2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)版)課時精講第4章 §4.7 正弦定理、余弦定理(原卷版)_第1頁
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第第頁§4.7正弦定理、余弦定理課標(biāo)要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.知識梳理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC)=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC變形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=eq\f(a,2R),sinB=eq\f(b,2R),sinC=eq\f(c,2R);(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCcosA=eq\f(b2+c2-a2,2bc);cosB=eq\f(c2+a2-b2,2ac);cosC=eq\f(a2+b2-c2,2ab)2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S=eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高);(2)S=eq\f(1,2)absinC=eq\f(1,2)acsinB=eq\f(1,2)bcsinA;(3)S=eq\f(1,2)r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).常用結(jié)論在△ABC中,常有以下結(jié)論:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(3)a>b?A>B?sinA>sinB,cosA<cosB.(4)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sineq\f(A+B,2)=coseq\f(C,2);coseq\f(A+B,2)=sineq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.(6)三角形中的面積S=eq\r(pp-ap-bp-c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p=\f(1,2)a+b+c)).自主診斷1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角的余弦值之比.()(2)在△ABC中,若sinA>sinB,則a>b.()(3)在△ABC的六個元素中,已知任意三個元素可求其他元素.()(4)當(dāng)b2+c2-a2>0時,△ABC為銳角三角形.()2.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)3.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是()A.有一解B.有兩解C.無解D.有解但解的個數(shù)不確定4.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為eq\r(3),B=60°,a2+c2=3ac,則b=.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若asinA+(b+λa)sinB=csinC,則λ的取值范圍為()A.(-2,2)B.(0,2)C.[-2,2]D.[0,2]跟蹤訓(xùn)練1(1)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,a=1,c=eq\f(\r(6),2),A=45°,則C等于()A.30°B.60°C.120°D.60°或120°(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,則eq\f(a,b)等于()A.2B.3C.eq\r(2)D.eq\r(3)題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形的形狀判斷例2在△ABC中,已知eq\f(sinA+sinC,sinB)=eq\f(b+c,a)且滿足條件①a(sinA-sinB)=(c-b)(sinC+sinB);②bcosA+acosB=csinC中的一個,試判斷△ABC的形狀,并寫出推理過程.注:如果選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.命題點2三角形的面積例3已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.命題點3與平面幾何有關(guān)的問題例4△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2a+b=2ccosB.(1)求角C;(2)若CD是角C的平分線,AD=2eq\r(7),DB=eq\r(7),求CD的長.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=2eq\r(17),b=5eq\r(2),cosA=eq\f(4,5),則△ABC的面積為()A.36eq\r(2)B.18eq\r(3)C.27D.36(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a-b=ccosB-ccosA,則△ABC的形狀一定是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形(3)在△ABC中,AB=5,AC=7,D為BC的中點,AD=5,則BC等于()A.2eq\r(3)B.4eq\r(3)C.2eq\r(2)D.4eq\r(2)課時精練一、單項選擇題1.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sinA=6sinB,則c等于()A.eq\r(35)B.eq\r(31)C.6D.52.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊a,b,c依次成等差數(shù)列,且B=eq\f(π,3),則△ABC的形狀為()A.等邊三角形B.直角邊不相等的直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,△ABC的面積為eq\f(1,2)b(bsinB-asinA-csinC),則B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)4.如圖,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.點D為BC的中點,AD=1,B=eq\f(π,3),且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2),則c等于()A.1B.2C.3D.45.如圖,平面四邊形ABCD的內(nèi)角B+D=π,AB=6,DA=2,BC=CD,且AC=2eq\r(7).則角B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,12)6.已知△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=-3,AB=2,cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=1,D是邊BC上一點,∠CAD=3∠BAD.則AD等于()A.eq\f(6,5)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(6\r(3),7)二、多項選擇題7.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=eq\r(3)ac,則B的值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6)D.eq\f(2π,3)8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列四個命題中正確的是()A.若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形B.若bcosC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形C.若eq\f(a,cosA)=eq\f(b,cosB)=eq\f(c,cosC),則△ABC是等邊三角形D.若B=60°,b2=ac,則△ABC是直角三角形三、填空題9.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,eq\f(2cosA,bc)=eq\f(cosB,ab)+eq\f(cosC,ac),則A=.10.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五的“田域類”中寫道:問有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.意思是已知三角形沙田的三邊長分別為13里、14里、15里,求三角形沙田的面積.則該沙田的面積為平方里.11.已知△ABC的面積為S=eq\f(1,4)(b2+c2)(其中b,c為△ABC的邊長),則△ABC的形狀為.四、解答題12.記△ABC的內(nèi)

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