用二分法求方程的近似解+高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)人教版A2019-必修第一冊高一數(shù)學組4.5.2用二分法求方程的近似解學習目標1.理解二分法的概念及其使用條件2.會用二分法求一個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點，從而求得方程的近似解新課引入知識點回顧

新課引入知識點回顧

是的什么條件?充分不必要新課引入探究新知識我們已經(jīng)知道，函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在一個零點．進一步的問題是，如何求出這個零點呢？一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值．為了方便，可以通過取區(qū)間中點的方法，逐步縮小零點所在的范圍．新課引入探究新知識思考1如何縮小零點所在區(qū)間(2,3)的范圍？取區(qū)間(2,3)的中點2.5.思考2區(qū)間分成兩段后，又怎樣確定零點在哪一個小的區(qū)間內(nèi)呢？用計算工具算得f(2.5)≈－0.084.因為f(2.5)f(3)<0，所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi)．新課引入探究新知識思考3假設f(2.5)＝0說明什么？若f(2.5)＝0，則2.5就是函數(shù)的零點．思考4如何進一步的縮小零點所在的區(qū)間？再取區(qū)間(2.5，3)的中點2.75，用計算工具算得f(2.75)≈0.512.因為f(2.5)f(2.75)<0,所以零點在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).由于(2，3)靈(2.5，3)靈(2.5，2.75)，所以零點所在的范圍變小了，如果重復上述步驟，那么零點所在的范圍會越來越小(如表4.5-2和圖4.5-3)，這樣，我們就可以通過有限次重復相同的步驟，將零點所在范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)問，區(qū)問內(nèi)的任意一點都可以作為函數(shù)零點的近似值，為了方便，我們把區(qū)間的一個端點作為零點的近似值.新課引入探究新知識零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.625)(2.5,2.5625)(2.53125,2.3625)(2.53125,2.546875)(2.53125,2.5390625)(2.5,2.75)2.6252.56252.531252.5468752.53906252.535156250.066-0.0090.0290.0100.0010.215f(2)≈-1.306,f(3)≈1.099,f(2)f(3)<0.f(2.5)f(3)<0f(2.5)f(2.75)<0f(2.5)f(2.6255)<0......新課引入探究新知識零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.625)(2.5,2.5625)(2.53125,2.3625)(2.53125,2.546875)(2.53125,2.5390625)(2.5,2.75)2.6252.56252.531252.5468752.53906252.535156250.066-0.0090.0290.0100.0010.215可以發(fā)現(xiàn)，當精確度為0.01時，因為|2.5390625-2.53125|=0.0078125<

0.01，所以區(qū)間(2.53125，2.5390625)內(nèi)任意一點都可以作為零點的近似值，也可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.新課引入探究新知識一、二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection).新課引入探究新知識x零點所在區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512二、二分法的步驟

給定精確度

，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:1.確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0.2.求區(qū)間(a,b)的中點c.3.計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間:(1)若f(c)=0（此時x0=c)，則c就是函數(shù)的零點﹔(2)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b=c;(3)若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a=c.4.判斷是否達到精確度:若|a-b|<,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟2～4.新課引入探究新知識例2借助信息技術，用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為0.1).解：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用信息技術畫出函數(shù)y=f(x)的圖象，并列出它的對應值表.x012345678y-6-2310214075142273觀察圖表可知f(1)f(2)＜0,說明該函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點x0.新課引入探究新知識x012345678y-6-2310214075142273取區(qū)間(1,2)的中點x1=1.5，用信息技術算得f(1.5)≈0.33.因為f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1,1.5).再取區(qū)間(1,1.5)的中點x2=1.25，用信息技術算得f(1.25)≈-0.87.因為f(1.25)f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).同理可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.4375|=0.0625＜0.1,所以，原方程的近似解可取為1.375.新課引入探究新知識給定精確度?，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：1.確定零點x0的初始區(qū)間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0.2.求區(qū)間(a,b)的中點c.3.計算f(c)，并進一步確定零點所在區(qū)間：（1）若f(c)=0（此時x0=c），則c就是函數(shù)的零點；（2）若f(a)f(c)<0（此時x0∈(a,c)），則令b=c；（3）若f(c)f(b)<0（此時x0∈(c,b)），則令a=c；4.判斷是否達到精確度?：若|a-b|<?，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟2~4.總結(jié)歸納新課引入探究新知識練習1利用計算器，求方程sinx＝1－x的近似解．(精確度為0.1)【解析】因為方程sinx＝1－x可化為x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函數(shù)f(x)＝x＋sinx－1的零點．先畫出函數(shù)y＝sinx和y＝1－x的圖象，如圖所示．觀察圖象，因為f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，記為x0.用計算器計算得f(0)＜0，f(1)＞0?x0∈(0,1)，f(0.5)＜0，f(1)＞0?x0∈(0.5,1)，新課引入探究新知識f(0.5)＜0，f(0.75)＞0?x0∈(0.5,0.75)，f(0.5)＜0，f(0.625)＞0?x0∈(0.5,0.625)，f(0.5)＜0，f(0.5625)＞0?x0∈(0.5,0.5625)．因為|0.5625－0.5|＝0.0625＜0.1，所以原方程的近似解可取為0.5.新課引入探究新知識練習2.(2022·荊州高一期末)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是(

)解：由二分法的定義知，若函數(shù)f(x