新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.1直線與直線垂直素養(yǎng)作業(yè)新人教A版必修第二冊(cè)

第8章8.68.6.1A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．若空間三條直線a，b，c滿意a⊥b，b∥c，則直線a與c(B)A．肯定平行 B．肯定垂直C．肯定是異面直線 D．肯定相交[解析]∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故選B.2.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角為(C)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]連接BC1，A1C1(圖略)，因?yàn)锽C1∥AD1，所以異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，所以∠A1BC1＝60°.故異面直線A1B與AD1所成角為60°.3．(2024·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為(D)A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)[解析]如圖，∠PBC1為直線PB與AD1所成的角(或其補(bǔ)角)易知△A1BC1為正三角形．又P為A1C1中點(diǎn)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).4．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，則異面直線BD與AC所成的角為(C)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE(或其補(bǔ)角)即為異面直線BD與AC所成的角．由條件知：BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，則∠BDE＝60°，故選C.5．如圖所示，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝8，BD＝6，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于(A)A．5 B．6C．8 D．10[解析]如圖，取AD的中點(diǎn)P，連接PM、PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.二、填空題6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是_90°__；(2)AC和D1C1所成的角是_45°__；(3)AC和B1D1所成的角是_90°__；(4)AC和A1B所成的角是_60°__.[解析](1)依據(jù)正方體的性質(zhì)可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即為AC和D1C1所成的角，由正方體的性質(zhì)得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等邊三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.7.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)，則在全部的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有_AB，A1B1__.[解析]由正三棱柱的性質(zhì)可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1.8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動(dòng)，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是_0°<θ≤60°__.[解析]如圖，連接CD1，AC，因?yàn)镃D1∥BA1，所以CP與BA1所成的角就是CP與CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.當(dāng)點(diǎn)P從D1向A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠D1CP從0°增大到60°，但當(dāng)點(diǎn)P與D1重合時(shí)，CP∥BA1，與CP與BA1為異面直線沖突，所以異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是0°<θ≤60°.三、解答題9．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，求異面直線AC和EF所成的角．[解析]連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示．依據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角(或其補(bǔ)角)．∵BC1＝A1C1＝A1B，∴△A1C1B為等邊三角形，故∠A1C1B＝60°，即異面直線AC和EF所成的角為60°.10.如圖所示，四面體A－BCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝2.求EF的長(zhǎng)度．[解析]取BC的中點(diǎn)M，連接ME，MF，如圖．則ME∥AC，MF∥BD，∴ME與MF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成的角為60°，∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.當(dāng)∠EMF＝60°時(shí)，EF＝ME＝MF＝eq\f(1,2)BD＝1；當(dāng)∠EMF＝120°時(shí)，取EF的中點(diǎn)N，則MN⊥EF，∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).故EF的長(zhǎng)度為1或eq\r(3).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·哈爾濱高一檢測(cè))如圖，點(diǎn)M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)，則異面直線AM與BC1所成角的余弦值是(A)A.eq\f(\r(10),5) B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(10),10)[解析]如圖，連接AD1，D1M.因?yàn)锳B＝C1D1，AB∥D1C1，所以四邊形ABC1D1為平行四邊形，則AD1∥BC1，則∠D1AM為異面直線AM與BC1所成角(或其補(bǔ)角)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則AD1＝2eq\r(2)，AM＝D1M＝eq\r(5).所以cos∠D1AM＝eq\f(2\r(2)2＋\r(5)2－\r(5)2,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5).即異面直線AM與BC1所成角的余弦值是eq\f(\r(10),5).2．將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線AB與CD所成角的大小是(C)A．30° B．45°C．60° D．120°[解析]如圖所示，由題可知，四邊形ABEG和CDFE均為正方形，△EFG為正三角形，因?yàn)锳B∥EG，CD∥EF，所以∠GEF或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成角，因?yàn)椤鱁FG為正三角形，所以∠GEF＝60°.3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是(C)A．60° B．75°C．90° D．105°[解析]解法一：設(shè)BB1＝1，如圖，延長(zhǎng)CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．連接AC2，因?yàn)锳B1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.解法二：補(bǔ)成四棱柱亦得．二、填空題4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq\r(2)，則異面直線A1C與B1C1所成的角為_60°__.[解析]依題意，得BC∥B1C1，故異面直線A1C與B1C1所成的角即BC與A1C所成的角．連接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq\r(2)，故∠A1CB＝60°，即異面直線A1C與B1C1所成的角為60°.5．如圖所示，在正方體ABCD－EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心，則：(1)BE與CG所成的角的大小為_45°__；(2)FO與BD所成的角的大小為_30°__.[解析](1)如題圖，因?yàn)镃G∥BF，所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖，連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點(diǎn)．所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.三、解答題6．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求A1C1與B1C所成角的大?。?2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小．[解析](1)如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角．∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.C組·探究創(chuàng)新在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BB1的中點(diǎn)．(1)異面直線DB1和CM所成的角的余弦值為eq\f(\r(15),15)；(2)異面直線DN和CM所成的角的余弦值為eq\f(2\r(5),15).[解析](1)將正方體ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)上一個(gè)棱長(zhǎng)相等的正方體，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，連接CE1，ME1.因?yàn)镈B1∥CE1，所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成角(或其補(bǔ)角)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.在三角形MCE1中，CM＝eq\f(\r(5),2)a，CE1＝eq\r(3)a，ME1＝eq\f(\r(13),2)a，那么cos∠MCE1＝eq\f(\f(5,4)a2＋3a2－\f(13,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\r(3)a)＝eq\f(\r(15),15).(2)將正方體ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)上一個(gè)棱長(zhǎng)相等的正方