2024-2025學年度北師版九上數(shù)學-專題1-矩形、正方形中的四個?？寄Ｐ汀菊n件】

第一章特殊平行四邊形專題1矩形、正方形中的四個?？寄Ｐ蛿?shù)學九年級上冊BS版專題解讀典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01專題解讀◎問題綜述

幾何變換主要是平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三大變換，它們最大的特征都是只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小.四邊形作為初中階段最核心的內(nèi)容之一，逐漸被用來作為呈現(xiàn)知識和能力的載體.常見模型如下：1.折疊中的“十字架”模型.

如圖，在正方形ABCD中，EG⊥FH，則有EG＝FH.

2.旋轉(zhuǎn)中的“手拉手”模型.

如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到△BP'A，則△

BPP'為等腰直角三角形.3.旋轉(zhuǎn)中的“K”模型.如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線的交點，直角EOF繞點O旋轉(zhuǎn).若OE，OF分別與射線DA，AB交于點G，H，則△

AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形.4.正方形中的半角模型.從正方形的一個頂點出發(fā)的兩條線所夾的角等于正方形內(nèi)角的一半，并且與正方形的邊（或其延長線）相交.（1）如圖1，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，則：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周長為正方形ABCD邊長的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF；④MN2＝BM2＋DN2.圖1（2）如圖2，在正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，F(xiàn)A平分∠

DFE，則EF＝DF－BE.

圖2數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練類型一

折疊中的“十字架”模型

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝3，BC＝9.在邊AD上取一點E，在BC上取一點F，將紙片沿EF折疊，點C恰好落在點A處，點D落在點D'處，則線段EF的長度為

?.

【點撥】矩形的翻折變換其本質(zhì)就是“十字架”模型，關鍵是

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關系，靈活運用勾

股定理來解決線段長度問題.

如圖，在矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點D在邊BC上，且CD＝3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊.若點A的對應點A'恰好落在邊OC上，點B為點B'的對應點，則OE的長為

?.

類型二

旋轉(zhuǎn)中的“手拉手”模型

一節(jié)數(shù)學課上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA＝1,PB＝2,PC＝3.你能求出∠APB的度數(shù)嗎？圖1小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將△BPC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'

A，連接PP'，求出∠APB的度數(shù)；思路二：將△APB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'

B，連接PP'，求出∠APB的度數(shù).（1）請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程；圖1

圖2

【點撥】正方形兩鄰邊相等且垂直，聯(lián)想到構造“手拉手”全等三角形解決問題.

如圖，點G是正方形ABCD對角線DB的延長線上任意一點，以線段BG為邊作一個正方形BEFG，線段CE和AG相交于點H.

（1）求證：CE＝AG，CE⊥AG；

（2）若AB＝2，BG＝1，求CE的長.

類型三

旋轉(zhuǎn)中的“K”模型

如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O,O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F.

（1）求證：△AOE≌△BOF.

（2）若兩個正方形的邊長都為a，則正方形A1B1C1O繞點O轉(zhuǎn)動時，兩個正方形重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出面積.

【點撥】計算正方形中不規(guī)則圖形的面積時，可利用割補法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是直線AD上的一點，連接

CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點C，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），直線BE與直線GD交于點H.

若AE＝2，AB＝4，則點F到GH的距離為

?.

類型四

正方形中的半角模型

如圖，在正方形ABCD中，點E是AB上一點，點F是AD延長線上一點，且DF＝BE.

（1）求證：CE＝CF.

（2）若點G在線段AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD

成立嗎？為什么？【點撥】解決半角模型問題的方法有兩種.方法一：把半角一側(cè)的三角形通過旋轉(zhuǎn)變換或軸對稱變換構造新的全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等、對應角相等來轉(zhuǎn)化邊和角，進而可以探究新的邊邊關系或角角關系；方法二：截長補短.

如圖，在正方形ABCD中，已知點E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點，點M為EF上一點，點D，M關于直線AF對稱.（1）求證：點B，M關于直線AE對稱；證明：（1）如圖，連接DM，BM.

∵點D，M關于直線AF對稱，∴AF垂直平分DM.

∴AD＝AM，F(xiàn)D＝FM.

又∵AF＝AF，∴△DAF≌△MAF（SSS）.∴∠AMF＝∠ADF＝90°.∴∠AME＝90°.又∵