2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第5章　§5.4　復(fù)　數(shù)（原卷版）

第第頁§5.4復(fù)數(shù)課標(biāo)要求1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．知識梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位．(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù).))(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用結(jié)論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)復(fù)數(shù)z＝0沒有共軛復(fù)數(shù)．()(2)復(fù)數(shù)可以比較大小．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模．()2．已知復(fù)數(shù)z＝i3(1＋i)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．已知i是虛數(shù)單位，若|1＋ai|＝5，則實(shí)數(shù)a等于()A．2B．2eq\r(6)C．－2D．±2eq\r(6)4．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)＝i(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為________．題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)(多選)若復(fù)數(shù)z滿足z(1－2i)＝10，則()A.eq\x\to(z)＝2－4iB．z－2是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若角α的始邊為x軸非負(fù)半軸，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則sinα＝eq\f(\r(5),5)(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝－2＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|等于()A.eq\f(\r(10),2)B.eq\f(5,4)C.eq\f(5,2)D.eq\f(\r(5),2)(3)(多選)若關(guān)于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有兩個(gè)不同復(fù)數(shù)根x1和x2，其中x1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(i是虛數(shù)單位)，則下面四個(gè)選項(xiàng)正確的有()A．m＝1 B．x1>x2C．xeq\o\al(3,1)＝1 D．xeq\o\al(2,2)＝eq\x\to(x)2跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)的命題，其中真命題為()A．|z|＝2B．z2＝2iC．z的共軛復(fù)數(shù)為1＋iD．z的虛部為－1(2)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,a＋i)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－3B．－1C．1D．3(3)若復(fù)數(shù)z是x2＋x＋1＝0的根，則|z|等于()A.eq\r(2)B．1C．2D．3題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2(1)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，則z－eq\x\to(z)等于()A．－iB．iC．0D．1(2)(多選)下列關(guān)于非零復(fù)數(shù)z1，z2的結(jié)論正確的是()A．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2∈RB．若z1·z2∈R，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)C．若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，且z2≠0，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1D．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝1，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)跟蹤訓(xùn)練2(1)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4iB．－2－4iC．6＋2iD．6－2i(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z·i3＝1－2i，則eq\x\to(z)的虛部為()A．1B．－1C．2D．－2題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3(1)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667－1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，若復(fù)數(shù)z滿足z·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,8)＋i·sin\f(π,8)))6＝|1＋i|，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z落在復(fù)平面內(nèi)的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，且|z－i|＝|z＋2－i|，則|z－3＋eq\r(3)i|的最小值為()A．5B．4C．3D．2跟蹤訓(xùn)練3(1)在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z－i|的最小值為()A．1B.eq\r(5)－1C.eq\r(5)＋1D．3課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－3 B．a(chǎn)＝－1，b＝3C．a(chǎn)＝－1，b＝－3 D．a(chǎn)＝1，b＝32．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z－i＝eq\f(3＋i,1＋i)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為()A．2B．－2C．2iD．－2i3．如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)z＝(2＋ai)i(其中a∈R)為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＋ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．已知復(fù)數(shù)z1＝a＋i，a∈R，z2＝1－2i，且z1·eq\x\to(z)2為純虛數(shù)，則|z1|等于()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(5)D.eq\r(6)5．已知m，n為實(shí)數(shù)，1－i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2－mx＋n＝0的一個(gè)根，則m＋n等于()A．0B．1C．2D．46．已知復(fù)數(shù)z1與z＝3＋i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則eq\f(z1,2＋i)等于()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i7．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－1＋i|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4二、多項(xiàng)選擇題8．已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是()A．i＋i2＋i3＋i4＝0B．3＋i>1＋iC．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則|z|2＝z2D．復(fù)數(shù)－2－i的虛部為－19．已知復(fù)數(shù)z1，z2，eq\x\to(z)1為z1的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．z1＋eq\x\to(z)1為實(shí)數(shù)B．|eq\x\to(z)1|＝|z1|C．若|z1|＝|z2|，則z