2023-2024學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年安徽省合肥市六校聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“x2+5x?6>0”是“x>2”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1,x≤12xA.139 B.3 C.23 3.我國(guó)北宋時(shí)期科技史上的杰作《夢(mèng)溪筆淡》收錄了計(jì)算扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：lAB=弦+2×矢2徑，公式中“弦”是指扇形中圓弧所對(duì)弦的長(zhǎng)，“矢”是指圓弧所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.如圖，已知扇形的面積為4π3，扇形所在圓A.3+2B.C.43+14.已知z∈C，若|z(3+4i)|=5，則|z|=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|A.?14CB B.?346.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[?7,?3]上是(

)A.增函數(shù)且最小值為?5 B.增函數(shù)且最大值為?5

C.減函數(shù)且最小值為?5 D.減函數(shù)且最大值為?57.如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，棱柱的側(cè)面均為矩形，AA1=1，AB=BC=3，A.3 B.2 C.5D.8.在△ABC中，分別根據(jù)甲、乙、丙、丁四個(gè)條件判斷三角形的形狀，甲：acosA=bcosB；乙：a2tanB=b2tanA；丙：acosB=bcosA；?。篈.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有(

)A.2張卡片不全為紅色 B.2張卡片恰有一張紅色

C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片都為綠色10.已知甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3，5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，則下列說法正確的是(

)A.這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)相等

B.這兩組數(shù)據(jù)的極差相等

C.這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，僅僅乙組數(shù)據(jù)的均值不變

D.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散11.在△OAB中，點(diǎn)P1，P2，…，Pn?1分別是AB上的n等分點(diǎn)，其中n∈N?，A.OPn?3?OPn?2=OP三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有居民20000戶，從中隨機(jī)抽取200戶調(diào)查是否安裝寬帶網(wǎng)線，調(diào)查結(jié)果如表所示，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)已安裝寬帶網(wǎng)線的居民大約有______戶.網(wǎng)線動(dòng)遷戶原住戶已安裝6530未安裝406513.若a>0，b>0，且(4a?1)(b?1)=4，則4a+b的最小值為______．14.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE，連接A1C.若當(dāng)三棱錐A1?CDE的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A1?CDE四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

已知|a|=1，|b|=3，a+b=(16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x．

(1)求函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(2)請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全下面的問題并求解，其中①有解；②恒成立．

問題：若當(dāng)x∈[0,π217.(本小題15分)

已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如135，256，345等)

現(xiàn)要從甲乙兩名同學(xué)中，選出一個(gè)參加某市組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只抽取1次，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽．

(1)由1，2，3，4，5，6可組成多少“三位遞增數(shù)”？并一一列舉出來．

(2)這種選取規(guī)則對(duì)甲乙兩名學(xué)生公平嗎？并說明理由．18.(本小題15分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為梯形，CD/?/AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC=CD=PA=PD=1，AB=2，平面PAD⊥平面PBC．

(1)若PB的中點(diǎn)為N，求證：CN/?/平面PAD；

(2)求二面角P?AD?B的正弦值．19.(本小題17分)

n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)a1，a2，…，an所組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個(gè)n維向量，其中ai(i=1,2,…,n)稱為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)n維向量a=(a1,a2,…,an)，若|ai|=1，i=1，2…n，稱a為n維信號(hào)向量.設(shè)a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)答案解析1.B

【解析】解：x2+5x?6>0，解得：x>1，或x<?6．

∴“x2+5x?6>0”是“x>2”的必要不充分條件．

2.A

【解析】解：∵函數(shù)f(x)=x2+1,x≤12x,x>1，

∴f(3)=23，3.C

【解析】解：設(shè)扇形的圓心角為α，

由扇形面積公式可知12×22×α=4π3，所以α=2π3，

如圖，取AB的中點(diǎn)C，連接OC，交AB于點(diǎn)D，

則OC⊥AB.易知∠OAD=π6，則OD=2sinπ6=1，

所以CD=2?1=1，4.A

【解析】解：|z(3+4i)|=5，

則|z||3+4i|=5|z|=5，解得|z|=1．

故選：A．

5.C

【解析】解：由2AO=AB+AC，知點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，所以∠BAC=90°，

又因?yàn)閨OA|=|AC|=|OC|，所以△OAC為等邊三角形，即∠CAO=60°，

所以∠OAB=∠B=30°，如圖所示：

設(shè)圓O的半徑為R，則AB=3R，BC=2R，6.B

【解析】解：奇函數(shù)的函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱，

則若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值為5，

那么f(x)在區(qū)間[?7,?3]上是增函數(shù)且最大值為?5．

故選：B．7.D

【解析】解：連接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直線為軸，將△A1BC1所在平面旋轉(zhuǎn)到平面ABB1A1，

設(shè)點(diǎn)C1的新位置為C′，連接AC′，則有AP+PC1=AP+PC′≥AC′，

當(dāng)A，P，C′三點(diǎn)共線時(shí)，則AC′即為AP+PC1的最小值．

在三角形ABC中，AB=BC=3，cos∠ABC=13，

由余弦定理得：AC=AB2+BC2?2AB?BCcosB=3+3?2×3×13=2，

所以A1C1=2，即A8.C

【解析】解：對(duì)于甲：acosA=bcosB，由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，又A，B，A+B∈(0,π)，所以2A=2B或2A=π?2B，即A=B或A+B=π2，

所以A=B或C=π2，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形且C=π2；

對(duì)于乙：a2tanB=b2tanA，由正弦定理可得sin2AtanB=sin2BtanA，

所以sin2A?sinBcosB=sin2B?sinAcosA，

又A，B∈(0,π)，所以sinA>0，sinB>0，

所以sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，又A，B，A+B∈(0,π)，所以2A=2B或2A=π?2B，

即A=B或A+B=π2，所以A=B或C=π2，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形且C=π2；

對(duì)于丙：acosB=bcosA，由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，

所以sin(A?B)=0，又A，B∈(0,π)且A+B∈(0,π)，

所以A?B∈(?π,π)，所以A?B=0，即A=B，所以△ABC為等腰三角形；

對(duì)于?。篴?b=ccosB?ccosA，由正弦定理可得sinA?sinB=sinCcosB?sinCcosA，

所以sin(B+C)?sin(A+C)=sinCcosB?sinCcosA，

即sinBcosC+cosBsinC?sinAcosC?cosAsinC=sinCcosB?sinCcosA，

所以sinBcosC?sinAcosC=0，

9.BD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，事件“2張卡片都為紅色”與“2張卡片不全為紅色”是對(duì)立事件，不符合題意；

對(duì)于B，事件“2張卡片都為紅色”與“2張卡片恰有一張紅色”是互斥而不對(duì)立，符合題意；

對(duì)于C，事件“2張卡片都為紅色”與“2張卡片至少有一張紅色”不是互斥事件，不符合題意，

對(duì)于D，事件“2張卡片都為紅色”與“2張卡片都為綠色”是互斥而不對(duì)立，符合題意；

故選：BD．

10.BCD

【解析】解：對(duì)于A，甲組數(shù)據(jù)為：1，1，3，3，5，7，9，乙組數(shù)據(jù)為：1，3，5，7，9，這兩組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)分別為5和7，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，這兩組數(shù)據(jù)的極差都為8，所以B正確；

對(duì)于C，這兩組數(shù)據(jù)分別去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后，甲組數(shù)據(jù)的均值改變，乙組數(shù)據(jù)的均值不變，所以C正確；

對(duì)于D，甲組數(shù)據(jù)的方差大于乙組數(shù)據(jù)的方差，所以甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散，所以D正確．

故選：BCD．

11.BD

【解析】解：由題意知，點(diǎn)P1，P2，…，Pn?1分別是AB上的n等分點(diǎn)，其中n∈N?，n≥4，

所以O(shè)Pn?3?OPn?2=OPn?2?OPn?1不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

由Pn?2是Pn?1Pn?3的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的中線定理，可得2OP12.9500

【解析】解：20000×65+30200=9500(戶)．

故答案為：13.6

【解析】解：因?yàn)閍>0，b>0，且(4a?1)(b?1)=4，

所以4a+b=4a?1+b?1+2≥2(4a?1)(b?1)+2=6，

當(dāng)且僅當(dāng)4a?1=b?1=2，即a=34，b=3時(shí)取等號(hào)．14.2【解析】解：在矩形ABCD中，已知AB=2AD=2a，E是AB的中點(diǎn)，

所以：△A1DE為等腰直角三角形；

斜邊DE上的高為：A′K=12DE=12a2+a2=22a；

要想三棱錐A1?CDE的體積最大；需高最大，則當(dāng)△A1DE⊥面BCDE時(shí)體積最大，

此時(shí)三棱錐A1?CDE的高等于：12DE=12a2+a2=22a；

取DC的中點(diǎn)H，過H作下底面的垂線；

此時(shí)三棱錐A1?CDE的外接球球心在15.解：(1)由已知a+b=(3,1)，所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a?b=4，所以【解析】(1)由已知，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積，然后將所求平方可求；

(2)利用數(shù)量積公式求之．

16.解：(1)因?yàn)閒(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x

=23sinxcosx+cos2x?sin2x

=3sin2x+cos2x

=2(32sin2x+12cos2x)

=2sin(2x+π6)，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π，

因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為[?π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z，

令?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得?π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[?π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；

(2)若選擇①，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max，【解析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)=2sin(2x+π6)，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(2)若選擇①，由題意m≤f(x)max，可求π6≤2x+π6≤17.解：(1)從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，

所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”共有20個(gè)．

分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．

(2)不公平，由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個(gè)，

分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．

記“甲參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件A，記“乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽”為事件B．

則事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13個(gè)．

由古典概型計(jì)算公式，得

P(A)=事件A含有的基本事件的個(gè)數(shù)試驗(yàn)所有基本事件的總數(shù)=1320，

又A與B對(duì)立，所以【解析】(1)由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”共有20個(gè)，列出所有可能的“三位遞增數(shù)”即可．

(2)根據(jù)對(duì)立事件進(jìn)行概率計(jì)算，判斷是否公平即可．

18.解：(1)證明：設(shè)T是PA中點(diǎn)，連接TN、TD，

在△ABP中，TN為中線，∴TN//AB且TN=12AB，又∵CD/?/AB且CD=12AB，

∴TN//CD且TN=CD，∴四邊形CDTN為平行四邊形，∴CN//DT且CN=DT．

又∵CN?平面PAD，DT?平面PAD，∴CN/?/平面PAD

(2)如圖以AD中點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)二面角角P?AD?B的大小為θ，則OP=(0,22cosθ,22sinθ)，

設(shè)平面PAD的法向量為n1=(x1,y1,z1),