高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（知識回扣+熱點突破+能力提升）數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 理 北師大版

第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入【考綱下載】1．理解復(fù)數(shù)的基本概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．2．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算．3．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是a，虛部是b.(2)復(fù)數(shù)的分類eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，b≠0，,非純虛數(shù)a≠0，b≠0.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a、b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．(2)實軸、虛軸在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．(3)復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一對應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一對應(yīng))平面向量.3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則：①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)的加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.1．復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0嗎？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的必要條件，只有當(dāng)a＝0，且b≠0時，a＋bi才為純虛數(shù)．2．z1，z2是復(fù)數(shù)，z1－z2>0，那么z1>z2，這個命題是真命題嗎？提示：假命題．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2無意義，因為虛數(shù)無大小概念．3．若z1，z2∈R，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0，此命題對z1，z2∈C還成立嗎？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i滿足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0.但z1≠0，z2≠0.1．(·湖南高考)復(fù)數(shù)z＝i·(1＋i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選B∵z＝i·(1＋i)＝－1＋i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(－1,1)，位于第二象限．2．復(fù)數(shù)eq\f(5i,1－2i)＝()A．2－iB．1－2iC．－2＋iD．－1＋2i解析：選Ceq\f(5i,1－2i)＝eq\f(5i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(5i＋10i2,1－2i2)＝eq\f(5i－10,5)＝－2＋i.3．(·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝()A．2eq\r(2)B．2C.eq\r(2)D．1解析：選C∵eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝eq\f(21－i,2)＝1－i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋i)))＝|1－i|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).4．已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝________.解析：根據(jù)已知可得eq\f(a＋2i,i)＝b＋i?2－ai＝b＋i?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝－1.))從而a＋b＝1.答案：15．設(shè)a是實數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實數(shù)，則a＝________.解析：eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a－ai,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1＋1－ai,2)為實數(shù)，故1－a＝0，即a＝1.答案：1考點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念[例1](1)(·安徽高考)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為()A．－3B．－1C．1(2)(·山東高考)復(fù)數(shù)z滿足(z－3)(2－i)＝5(i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)為()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i[自主解答](1)∵a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，即a＝3.(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＋3＝eq\f(52＋i,5)＋3＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.[答案](1)D(2)D【互動探究】若將本例(2)中的“z－3”改為“z－i”，則eq\x\to(z)為何值？解：∵(z－i)(2－i)＝5，則z－i＝eq\f(5,2－i)，∴z＝i＋eq\f(5,2－i)＝i＋(2＋i)＝2＋2i，∴eq\x\to(z)＝2－2i.【方法規(guī)律】解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi，則z－eq\x\to(z)為()A．實數(shù)B．純虛數(shù)C．零D．零或純虛數(shù)解析：選D由題意知z－eq\x\to(z)＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，當(dāng)b＝0時，z－eq\x\to(z)為0；當(dāng)b≠0時，z－eq\x\to(z)為純虛數(shù)．2．若復(fù)數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為()A．0B．－1C．1解析：選A∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虛部為0.考點二復(fù)數(shù)的幾何意義[例2](1)(·江西高考)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝1＋2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)(·四川高考)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點是()A．AB．BC．CD．D(3)(·遼寧高考)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,i－1)的模為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．2[自主解答](1)由共軛復(fù)數(shù)的定義知：z＝1－2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(1，－2)，位于第四象限．(2)設(shè)z＝－a＋bi(a>0，b>0)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝－a－bi.它對應(yīng)的點為(－a，－b)，是第三象限的點，即圖中的B點．(3)∵z＝eq\f(1,i－1)＝eq\f(i＋1,i－1i＋1)＝eq\f(i＋1,－1－1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).[答案](1)D(2)B(3)B【方法規(guī)律】判斷復(fù)數(shù)在平面內(nèi)的點的位置的方法首先將復(fù)數(shù)化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根據(jù)實部a和虛部b的符號來確定點所在的象限．1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i、－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：選C由題意得A(6,5)，B(－2,3)，所以AB中點C的坐標(biāo)為(2,4)，所以點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.2．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點分別為A，B，C.O為坐標(biāo)原點，若＝x＋y，則x＋y的值是________．解析：由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，∵＝x＋y，∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝3，,2x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4，))故x＋y＝5.答案：5高頻考點考點三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是每年高考的必考內(nèi)容，題型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題．2．高考對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算的考查主要有以下幾個命題角度：(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．[例3](1)(·浙江高考)已知i是虛數(shù)單位，則(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i(2)(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)eq\f(1＋2i,1－i2)＝()A．－1－eq\f(1,2)iB．－1＋eq\f(1,2)iC．1＋eq\f(1,2)iD．1－eq\f(1,2)i(3)(·廣東高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi的模是()A．2B．3C．4[自主解答](1)(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i.(2)eq\f(1＋2i,1－i2)＝eq\f(1＋2i,－2i)＝eq\f(1＋2ii,－2ii)＝eq\f(－2＋i,2)＝－1＋eq\f(1,2)i.(3)由已知得x＋yi＝eq\f(3＋4i,i)＝4－3i，故|x＋yi|＝eq\r(42＋－32)＝5.[答案](1)C(2)B(3)D復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法．復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法．除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)．a(chǎn)＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．1．若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i解析：選A由題意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.2．i為虛數(shù)單位，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝()A．－iB．－1C．iD．1解析：選Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2014＝i2014＝i2＝－1.3．設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．解析：∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.答案：8———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個分類——復(fù)數(shù)的分類對復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)b＝0時，z為實數(shù)；當(dāng)b≠0時，z為虛數(shù)；當(dāng)a＝0，b≠0時，z為純虛數(shù)．2個技巧——復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法．(2)在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中，加、減、乘運(yùn)算按多項式運(yùn)算法則進(jìn)行，除法則需分母實數(shù)化．3個結(jié)論——復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.前沿?zé)狳c(六)與復(fù)數(shù)有關(guān)的新定義問題1．復(fù)數(shù)的定義及運(yùn)算的考查多以客觀題的方式呈現(xiàn)，也常從與實數(shù)的一些性質(zhì)類比的角度命制新定義問題．2．解決此類問題的關(guān)鍵是抓住新定義或新運(yùn)算的特征，對所給的新信息進(jìn)行分析，并將所給信息與所學(xué)相關(guān)知識結(jié)合．[典例](·南昌模擬)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“>”為全體實數(shù)排了一個“序”．類似地，我們在復(fù)數(shù)集C上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，記為“>”．定義如下：對于任意兩個復(fù)數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2當(dāng)且僅當(dāng)“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2按上述定義的關(guān)系“>”，給出如下四個命題：①若z1>z2，則|z1|>|z2|；②若z1>z2，z2>z3，則z1>z3；③若z1>z2，則對于任意z∈C，z1＋z>z2＋z；④對于復(fù)數(shù)z>0，若z1>z2，則zz1>zz2.其中所有真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3[解題指導(dǎo)]新定義復(fù)數(shù)的“序”：對于任意兩個復(fù)數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，z1>z2當(dāng)且僅當(dāng)“a1>a2”或“a1＝a2且b1＞b2[解析]對于復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i，顯然滿足z1>z2，但|z1|＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(10)，不滿足|z1|>|z2|，故①不正確；設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，由z1>z2，z2>z3可得“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，故②正確；設(shè)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，由z1>z2可得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．顯然有“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，從而z1＋z>z2＋z，故③正確；對于復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2＝1－3i顯然滿足z1>z2，令z＝1＋i，則zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，顯然不滿足zz1>zz2，故④錯誤．綜上②③正確，故選B.[答案]B[名師點評]解決本題的關(guān)鍵有以下兩點：(1)根據(jù)所給的新定義把所給的復(fù)數(shù)大小比較問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部、虛部之間的大小比較問題來處理．(2)能善于利用舉反例的方法解決問題．定義一種運(yùn)算如下：＝x1y2－x2y1，則復(fù)數(shù)z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋i－1,\r(3)－ii))(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是________．解析：由定義可知，z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)＋i－1,\r(3)－ii))＝(eq\r(3)＋i)·i－(－1)·(eq\r(3)－i)＝eq\r(3)i＋i2＋eq\r(3)－i＝(eq\r(3)－1)i＋eq\r(3)－1，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i.答案：(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i[全盤鞏固]1．(·浙江高考)已知i是虛數(shù)單位，則(－1＋i)(2－i)＝()A．－3＋iB．－1＋3iC．－3＋3iD．－1＋i解析：選B(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.2．(·北京高考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(2－i)對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選A∵z＝i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(1,2)，在第一象限．3．若(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi＝()A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：選B由(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，得xi＋1＝y(tǒng)＋2i.∵x，y∈R，∴x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.4．(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B.－eq\f(4,5) C.4 D.eq\f(4,5)解析：選D因為|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以已知等式為(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(53＋4i,25)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(4,5).5．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中假命題的是()A．若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析：選D對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，則|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命題．6．若復(fù)數(shù)z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則eq\f(1,z＋a)的虛部為()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(2,5)D.eq\f(2,5)i解析：選A由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根據(jù)虛部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虛部為－eq\f(2,5).7．若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.解析：由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋i)(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第________象限．解析：由題意得z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，所以其共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第一象限．答案：一9．定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ac,bd))＝ad－bc，復(fù)數(shù)z滿足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(zi,1i))＝1＋i，則復(fù)數(shù)z的模為________．解析：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(zi,1i))＝1＋i，得zi－i＝1＋i?z＝eq\f(1＋2i,i)＝2－i，故|z|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)10．計算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).解：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.11．實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2(1)與復(fù)數(shù)2－12i相等；(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對應(yīng)的點在x軸上方．解：(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12，))解得m＝－1.(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16，))解得m＝1.(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解得m＜－3或m12．復(fù)數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i，若eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，求實數(shù)a的值．解：eq\x\to(z)1＋z2＝eq\f(3,a＋5)＋(a2－10)i＋eq\f(2,1－a)＋(2a－5)i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a＋5)＋\f(2,1－a)))＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝eq\f(a－13,a＋5a－1)＋(a2＋2a－15)i.∵eq\x\to(z)1＋z2是實數(shù)，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.[沖擊名校]1．若sinα＋2icosα＝2i(i為虛數(shù)單