2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第9章　§9.3　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（含解析）

第第頁(yè)§9.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析課標(biāo)要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.3.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析．知識(shí)梳理1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．一元線性回歸模型(1)我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(2)殘差：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差．4．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：

XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．常用結(jié)論1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)散點(diǎn)圖是判斷兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．(√)(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．(×)(3)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．(√)(4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2的觀測(cè)值越?。?×)2．(多選)下列有關(guān)回歸分析的說(shuō)法中正確的是()A．相關(guān)關(guān)系是一種確定性的關(guān)系B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線C．當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)D．兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，|r|越接近于0答案CD解析相關(guān)關(guān)系是不確定的關(guān)系，故A錯(cuò)；經(jīng)驗(yàn)回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過(guò)任一樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故B錯(cuò)；當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，故C對(duì)；兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，|r|越接近于0，故D對(duì)．3．已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x678910y3.54566.5若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則當(dāng)x＝10時(shí)的殘差為________(注：觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差)．答案－0.1解析eq\x\to(x)＝eq\f(6＋7＋8＋9＋10,5)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(3.5＋4＋5＋6＋6.5,5)＝5，則eq\o(a,\s\up6(^))＝5－0.8×8＝－1.4，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x－1.4，當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.6，所以當(dāng)x＝10時(shí)的殘差為6.5－6.6＝－0.1.4．某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如表所示：性別主修專業(yè)合計(jì)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男131023女72027合計(jì)203050為了判斷主修專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因?yàn)棣?>3.841，所以判定主修專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性________0.05(填“大于”或“小于”)．附：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828答案小于解析因?yàn)棣?>3.841＝x0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為主修專業(yè)與性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的可能性小于0.05.題型一成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性例1(1)調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中樣本相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，則下列說(shuō)法正確的是()A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒有相關(guān)性B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈負(fù)相關(guān)C．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的樣本相關(guān)系數(shù)一定是0.8245答案C解析根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，故A錯(cuò)誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)，故B錯(cuò)誤，C正確；由于r＝0.8245是全部數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，故D錯(cuò)誤．(2)(多選)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系，在15歲的男生中隨機(jī)抽測(cè)了10人的身高和體重，數(shù)據(jù)如表所示：編號(hào)12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成如圖所示的散點(diǎn)圖，由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))1x＋eq\o(a,\s\up6(^))1，樣本相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為Req\o\al(2,1)；經(jīng)過(guò)殘差分析確定(168,89)為離群點(diǎn)(對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大)，把它去掉后，再用剩下的9對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))2x＋eq\o(a,\s\up6(^))2，樣本相關(guān)系數(shù)為r2，決定系數(shù)為Req\o\al(2,2).則以下結(jié)論中正確的有()A.eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2B.eq\o(b,\s\up6(^))1>eq\o(b,\s\up6(^))2C．r1<r2D．Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)答案AC解析身高的平均數(shù)為eq\f(165＋168＋170＋172＋173＋174＋175＋177＋179＋182,10)＝173.5，因?yàn)殡x群點(diǎn)(168,89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5，縱坐標(biāo)89相對(duì)過(guò)大，所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，所以eq\o(a,\s\up6(^))1>eq\o(a,\s\up6(^))2，eq\o(b,\s\up6(^))1<eq\o(b,\s\up6(^))2，所以A正確，B錯(cuò)誤；去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，擬合效果會(huì)更好，所以r1<r2，Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，所以C正確，D錯(cuò)誤．思維升華判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：若點(diǎn)的分布從左下角到右上角，則兩個(gè)變量正相關(guān)；若點(diǎn)的分布從左上角到右下角，則兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知兩個(gè)變量x和y之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)如表所示：x34567y3.52.41.1－0.2－1.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則下列說(shuō)法中正確的是()A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0答案B解析由已知數(shù)據(jù)可知y隨著x的增大而減小，則變量x和y之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0.又eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝1.1－5eq\o(b,\s\up6(^))>0.(2)已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y＝b1·ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時(shí)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2則比較r1，r2的大小結(jié)果為()A．r1>r2 B．r1＝r2C．r1<r2 D．不確定答案C解析由散點(diǎn)圖可知，用y＝b1ln(k1x)擬合比用y＝k2x＋b2擬合的程度高，故|r1|>|r2|，又因?yàn)閤，y負(fù)相關(guān)，所以－r1>－r2，即r1<r2.題型二回歸模型命題點(diǎn)1一元線性回歸模型例2.2022年底以來(lái)，發(fā)放消費(fèi)券在全國(guó)多個(gè)地區(qū)流行，此舉助力消費(fèi)復(fù)蘇．記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x(百萬(wàn)元)，帶動(dòng)的消費(fèi)為y(百萬(wàn)元)．下表為某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)：x33455668y1012131819212427(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)①若該省A城市在2023年8月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券，利用(1)中求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？②當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過(guò)10%時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的．若該省A城市8月份發(fā)放額度為10百萬(wàn)元的消費(fèi)券后，經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬(wàn)元，請(qǐng)問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因．說(shuō)明：對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程的樣本相關(guān)系數(shù)r，當(dāng)|r|>0.75時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．參考數(shù)據(jù)：eq\r(35)≈5.9.解(1)因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋4＋5＋5＋6＋6＋8,8)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(10＋12＋13＋18＋19＋21＋24＋27,8)＝18.eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\x\to(y))2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,8,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(69,\r(20)×\r(252))＝eq\f(23,4\r(35))≈0.97.由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．經(jīng)計(jì)算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(69,20)＝3.45，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝18－3.45×5＝0.75，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.45x＋0.75.(2)①當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝3.45×10＋0.75＝35.25，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬(wàn)元．②因?yàn)閑q\f(|30－35.25|,35.25)≈14.89%>10%，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不理想．發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量．(只要寫出一個(gè)原因即可)．命題點(diǎn)2非線性回歸模型例3秋天的第一杯奶茶是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬冢窬谩扒锾斓牡谝槐滩琛表樌认乱幻?，由此而火爆全網(wǎng)．后來(lái)很多人開始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人．某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量(單位：杯)如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼x1234567杯數(shù)y4152226293132(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋dlnx哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留1位小數(shù))，并根據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，試預(yù)測(cè)要到哪一天售出的奶茶才能超過(guò)35杯？參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,7,x)iyieq\i\su(i＝1,7,u)iyieq\i\su(i＝1,7,u)eq\o\al(2,i)e2.122.71.2759235.113.28.2其中ui＝lnxi，eq\x\to(u)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,u)i.參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，知y＝c＋dlnx更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型．(2)令u＝lnx，則y＝c＋du，由已知數(shù)據(jù)得eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,u)iyi－7\x\to(u)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,u)\o\al(2,i)－7\x\to(u)2)＝eq\f(235.1－7×1.2×22.7,13.2－7×1.2×1.2)≈14.2，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(u)≈22.7－14.2×1.2≈5.7，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝5.7＋14.2u，故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝5.7＋14.2lnx，令5.7＋14.2lnx>35，整理得lnx>2.1，即x>e2.1≈8.2，故當(dāng)x＝9時(shí)，即到第9天才能超過(guò)35杯．思維升華求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟跟蹤訓(xùn)練2小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了它們的面積x(單位：m2)和日均客流量y(單位：百人)的數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，并計(jì)算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝2400，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝210，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝42000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝6300.(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益W＝keq\r(y)＋mx(k>0，m>0)，該商場(chǎng)現(xiàn)有60～150m2的商鋪出租，根據(jù)(1)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由已知可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,x)i＝120，eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝10.5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(6300,42000)＝0.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝10.5－0.15×120＝－7.5，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.15x－7.5.(2)根據(jù)題意得Z＝eq\f(W,x)＝eq\f(k\r(0.15x－7.5),x)＋m,60≤x≤150.設(shè)f(x)＝eq\f(0.15x－7.5,x2)＝eq\f(0.15,x)－eq\f(7.5,x2)，令t＝eq\f(1,x)，eq\f(1,150)≤t≤eq\f(1,60)，則f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.00075，當(dāng)t＝0.01，即x＝100時(shí)，f(x)取最大值，又因?yàn)閗>0，m>0，所以此時(shí)Z也取最大值，因此，小李應(yīng)該租100m2的商鋪．題型三列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)例4一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：g)．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5．218.820.221.322.523.225.826．527.530.132.634.334.835.635．635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?．89.211.412.413.215.516.518．018.819.219.820.221.622.823．623.925.128.232.336.5(1)計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；(2)①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組②根據(jù)①中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解(1)試驗(yàn)組樣本的平均數(shù)為eq\f(1,20)×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝eq\f(396,20)＝19.8.(2)①依題意，可知這40只小白鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第20位數(shù)據(jù)為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m＝eq\f(23.2＋23.6,2)＝23.4，故列聯(lián)表為<m≥m對(duì)照組614試驗(yàn)組146②零假設(shè)為H0：小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量無(wú)差異．由①可得χ2＝eq\f(40×6×6－14×142,20×20×20×20)＝6.4>3.841＝x0.05，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.思維升華獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．跟蹤訓(xùn)練3由中央電視臺(tái)綜合頻道(CCTV－1)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國(guó)首檔青年電視公開課．每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予中國(guó)青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時(shí)也在討論青春中國(guó)的社會(huì)問題，受到了青年觀眾的喜愛．為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A，B兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得到如表所示的2×2列聯(lián)表．非常喜歡喜歡合計(jì)A3015B合計(jì)已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來(lái)自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的概率為0.35.(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛程度為“非常喜歡”的A，B地區(qū)的人數(shù)各是多少？(2)完成上述表格，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解(1)由題意得來(lái)自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾為0.35×100＝35(人)，所以應(yīng)從A地區(qū)抽取30×eq\f(20,100)＝6(人)，從B地區(qū)抽取35×eq\f(20,100)＝7(人)．(2)完成表格如表：非常喜歡喜歡合計(jì)A301545B352055合計(jì)6535100零假設(shè)為H0：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無(wú)關(guān)．χ2＝eq\f(100×30×20－35×152,65×35×45×55)＝eq\f(100,1001)≈0.1<3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此認(rèn)為H0成立，即觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無(wú)關(guān)．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．為了解某大學(xué)的學(xué)生是否喜歡體育鍛煉，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：男女合計(jì)喜歡ab73不喜歡c25合計(jì)74則a－b－c等于()A．7B．8C．9D．10答案C解析根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.2．)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,3)x－5上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．－1D．1答案D解析由題意可知，所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,3)x－5上，則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為1.3．根據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝6.147.依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.01＝6.635)，結(jié)論為()A．變量x與y不獨(dú)立B．變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01C．變量x與y獨(dú)立D．變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01答案C解析按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)及比對(duì)的參數(shù)值，當(dāng)χ2＝6.147，我們可以下結(jié)論變量x與y獨(dú)立．故排除A，B；依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我們不能得到“變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01”這個(gè)結(jié)論，故C正確，D錯(cuò)誤．4．通過(guò)隨機(jī)詢問某中學(xué)110名中學(xué)生是否愛好跳繩，得到列聯(lián)表如表所示：跳繩性別合計(jì)男女愛好402060不愛好203050合計(jì)6050110附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828則以下結(jié)論正確的是()A．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)B．根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001C．根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)答案A解析由題意知χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.822，因?yàn)?.822<10.828，所以根據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別無(wú)關(guān)，且這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率超過(guò)0.001，故A正確，B錯(cuò)誤；又因?yàn)?.822>6.635，所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別有關(guān)，或在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，我們認(rèn)為愛好跳繩與性別有關(guān)，故C和D錯(cuò)誤．5．某市物價(jià)局派人對(duì)5個(gè)商場(chǎng)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)x(元)和銷售量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：價(jià)格x(元)9095100105110銷售量y(件)1110865用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.32x＋eq\o(a,\s\up6(^))，樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9923，則下列說(shuō)法不正確的是()A．變量x與y負(fù)相關(guān)且相關(guān)性很強(qiáng)B．eq\o(a,\s\up6(^))＝40C．當(dāng)x＝85時(shí)，y的估計(jì)值為15D．對(duì)應(yīng)點(diǎn)(105,6)的殘差為－0.4答案C解析由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得變量x與y負(fù)相關(guān)，且由樣本相關(guān)系數(shù)|r|＝0.9923，可知相關(guān)性很強(qiáng)，故A正確；由表中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(90＋95＋100＋105＋110)＝100，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，故經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(100,8)，故8＝－0.32×100＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝40，故B正確；當(dāng)x＝85時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.32×85＋40＝12.8，故C錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)(105,6)的殘差為6－(－0.32×105＋40)＝－0.4，故D正確．6．設(shè)兩個(gè)相關(guān)變量x和y分別滿足下表：x12345y128816若相關(guān)變量x和y可擬合為非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2bx＋a，則當(dāng)x＝6時(shí)，y的估計(jì)值為()附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u)；1.155≈2.A．33B．37C．65D．73答案B解析因?yàn)榉蔷€性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2bx＋a，則有l(wèi)og2eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，令log2y＝v，即eq\o(v,\s\up6(^))＝bx＋a，列出相關(guān)變量x，y，v關(guān)系如表：x12345y128816v01334所以eq\i\su(i＝1,5,x)ivi＝0＋2＋9＋12＋20＝43，eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(v)＝eq\f(0＋1＋3＋3＋4,5)＝eq\f(11,5)，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＝55，所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)ivi－5\x\to(x)\x\to(v),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(43－5×3×\f(11,5),55－5×9)＝1，所以a＝eq\x\to(v)－beq\x\to(x)＝eq\f(11,5)－3＝－eq\f(4,5)，所以eq\o(v,\s\up6(^))＝x－eq\f(4,5)，即log2eq\o(y,\s\up6(^))＝x－eq\f(4,5)，即eq\o(y,\s\up6(^))＝SKIPIF1<0，因?yàn)?.155≈2，所以SKIPIF1<0≈1.15，當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝25.2＝25×SKIPIF1<0≈32×1.15＝36.8≈37.二、多項(xiàng)選擇題7．為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，隨機(jī)抽取了300名學(xué)生，對(duì)他們是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查發(fā)現(xiàn)經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，繪制其等高堆積條形圖，如圖所示，則()附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．參與調(diào)查的男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該學(xué)生為女生，則該學(xué)生經(jīng)常鍛煉的概率為eq\f(5,7)C．依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1D．假設(shè)調(diào)查人數(shù)為600人，經(jīng)常鍛煉人數(shù)與不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的比例不變，統(tǒng)計(jì)得到的等高堆積條形圖也不變，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05答案ABD解析由題意知經(jīng)常鍛煉人數(shù)是不經(jīng)常鍛煉人數(shù)的2倍，故經(jīng)常鍛煉人數(shù)為200人，不經(jīng)常鍛煉人數(shù)為100人，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為200×0.5＝100(人)，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為100×0.6＝60(人)，故男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多，故A正確；女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為200×0.5＝100(人)，不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為100×0.4＝40(人)，故從參與調(diào)查的學(xué)生中任取一人，已知該學(xué)生為女生，則該學(xué)生經(jīng)常鍛煉的概率為eq\f(100,100＋40)＝eq\f(5,7)，故B正確；由題意結(jié)合男、女生中經(jīng)常鍛煉和不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，可得列聯(lián)表如表所示：經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男10060160女10040140合計(jì)200100300則χ2＝eq\f(300×100×40－60×1002,140×160×200×100)≈2.679<2.706＝x0.1，故依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，故C錯(cuò)誤；由題意可得經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)男200120320女20080280合計(jì)400200600則此時(shí)χ2＝eq\f(600×200×80－200×1202,400×200×320×280)≈5.357>3.841＝x0.05，故依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為性別因素影響學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05，故D正確．8．沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且營(yíng)養(yǎng)成分高，成為大家喜歡的水果之一，目前主要種植于我國(guó)廣西、云南、四川、湖南等地．得益于物流的快速發(fā)展，沃柑的銷量大幅增長(zhǎng)，同時(shí)刺激了當(dāng)?shù)剞r(nóng)民種植沃柑的熱情．根據(jù)對(duì)廣西某地的沃柑種植面積情況進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)表如表所示：年份t20182019202020212022年份代碼x12345種植面積y/萬(wàn)畝814152028附：①樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))；②在經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)；eq\r(2240)≈47.33.根據(jù)此表，下列結(jié)論正確的是()A．該地區(qū)這5年沃柑的種植面積的方差為212B．種植面積y與年份代碼x的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.972(精確到0.001)C．y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4.6x＋3.2D．預(yù)測(cè)該地區(qū)沃柑種植面積最早在2027年能突破40萬(wàn)畝答案BC解析根據(jù)題意，得eq\x\to(y)＝eq\f(8＋14＋15＋20＋28,5)＝17，seq\o\al(2,y)＝eq\f(1,5)×[(－9)2＋(－3)2＋(－2)2＋32＋112]＝44.8，故A錯(cuò)誤；由題意得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×8＋2×14＋3×15＋4×20＋5×28＝301，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝82＋142＋152＋202＋282＝1669，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(301－5×3×17,\r(55－45)×\r(1669－1445))≈eq\f(46,47.33)≈0.972，故B正確；因?yàn)閑q\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(301－5×3×17,55－45)＝4.6，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝17－4.6×3＝3.2，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4.6x＋3.2，故C正確；令eq\o(y,\s\up6(^))＝4.6x＋3.2≥40，得x≥8，所以最小的整數(shù)為8,2017＋8＝2