)判斷的單調(diào)性，并加以證明；(3)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）∵是偶函數(shù)，∴,,,又∵是奇函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，時符合題意.（2）由題可知，在上單調(diào)遞增，證明：設(shè)，且，，，，，又，，即，在上單調(diào)遞增.（3）由題（2）可知單調(diào)遞增，則不等式在上恒成立，在上恒成立在上恒成立，∴，∵在上單調(diào)遞增,∴，∴.例31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由是奇函數(shù)，得，即，所以，整理得，對于定義域內(nèi)的每一個恒成立，所以，解得．當(dāng)時，為奇函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，，不存在．綜上，.（2），其中，易知在上單調(diào)遞減，所以．設(shè)，則，由，得在上恒成立，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，所以，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．例32．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．(1)求的值；(2)若函數(shù)，求的最大值．【解析】（1）易知，且恒成立，即恒成立，化簡得：對任意恒成立，所以，解得．（2）由（1）知：，∴，令，轉(zhuǎn)化為求的最大值；又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向上，對稱軸，所以分兩種討論，①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，綜上所求．例33．（2023·甘肅·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求函數(shù)的定義域；(2)若對于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由解得，.所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由（1）知則，所以不等式可轉(zhuǎn)化為.設(shè)，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.且，所以的最大值為.對于內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，所以.例34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為，且，(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知，若方程的解分別為?.①當(dāng)時，求的值;②方程的解分別為?，求的最大值.【解析】（1）由，所以；所以；（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上有解即在區(qū)間上有解即在區(qū)間上有解設(shè)，由，則所以在區(qū)間上有解當(dāng)時，所以；（3）①當(dāng)時，方程，即為方程，解得或，又，所以；②由，得或，因?yàn)榉匠痰慕夥謩e為?，所以，，所以，由，得或，因?yàn)榉匠痰慕夥謩e為?，所以或，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，有最大值.所以，則，所以的最大值為.例35．（2023·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）（1）已知函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；（2）若；①化簡；；②對于任意都有，求k的取值范圍.【解析】（1）方法一：由已知可得，函數(shù)的定義域，∵是奇函數(shù)，∴，又∵，，∴∴，即.方法二：由已知可得，函數(shù)的定義域，∵是奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，即，∴，即，當(dāng)時，是奇函數(shù).證明如下：∵，∴，∴是奇函數(shù).（2）①∵，∴，.②由得.令，∵，∴，∴，對一切恒成立，當(dāng)時，恒成立；即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴的最小值為，∴，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.例36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，且，．(1)求的值及的定義城；(2)判斷的奇偶性，并給出證明；(3)求函數(shù)在上的值域．【解析】（1）由可得，故函數(shù)的定義域，因?yàn)?，由題意，故（2）因?yàn)椋侄x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，（3）由（1）可知，，，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋舸嬖?，求a，b的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由，解得的定義域?yàn)?（2）當(dāng)時，，.因?yàn)榈亩x域是，所以，所以，，所以，所以，的值域是.（3）因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?，又，且，由的定義域得，所以.①當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)椋?，所以無解.（或者因?yàn)椋?，所以無解），故此時不存在實(shí)數(shù)a，b滿足題意.②當(dāng)時，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即解得或（舍），.綜上，存在實(shí)數(shù)，.例38．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求a的值；(2)設(shè)，，若對任意的，存在，使得，求m的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，即，所以．（2）因?yàn)閷θ我獾?，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以解得，即m的取值范圍是．經(jīng)典題型五：冪函數(shù)型性質(zhì)的綜合問題例39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求m的值；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增．所以，解得．所以m的值為0.（2）由（1）知，，所以函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)為開口方向向下的拋物線，對稱軸為．所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．例40．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù).(1)求的值；(2)當(dāng)時，記，的值域分別為集合，，設(shè)命題：，命題：，若命題是成立的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意得：，或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.（2）由（1）得，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，∵命題是成立的必要條件，∴，∴，∴，∴的取值范圍是．例41．（2023·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式.【解析】（1）∵為冪函數(shù)∴，得或當(dāng)時，是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，當(dāng)時，是偶函數(shù)，∴.故的解析式.（2）由（1）得，當(dāng)時，對于，則，當(dāng)時，，∴，又∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴即，∴，，∴函數(shù)的解析式例42．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的值域．【解析】（1）依題意，，即，解得或，當(dāng)時，，不是偶函數(shù)，當(dāng)時，，是偶函數(shù)，所以的解析式是．（2）由（1）知，，，設(shè)，則，，因此，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，于是，所以函數(shù)的值域?yàn)?例43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱．

(1)求該冪函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，在如圖的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像；(3)直接寫出函數(shù)的解集．【解析】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時，函數(shù)定義域是，易得是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)，易知是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)不對稱；綜上：冪函數(shù)的解析式是.（2）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，所以是上的偶函?shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，其圖像是反比例函數(shù)在第一象限的圖像，作出函數(shù)在第一象限的圖像，再將其關(guān)于y翻折即可得在定義域上的圖像，如圖，（3）觀察（2）中圖像可得，的解集為.例44．（2023·高一課時練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在區(qū)間上是減函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象；(2)討論函數(shù)（）的奇偶性.【解析】（1）由冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，得，即.又，得.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以是偶函數(shù)，所以是偶數(shù).將分別代入檢驗(yàn)，得，所以.的圖象如下圖所示.（2）把代入的解析式，得，則.所以當(dāng)，時，為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)，時，為奇函數(shù)；當(dāng)，時，為偶函數(shù)；當(dāng)，時，既為奇函數(shù)又為偶函數(shù).例45．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，．(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可知：，解得，于是（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，在定義域上單調(diào)遞減，由，即，于是，解得例46．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào)．(1)試問：函數(shù)是否具有奇偶性？請說明理由；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）由題意，解得或，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但，所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為奇函數(shù)；（2）由及為奇函數(shù)，可得，即，而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，所以或或，解得或．例47．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿足，若不等式恒成立．求的最大值．【解析】（1）為冪函數(shù)，，解得：或；當(dāng)時，，則，即為偶函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)時，，則，即為奇函數(shù)，符合題意；綜上所述：.（2）由（1）得：，即，又，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），.例48．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．(1)求的解析式；(2)若，，求a的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的解析式為．（2）由，可得，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值1．所以a的取值范圍為．例49．（2023·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增，(1)求；(2)當(dāng)滿足時，求實(shí)數(shù)的范圍.【解析】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即，解得或.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.（2）由（1）知，，所以的解析式為，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，且，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的范圍為.模塊三：數(shù)學(xué)思想方法① 分類討論思想例50．（2023·廣西壯族自治區(qū)·其他類型）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】由，，，①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時由題意必有，解得，②當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，此時由題意必有，無解．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為故答案選：例51．（2023·江蘇省蘇州市·單元測試）設(shè)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，則，由題意可得，解得故選例52．（2023·山西省·單元測試）已知且，且在區(qū)間上有恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A． B．C． D．【答案】C

【解析】“在區(qū)間上，恒成立”等價于“在區(qū)間上，”．①當(dāng)時，，即，解得，故；②當(dāng)時，，即，解得，故綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選例53．（2023·全國·其他類型）已知函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)均有成立，且，則當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（

）A． B．C． D．【答案】D

【解析】函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)均有成立，令得，，又，，令得，，即，當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，恒成立，令，，則在上單調(diào)遞增，，要使當(dāng)時，恒成立，則，且有，即，所以故選：例54．（2023·遼寧省撫順市·單元測試）若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A

【解析】①若且時，不等式成立，此時②若，此時不等式組的解為；③若，不等式組無解，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選例55．（2023·河南省·其他類型）已知冪函數(shù)滿足，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】由冪函數(shù)的概念可知，，所以，解得或，當(dāng)時，，則，不滿足題意，當(dāng)時，，則，滿足題意，則，其定義域?yàn)榱?，則，所以，，所以當(dāng)時，取得最小值，故函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x②轉(zhuǎn)化與化歸思想例56．（2023·全國·其他類型）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D

【解析】設(shè)，則，且，由題意，得的值域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：當(dāng)時，，顯然，即選項(xiàng)A錯誤；對于B：當(dāng)時，，顯然，即選項(xiàng)B錯誤；對于C：當(dāng)時，，顯然，即選項(xiàng)C錯誤；對于D：當(dāng)時，則由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當(dāng)或，，當(dāng)時，，即選項(xiàng)D正確．故選：例57．（2023·全國·其他類型）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A

【解析】因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)

在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時，有，因?yàn)?，所以有，由，因?yàn)楹瘮?shù)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)?，所以，因此，故選：A例58．（2023·