2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)-第四章-一次函數(shù)-回顧與思考【課件】

第四章一次函數(shù)回顧與思考數(shù)學(xué)八年級上冊BS版要點回顧典例講練目錄CONTENTS

1.

函數(shù)的定義.一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，并且對于變

量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y

是x的

，其中x是自變量.2.

函數(shù)的三種表示方式.

、

、

?.函數(shù)

列表法

圖象法

關(guān)系式法

3.

一次函數(shù)的表達式為

?.當(dāng)b＝0時，該一次函數(shù)的表達式為

?，它是正比例函數(shù).4.

正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的性質(zhì).y＝

kx

＋b（k，b為常數(shù)，k

≠0）

y＝

kx

（k

≠0）

當(dāng)k＞0時，圖象過第

象限；當(dāng)k＜0時，圖象過

第

象限.注：當(dāng)k＝1時，該函數(shù)圖象平分第一、三象限，這條直線上的

任何一點的橫坐標(biāo)都等于它的縱坐標(biāo)；當(dāng)k＝－1時，該函數(shù)圖

象平分第二、四象限，這條直線上的任何一點的橫坐標(biāo)都等于

它的縱坐標(biāo)的相反數(shù).一、三

二、四

5.

一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖象.當(dāng)x＝0時，圖象與y軸的交點坐標(biāo)為

；當(dāng)y＝0

時，圖象與x軸的交點坐標(biāo)為

?.（0，b）

6.

一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的性質(zhì).（1）當(dāng)k＞0時，y的值隨著x值的

而

；當(dāng)k

＜0時，y的值隨著x值的

而

?；（2）當(dāng)k＞0且b＞0時，函數(shù)的圖象過第

象限；當(dāng)k＞0且b＜0時，函數(shù)的圖象過第

象限；

當(dāng)k＜0且b＞0時，函數(shù)的圖象過第

象限；當(dāng)k

＜0且b＜0時，函數(shù)的圖象過第

象限.增大

增大

增大

減小

一、二、三

一、三、四

一、二、四

二、三、四

7.

確定函數(shù)的表達式.（1）一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）中有兩個未知系數(shù)，所以需要兩個點，通過將兩個點的坐標(biāo)的代入，就可以求出一次函數(shù)的表達式；（2）正比例函數(shù)y＝kx只有一個未知系數(shù)，所以只要知道

?就可以求出它的表達式.一個點的坐標(biāo)

8.

一次函數(shù)圖象的位置關(guān)系.因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以兩個一次函數(shù)的圖象的

位置關(guān)系有兩種：平行和相交.設(shè)兩條直線分別為y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2.當(dāng)k1＝k2，b1≠b2

時，兩條直線平行；當(dāng)k1≠k2時，兩條直線相交.9.

一元一次方程與一次函數(shù)的聯(lián)系.一般地，當(dāng)一次函數(shù)y＝kx＋b的函數(shù)值為0時，相應(yīng)的自變量

的值就是方程kx＋b＝0的解.從圖象上看，一次函數(shù)y＝kx＋b

的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是方程kx＋b＝0的解.數(shù)學(xué)八年級上冊BS版02典例講練

要點一

函數(shù)的定義

（1）下列表示兩個變量間的關(guān)系的圖象中，y不是x的函

數(shù)的是（

D

）ABCDD【解析】A，B，C三個選項中，對于x的每一個值，y都有唯一

的值與它對應(yīng)，不符合題意；選項D中，y軸右側(cè)一個x值對應(yīng)

兩個y值，所以y不是x的函數(shù)，符合題意.故選D.

【點撥】判斷一個關(guān)系是函數(shù)關(guān)系的方法：（1）存在一個變化

過程；（2）變化過程中有兩個變量；（3）對于自變量每取一

個確定的值，因變量都有唯一確定的值與之對應(yīng).三者必須同時

滿足.

【解析】由題意，得x－2≥0且x－5≠0.解得x≥2且x≠5.故

答案為x≥2且x≠5.

x≥2且x≠5

1.

下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍為x≥3的是（

B

）

B①②③⑤

要點二

一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

已知一次函數(shù)y＝（4＋2m）x＋m－4.（1）當(dāng)m為何值時，y的值隨著x值的增大而減?。浚?）當(dāng)m為何值時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸下方？（3）若m＝－1，求該函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo).解：（1）因為y的值隨著x值的增大而減小，所以4＋2m＜0，解得m＜－2.所以當(dāng)m＜－2時，y的值隨著x值的增大而減小.（2）因為該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸下方，所以m－4＜0且4＋2m≠0，解得m＜4且m≠－2.所以當(dāng)m＜4且m≠－2時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x

軸下方.

【點撥】解答這類題目時，一定要注意隱含條件k≠0.

已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋4m－2.（1）若這個函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，求m的值；（2）若這個函數(shù)的圖象不過第四象限，求m的取值范圍；（3）不論m取何實數(shù)，這個函數(shù)的圖象都過一個定點，試求這個定點的坐標(biāo).解：（1）因為這個函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，所以當(dāng)x＝0時，y＝0，即4m－2＝0，

（2）因為這個函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，所以m＞0且4m－2≥0，

（3）將一次函數(shù)y＝mx＋4m－2變形為m（x＋4）＝y(tǒng)＋2.因為不論m取何實數(shù)這個函數(shù)的圖象都過定點，所以x＋4＝0，y＋2＝0，解得x＝－4，y＝－2.則不論m取何實數(shù)，這個函數(shù)的圖象都過定點（－4，－2）.要點三

一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

小玲和小東姐弟倆分別從家和圖書館同時出發(fā)，沿同一條路相向而行.小玲開始跑步，中途改為步行，到達圖書館恰好用30

min.小東騎自行車以300

m/min的速度直接回家，兩人離家的路程y（m）與各自離開出發(fā)地的時間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示.請解答下列問題：（1）家與圖書館之間的路程為

m，小玲步行的速度

為

m/min；（2）求小東離家的路程y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出

自變量的取值范圍；4

000

100

（3）當(dāng)兩人相遇時，他們離圖書館多遠？（1）【解析】由圖象，得家與圖書館之間的路程為4

000

m，

小玲步行的速度為（4

000－2

000）÷（30－10）＝100（m/min）.故答案為4

000，100.

（3）解：當(dāng)兩人相遇時，設(shè)他們走的時間為m

min.由點A（10，2

000），易得OA的函數(shù)表達式為y＝200x（0≤x≤10）.由圖象，得300m＋200m＝4

000，解得m＝8.所以當(dāng)兩人相遇時，他們離圖書館路程為300×8＝2

400（m）.故當(dāng)兩人相遇時，他們離圖書館2

400

m.【點撥】此類問題一般先觀察圖象特征，根據(jù)變量之間的關(guān)

系，判斷函數(shù)的類型，當(dāng)確定是一次函數(shù)關(guān)系時，用待定系數(shù)

法確定函數(shù)表達式，最后運用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步求

得所需結(jié)果.

甲、乙兩個圓柱形水槽的橫截面示意圖如圖1所示，乙槽中有一圓柱形實心鐵塊（圓柱形實心鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（cm）與注水時間x（min）之間的關(guān)系如圖2所示.根據(jù)圖象解答下列問題：圖1圖2（1）圖2中折線EDC表示

槽中水的深度y與注水時間x之

間的關(guān)系，鐵塊的高度為

cm；（2）求AB的函數(shù)表達式；（3）求當(dāng)甲、乙兩個水槽中水的深度相同時的注水時間.乙

16

（2）解：設(shè)AB的函數(shù)表達式為y＝kx＋b（k≠0）.將點（0，14），（7，0）代入，得b＝14，7k＋b＝0.所以k＝－2.所以AB的函數(shù)表達式為y＝－2x＋14（0≤x≤7）.（1）【解析】由題意，知乙槽在注水的過程中，水的高度不斷

增加，當(dāng)水位達到鐵塊頂端時，高度變化情況又同前面不同，

所以折線EDC表示的是乙槽的水深y與注水時間x的關(guān)系.折線

EDC中，點D表示乙槽水深16

cm，也就是鐵塊的高度為16

cm.

故答案為乙，16.（3）解：設(shè)ED的函數(shù)表達式為y＝mx＋n（m≠0）.將點（0，4），（4，16）代入，得n＝4，4m＋n＝16.所以m＝3.所以ED的函數(shù)表達式為y＝3x＋4（0≤x≤4）.根據(jù)題意，得－2x＋14＝3x＋4，解得x＝2.故注水2

min，甲、乙兩個水槽中水的深度相同.要點四

一次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線m經(jīng)過點（－1，2），交x軸于點A（－2，0），交y軸于點B，直線n與直線m

交于點P，分別與x軸、y軸交于點C，D（0，－2）.連接

BC，點P的橫坐標(biāo)為－4.（1）求直線m的函數(shù)表達式和點P的坐標(biāo).（2）試說明：△BOC是等腰直角三角形.（3）直線m上是否存在點E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，

求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)直線m的函數(shù)表達式為y＝kx＋b（k≠0）.因為直線m經(jīng)過點（－1，2），

A（－2，0），所以－k＋b＝2，－2k＋b＝0.所以k＝2，b＝4.所以直線m的函數(shù)表達式為y＝2x＋4.將x＝－4代入y＝2x＋4，得y＝2×（－4）＋4＝－4.所以點P的坐標(biāo)為（－4，－4）.

又因為∠BOC＝90°，所以△BOC是等腰直角三角形.

【點撥】解答這類動點問題時，要注意動點所在位置，可以在

圖上畫出使面積相等的點的大概位置，這樣有助于分析題目，

在分類討論時不會遺漏和重復(fù).

如圖，已知一次函數(shù)y＝x－2的圖象交y軸于點A，一次函數(shù)y

＝4x＋b的圖象交y軸于點B，且分別與x軸，一次函數(shù)y＝x－2的圖象交于點C，D，點D的坐標(biāo)為（－2，－4）.（1）求△ABD的面積.（2）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三

角形是直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點E