機(jī)械控制理論基礎(chǔ) 課件 第3、4章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析

FundamentalsofMechanicalControlEngineering機(jī)械控制工程基礎(chǔ)MathematicalModelsofControlSystems控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型CHAPTER31本章主要內(nèi)容（MainContents）概述系統(tǒng)微分方程的建立傳遞函數(shù)方框圖機(jī)電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2數(shù)學(xué)表達(dá)式，分析基礎(chǔ)，重要但困難經(jīng)典控制理論中數(shù)學(xué)模型的形式：

微分方程傳遞函數(shù)（頻率特性）方框圖、信號(hào)流圖等建模方法（ModelingMethods）：分析法：根據(jù)系統(tǒng)遵循的規(guī)律、定理、定律等，集中參數(shù)、分布參數(shù)實(shí)驗(yàn)法：用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建模，亦稱系統(tǒng)辨識(shí)3-1概述1.數(shù)學(xué)模型的概念典型輸入信號(hào)

系統(tǒng)？輸出響應(yīng)Blackboxwhitebox32.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)（LinearSystem）：適用疊加原理(Principleofsuperposition)

線性定常系統(tǒng)(Time-invariantSystem)時(shí)變系統(tǒng)(Time-variantSystem)42.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)（NonlinearSystem）：不適用疊加原理對(duì)非線性的處理（非線性是普遍存在的）線性化（LinearApproximation）：Taylor級(jí)數(shù)取一次近似忽略非線性因素（IgnoringNonlinearFactors）非線性分析（NonlinearAnalysis）3.本課程主要研究對(duì)象單輸入－單輸出線性系統(tǒng)（SISO）

輸入

系統(tǒng)

輸出5建立系統(tǒng)微分方程的基礎(chǔ)：機(jī)械動(dòng)力學(xué)（MechanicalKinetics）流體動(dòng)力學(xué)（Hydrokinetics)電工電子技術(shù)（Electro-technics&Electronics）3-2系統(tǒng)微分方程的建立主要研究三類系統(tǒng)：機(jī)械系統(tǒng)（MechanicalSystem）液壓系統(tǒng)（HydraulicSystem）電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（ElectricCircuitSystem）61.機(jī)械系統(tǒng)(MechanicalSystems)分為：直線運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和二者兼有三種情況。遵循達(dá)朗貝爾（J.d’Alembert）原理：即系統(tǒng)中某一質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力等于作用于該點(diǎn)的所有外力的和。或者7直線運(yùn)動(dòng)(Linearmovement）彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)（Spring-Mass-DamperSystem)8回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：扭轉(zhuǎn)彈簧、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、回轉(zhuǎn)阻尼(Torsional-spring，Rotating-inertia,Rotating-damp)9ExamplesofMechanicalSystems（1）10ExamplesofMechanicalSystems（2）11ExamplesofMechanicalSystems（3）12—EquivalentInertia—EquivalentDamp—EquivalentOutputTorque13即，系統(tǒng)可等效如下：液壓系統(tǒng)（HydraulicSystem）流體遵循質(zhì)量守恒定律，即流體連續(xù)方程：模型簡(jiǎn)化（modelsimplification）：用集中參數(shù)代替分布參數(shù)，并進(jìn)行非線性特性的線性化處理即15ExampleofHydraulicSystem1617遵循的定律：基爾霍夫（Kirchhoff）電流定律

基爾霍夫電壓定律

3.電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(ElectricCircuitSystems)組成元件：電感、電阻和電容（inductance，resistance，capacitance）18ExampleofCircuitSystemCircuitI：CircuitII：output：19203-3傳遞函數(shù)（TransferFunction）1.傳遞函數(shù)的基本概念（ConceptofT.F.)

對(duì)單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)，在初始條件為零的條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。對(duì)于n階線性定常系統(tǒng)的微分方程：

21對(duì)其在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換：即得傳遞函數(shù)：22傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，它只反映系統(tǒng)在零初始條件下（或者未加輸入前系統(tǒng)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)）的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)，與外界輸入無關(guān)。對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，；因?yàn)閷?shí)際的物理系統(tǒng)總存在慣性，輸出不會(huì)超前于輸入。一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一對(duì)輸入、輸出間的關(guān)系。傳遞函數(shù)不說明被描述的系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)，只要其動(dòng)態(tài)特性相同，就可以用同一類型的傳遞函數(shù)來描述-此為相似系統(tǒng)。傳遞函數(shù)是關(guān)于s的有理分式函數(shù)。傳遞函數(shù)與其微分方程、零極點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

傳遞函數(shù)的特點(diǎn)（FeaturesofT.F.)23當(dāng)時(shí)，，為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；，稱為系統(tǒng)的特征方程，它的根稱為系統(tǒng)的特征根（也就是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）2.傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)（zeros&poles）243.傳遞函數(shù)的典型環(huán)節(jié)

TypicalElementsofT.F.比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)

25設(shè)系統(tǒng)有:b

個(gè)實(shí)零點(diǎn)；c

對(duì)復(fù)零點(diǎn)；

d個(gè)實(shí)極點(diǎn)；e對(duì)復(fù)極點(diǎn)；λ個(gè)零極點(diǎn)b+2c=mv+d+2e=nn≥m比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)s-微分環(huán)節(jié)-延遲環(huán)節(jié)26①環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；②一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；③同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用.說明注意系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)中的比例環(huán)節(jié)，是去掉微、積分環(huán)節(jié)，再令s

0所得到的值27運(yùn)算放大器（Operational-Amplifier）28復(fù)阻抗（Complexresistance）利用復(fù)阻抗概念，可以直接求電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)29運(yùn)算放大器（Operational-Amplifier）其它比例環(huán)節(jié)：減速器，晶體管放大器，…30DifferentialCircuit實(shí)際微分存在慣性

(T1

0即為理想微分)31MechanicalhaulingEngine32Armature-controlledDCMotor33帶鋼軋制過程中厚度的測(cè)量水箱進(jìn)水管進(jìn)水量的測(cè)量超越函數(shù)的近似處理34延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值。y(t)x(t)=1(t)T2T3T4T5T63.2%86.5%95%98.2%99.3%延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0-τ時(shí)間內(nèi)沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。y(t)x(t)=1(t)τ035機(jī)械系統(tǒng)與電網(wǎng)路在元器件和變量方面都有很多可比擬之處。如機(jī)械系統(tǒng)也有三個(gè)無源被動(dòng)的線性元件：質(zhì)量和彈簧是儲(chǔ)能元件，粘性阻尼器是耗能元件。這兩個(gè)儲(chǔ)能元件可以比作電子儲(chǔ)能元件中的電感和電容；耗能元件就像電阻。

機(jī)械系統(tǒng)與電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的相似性36因?yàn)殡娮釉骷噍^于機(jī)械零部件的成本要低很多，基于這種相似性，在分析與設(shè)計(jì)機(jī)械控制系統(tǒng)時(shí)，人們想出了用電子元器件模擬機(jī)械零部件的解決方案。比如有“電子阻抗”的概念，又衍生出“機(jī)械阻抗”的概念。利用基于Kirchhoff定理的電路系統(tǒng)方程與機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程之間的相似性，可以用一個(gè)等效的電路來模擬機(jī)械系統(tǒng)，此電路的性能參數(shù)能夠很好地模擬機(jī)械系統(tǒng)的參數(shù)。

這些知識(shí)可參見相關(guān)的文獻(xiàn)。373-4

方框圖及動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成

BlockDiagram&ConstituentsofDynamicsystem主要內(nèi)容：方框圖動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成方框圖的簡(jiǎn)化規(guī)則畫系統(tǒng)方框圖及其求傳遞函數(shù)的步驟

381.方框圖（BlockDiagram）信號(hào)線：為有方向的線段，其上標(biāo)注信號(hào)功能框：方框中標(biāo)注環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相加點(diǎn)（比較點(diǎn)）：相加減的量應(yīng)具有相同的因次信號(hào)引出點(diǎn)（分支點(diǎn)）：方框圖與傳遞函數(shù)一樣包含了與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有關(guān)的信息，但和系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)并不是一一對(duì)應(yīng)的。它也是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。方框圖組成392.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的構(gòu)成(1)串聯(lián)（CascadeConnection）特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)40（2）并聯(lián)（ParallelConnection)特點(diǎn)：各環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)相同，輸出為各環(huán)節(jié)的輸出之和結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和(差)。n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)41（3）反饋連接(feedbackConnection)前向傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：誤差傳遞函數(shù)：42多反饋回路連接（multi-feedbackloops）43（4）帶干擾作用的閉環(huán)控制系統(tǒng)

Closed-loopSystemwithDisturbanceSignal443.方框圖的簡(jiǎn)化

（BlockDiagramReduction)目標(biāo)：化交叉環(huán)路為“回”字形環(huán)路，先內(nèi)環(huán)后外環(huán)去掉反饋

變換原則：

前向通道的傳遞函數(shù)保持不變；各反饋回路的傳遞函數(shù)保持不變。

為了由系統(tǒng)的方框圖方便地寫出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對(duì)方框圖進(jìn)行簡(jiǎn)化（等效變換）。換個(gè)說法，即方框圖的等效變換必須遵守原則：變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。45有關(guān)移動(dòng)中，“前”、“后”的定義：按信號(hào)流向定義，也即信號(hào)從“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方框經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式連接而成。三種基本形式的等效簡(jiǎn)化法則在前面已經(jīng)講述，一定要掌握。為了達(dá)到將交叉環(huán)路變?yōu)榛刈中苇h(huán)路目標(biāo)，可以采用兩種途徑來實(shí)現(xiàn)：（1）分支點(diǎn)（信號(hào)引出點(diǎn)，branchpoint）的移動(dòng)（2）相加點(diǎn)（比較點(diǎn)，summingpoint）的移動(dòng)46縮小

放大放大

縮?。?）分支點(diǎn)（信號(hào)引出點(diǎn)）的移動(dòng)47（2）相加點(diǎn)（比較點(diǎn)）的移動(dòng)縮小

放大放大

縮小48Example494.畫系統(tǒng)方框圖及求其傳遞函數(shù)的步驟畫系統(tǒng)方框圖及求傳遞函數(shù)的一般步驟為：

確定系統(tǒng)的輸入與輸出；列寫微分方程；初始條件為零，對(duì)各微分方程取拉氏變換得到s方程；將各拉氏變換式（s方程）分別以方框圖表示，然后連成系統(tǒng)，求系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)。50Example畫圖3-42所示電網(wǎng)絡(luò)的方框圖，求傳遞函數(shù)。

513-5機(jī)、電系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

TransferFunctionsofMechanical&ElectricSystems設(shè)加速度計(jì)殼體相對(duì)于某固定參照物（地球）的位移為，并設(shè)殼體的加速度為輸入信號(hào)；設(shè)質(zhì)量相對(duì)于殼體的位移為輸出信號(hào)。的正方向如圖中所示。加速度計(jì)（accelerometor）的傳遞函數(shù)圖示為簡(jiǎn)單的線位移加速度計(jì)的原理圖，由敏感質(zhì)量m、阻尼B、彈簧k以及基座組成。52因?yàn)閥是相對(duì)于殼體度量的，所以質(zhì)量m相對(duì)于地球的位移是（x+y)，于是該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為即或用典型二階系統(tǒng)表示為：其輸入為加速度，輸出y為質(zhì)量相對(duì)于基座殼體的位移。加速度計(jì)的傳遞函數(shù)53其傳遞函數(shù)為將其分子、分母同除以，得當(dāng)，可得即，在時(shí)域中可表示為54本章總結(jié)建立系統(tǒng)微分方程的方法傳遞函數(shù)的概念及求傳遞函數(shù)方框圖的簡(jiǎn)化基本連接方式串聯(lián)、并聯(lián)和反饋的簡(jiǎn)化比較點(diǎn)、分支點(diǎn)的移動(dòng)根據(jù)微分方程推出s方程并畫系統(tǒng)方框圖的方法1.建模的兩種基本方法：機(jī)理分析法和實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法。55求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換S=jω頻率特性2.系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相互關(guān)系56本章作業(yè)3.1（c）（e）3.23.3（c）（d）3.53.6（c）（d）3.83.93.10（b）3.123.13（b）57

Chapter4

Thetransientresponse&erroranalysisofControlSystems

控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析FundamentalsofMechanicalControl機(jī)械控制理論基礎(chǔ)58主要內(nèi)容(MainContents)時(shí)間響應(yīng)

(timeresponse)一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)(timeresponseofthefirst-ordersystem)二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)(timeresponseofthesecond-ordersystem)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析(dynamicanalysisofhigh-ordersystems)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)(thepropertiesoftransientresponse)系統(tǒng)誤差分析(erroranalysisofcontrolsystems)59系統(tǒng)分析方法時(shí)域分析方法(time-domainmethod)頻域分析方法(frequency-domainmethod)時(shí)域分析采用的輸入信號(hào)（激勵(lì)信號(hào)）：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)、單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位加速度函數(shù)。頻域分析采用的輸入信號(hào)：正弦函數(shù)或余弦函數(shù)。604.1時(shí)間響應(yīng)的概念

(Theconceptoftimeresponse)系統(tǒng)在輸入作用下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，即系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。典型的輸入信號(hào)：階躍函數(shù)1(t)，脈沖函數(shù)δ(t)，斜坡函數(shù)t，加速度函數(shù)線性系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是其微分方程式的解。611.時(shí)間響應(yīng)的分類：說明：本章討論系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，均在系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的前提下。有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，在后續(xù)章節(jié)研究。按響應(yīng)的不同時(shí)段，分為瞬態(tài)響應(yīng)：在輸入作用下系統(tǒng)輸出從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：在輸入作用下系統(tǒng)在時(shí)間趨于無窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。零輸入響應(yīng)：無輸入時(shí)由系統(tǒng)初始狀態(tài)（系統(tǒng)初始時(shí)刻儲(chǔ)能）引起的輸出零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，僅由系統(tǒng)外加輸入引起的輸出按輸入形式，分為自然響應(yīng)：由系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的輸出，即微分方程的通解部分強(qiáng)迫響應(yīng)：由外加輸入所決定的輸出，即微分方程的特解部分按響應(yīng)來源，分為62瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)(transientresponse)：當(dāng)系統(tǒng)受到外加作用激勵(lì)后，從初始狀態(tài)到最后狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。如圖4-1所示，當(dāng)系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)激勵(lì)下在0到時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)過程為瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steadystateresponse)：時(shí)間趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如圖4-1中，當(dāng)時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出。瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離系統(tǒng)希望值的程度反映了系統(tǒng)的精確程度。632．脈沖響應(yīng)函數(shù)（或權(quán)函數(shù)weightfunction）系統(tǒng)受到一個(gè)單位脈沖激勵(lì)（輸入）時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)（輸出）即脈沖響應(yīng)函數(shù)。

當(dāng)，；

上式表明，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。該結(jié)論是線性定常系統(tǒng)的重要特性，但不適用于線性時(shí)變及非線性系統(tǒng)。當(dāng)，64當(dāng)為任意函數(shù)時(shí)它提供了一個(gè)極為簡(jiǎn)單而重要的利用實(shí)驗(yàn)方法來建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的理論及實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。

65例4-1系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為系統(tǒng)輸入如圖4-5所示，求系統(tǒng)的輸出利用卷積分和拉氏變換兩種方法做664.2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為

典型一階系統(tǒng)的方塊圖及其簡(jiǎn)化形式如圖4-9（a），(b)所示。T稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)(timeconstant)，是反映一階系統(tǒng)固有特性的參數(shù)，與外界無關(guān)。67圖4-8略去質(zhì)量的彈簧－阻尼系統(tǒng)一階系統(tǒng)的實(shí)例：

圖4-7轉(zhuǎn)動(dòng)環(huán)節(jié)

68一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)，即

則有

進(jìn)行拉氏反變換，可得

69[例]如圖所示為實(shí)驗(yàn)獲得的單位階躍響應(yīng)曲線，可辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)

一階系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響

70一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

當(dāng)輸入為單位脈沖函數(shù)，即

則有

進(jìn)行拉氏反變換，可得

71一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)，即

則有

進(jìn)行拉氏反變換，可得

對(duì)其求導(dǎo)，可得

這正是其單位階躍響應(yīng)。

724.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為

典型二階系統(tǒng)的方塊圖及其簡(jiǎn)化形式如圖4-14（a），(b)所示。式中，稱為無阻尼固有頻率，稱為阻尼比。它們是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),表明系統(tǒng)本身的固有特性。

73例：如圖所示彈簧－質(zhì)量－阻尼系統(tǒng)

742.二階系統(tǒng)的特征根分布二階系統(tǒng)的特征方程為

特征根為

當(dāng)阻尼比為不同取值時(shí)的特征根分布為

753.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)⑴欠阻尼情況（）

此時(shí)二階系統(tǒng)的特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根

當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，輸出為

其響應(yīng)為：

衰減振蕩

763.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（2）零阻尼情況（）

此時(shí)二階系統(tǒng)的特征方程有一對(duì)共軛虛根

當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，輸出為

其響應(yīng)為：

等幅振蕩

773.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（3）臨界阻尼情況（）

此時(shí)二階系統(tǒng)的特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根

當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，輸出為

其響應(yīng)為：

無振蕩

783.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（4）過阻尼情況（）

此時(shí)二階系統(tǒng)的特征方程有兩個(gè)不同實(shí)根

當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)，輸出為

其響應(yīng)為：

無振蕩

793.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)804.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當(dāng)輸入為單位脈沖函數(shù)時(shí)此時(shí)二階系統(tǒng)的響應(yīng)，可以由拉普拉斯變換求，也可以對(duì)其相應(yīng)阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)微分求得。此處不再詳述。用MATLAB畫出二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如下圖：814.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)824.4高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一般情況下，我們將三階或三階以上的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。本節(jié)主要定性分析極點(diǎn)對(duì)高階系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫成如下形式

在單位階躍信號(hào)作用下，可以求得高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)為83閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

一般地說，所謂閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)是指在系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)中，距離虛軸最近且周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn)，而所有其它極點(diǎn)都遠(yuǎn)離虛軸。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，其它極點(diǎn)的影響在近似分析中則可忽略不計(jì)。

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)角度來講，一般希望系統(tǒng)既有較快的響應(yīng)速度，又有較好的穩(wěn)定性，因此通常閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：

此時(shí)，高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可以由這一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)所確定的二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)來近似。

84例4-2

已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為三個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)分別為：85用MATLAB畫時(shí)間響應(yīng)曲線closeall;clear;clc;%輸入?yún)?shù)num0=[1];den0=[1,1,1];den1=conv([0.1,1],[1,1,1]);den2=conv([5,1],[1,1,1]);Gs0=tf(num0,den0);Gs1=tf(num0,den1);Gs2=tf(num0,den2);%求階躍響應(yīng)t=[0:0.4:30];[y0,t]=step(Gs0,t);[y1,t]=step(Gs1,t);[y2,t]=step(Gs2,t);%繪制響應(yīng)曲線figure(1);plot(t,y0,'b‘,t,y1,‘ro',t,y2,'kx');gridon;

xlabel('時(shí)間/s');ylabel('輸出');86用MATLAB求其單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。

874.5系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)一般對(duì)機(jī)械工程系統(tǒng)有三方面的性能要求，即穩(wěn)定性、快速性及準(zhǔn)確性。

有關(guān)穩(wěn)定性將在第6章介紹；系統(tǒng)的準(zhǔn)確性則以本章論述的誤差來衡量；本章討論的系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)反映了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)性能，表征系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和快速性。

88通常，在以下假設(shè)前提下來定義系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)（也稱過渡過程）的性能指標(biāo)：（1）系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)；（2）初始條件為零，即在單位階躍輸入作用前，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。1．瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)之所以選擇單位階躍作為輸入，因?yàn)殡A躍輸入對(duì)于系統(tǒng)來說，工作狀態(tài)較為惡劣，如果系統(tǒng)在階躍信號(hào)作用下有良好的性能指標(biāo)，則對(duì)其它各種形式輸入就能滿足使用要求。

89延遲時(shí)間(delaytime)上升時(shí)間(risetime)峰值時(shí)間(peaktime)超調(diào)量(percentovershoot)調(diào)整時(shí)間(settlingtime)

1．瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)902.

二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)（1）上升時(shí)間tr即：令因?yàn)樗缘卯?dāng)一定，當(dāng)一定，91（2）峰值時(shí)間即：92（3）超調(diào)量Mp超調(diào)量Mp只與阻尼比有關(guān)，而與固有頻率無關(guān)。一般希望，此時(shí)超調(diào)量為25%~1.5%。定義93（4）調(diào)整時(shí)間ts

根據(jù)定義即取近似可得94在欠阻尼時(shí)，當(dāng)當(dāng)95（5）振蕩次數(shù)N在過渡過程時(shí)間0≤t≤ts內(nèi)，c(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值c(∞)的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。

96總結(jié)：二階系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響①當(dāng)系統(tǒng)阻尼比ξ一定，ωn↑時(shí)，不變，↓，↓，↓，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性（靈敏性）↑，反之…②當(dāng)ωn一定，ξ（0<ξ<1）↑時(shí)，↓，↓，↑，↑，即

系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性↑，但快速性（靈敏性）↓；反之…，一般設(shè)計(jì)時(shí)取ξ=0.4~0.8，此時(shí)超調(diào)量為25%~1.5%③最佳阻尼比ξ=0.707④在分析和設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)綜合考慮系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和相對(duì)穩(wěn)定性，一般先根據(jù)超調(diào)量要求確定ξ，然后調(diào)整ωn使其滿足系統(tǒng)快速性要求97二階系統(tǒng)特征根變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響98①系統(tǒng)阻尼比ξ一定，Mp不變，ωn↑②系統(tǒng)ts不變，ξ↓，ωn↑③系統(tǒng)tp不變，ξ↑

，ωn↑99Examples例4-3已知求單位階躍信號(hào)輸入時(shí)的100例4-4如圖為在質(zhì)量塊m上施加3N階躍力后的時(shí)間響應(yīng)，求系統(tǒng)的m，k和B值。Examples101解：由圖可知

102103例4-5 有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其方塊圖如圖4-23（a）所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí)，要求，（1）校核該系統(tǒng)的各參數(shù)是否滿足要求；（2）在原系統(tǒng)中增加一微分負(fù)反饋如圖4-23（b）所示。求滿足要求時(shí)的微分負(fù)反饋時(shí)間常數(shù)。Examples104加入微分反饋前加入微分反饋后1053．零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的影響以二階系統(tǒng)為例:典型含零點(diǎn)的欠阻尼二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：該系統(tǒng)在典型二階系統(tǒng)基礎(chǔ)上增加了一個(gè)零點(diǎn)

上式可改寫為

則其單位階躍響應(yīng)為106例4-6

一位置伺服系統(tǒng)如圖4-24所示。為了提高系統(tǒng)的阻尼分別在前向通道和反饋通道采用比例加微分控制器。試分別求各系統(tǒng)阻尼比、無阻尼自然頻率，以及單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時(shí)間、調(diào)整時(shí)間

107解：（1）由圖4-24（a）可得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其108（2）由圖4-24（b）可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為其109（3）由圖4-24（c）可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，即時(shí)

其響應(yīng)可表達(dá)為110其中111用MATLAB畫出單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。

112例4-7已知二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試分別用MATLAB求其單位階躍響應(yīng)。并表示在同一圖上，分析零點(diǎn)的影響。113用MATLAB畫出單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。

114結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響主要有以下幾方面：①零點(diǎn)的加入使系統(tǒng)超調(diào)量增大，而上升時(shí)間，峰值時(shí)間減??；②當(dāng)附加零點(diǎn)愈靠近虛軸，其對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響愈大；③當(dāng)附加零點(diǎn)與虛軸距離很大時(shí)，則其影響可以忽略。1151

誤差的基本概念3

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差4

擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差5

提高穩(wěn)態(tài)精度的措施偏差與誤差4.6控制系統(tǒng)的誤差分析2

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（類型）116偏差與誤差偏差誤差1171)只有當(dāng)H(s)=1時(shí)，誤差才等于偏差。2)通?？刂葡到y(tǒng)的“誤差分析”，分析的是系統(tǒng)的偏差E(s)，因?yàn)槠钕鄬?duì)來說易于測(cè)量。3)本章誤差分析同樣也是分析系統(tǒng)的偏差的。確切一點(diǎn)說，是要詳細(xì)分析討論不同類型的系統(tǒng)在不同的輸入信號(hào)作用下的系統(tǒng)偏差。說明118造成誤差的原因*本節(jié)所討論的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差，指的是沒有隨機(jī)干擾、元件也是理想的線性元件情況下，由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)和施加的輸入信號(hào)類型所導(dǎo)致的誤差（原理性誤差）隨機(jī)干擾-系統(tǒng)隨機(jī)誤差系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（類型）的不同輸入信號(hào)（包括確定的干擾信號(hào)）的不同機(jī)械系統(tǒng)中的摩擦、磨損、變形以及間隙等（非線性因素）-系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性誤差原理性誤差119誤差（error）：系統(tǒng)響應(yīng)e(t)（即剛才所講的偏差!!）穩(wěn)態(tài)誤差（steadystateerror）：瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量控制信號(hào)作用下擾動(dòng)作用下1.

誤差的基本概念120系統(tǒng)在控制信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差e(t)的穩(wěn)態(tài)分量誤差傳遞函數(shù)誤差函數(shù)終值定理121系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差：瞬態(tài)過程結(jié)束后誤差eN(t)的穩(wěn)態(tài)分量干擾誤差傳遞函數(shù)干擾產(chǎn)生的誤差122穩(wěn)態(tài)誤差測(cè)試信號(hào)

單位階躍輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入

工程上通常選用三種輸入信號(hào)來評(píng)測(cè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：階躍（step）信號(hào)，斜坡（ramp）信號(hào)，拋物線（parabola）信號(hào)123

階躍輸入信號(hào)代表一個(gè)給定位置，適用于評(píng)測(cè)控制系統(tǒng)定位跟蹤一個(gè)靜態(tài)目標(biāo)的能力。如衛(wèi)星對(duì)地同步軌道定位系統(tǒng)，天線定位控制系統(tǒng)等，都是用階躍信號(hào)測(cè)試定位精度的典型例子。

斜坡輸入表示對(duì)一個(gè)位置控制系統(tǒng)輸入一個(gè)勻速信號(hào)，信號(hào)幅值呈線性增長(zhǎng)。斜坡信號(hào)適用于測(cè)試控制系統(tǒng)跟隨線性增長(zhǎng)信號(hào)（即勻速信號(hào))的能力。例如，某位置控制系統(tǒng)要跟蹤一個(gè)勻速穿越天空的衛(wèi)星，就可以用斜坡信號(hào)來測(cè)試計(jì)算衛(wèi)星角度位置與控制系統(tǒng)的角位置之間偏差。

拋物線信號(hào)，其二階導(dǎo)數(shù)是常數(shù)，表示對(duì)一個(gè)位置控制系統(tǒng)輸入一個(gè)勻加速目標(biāo)信號(hào)，用以測(cè)試其穩(wěn)態(tài)誤差性能。如跟蹤導(dǎo)彈目標(biāo)三種測(cè)試信號(hào)的應(yīng)用

124

：0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng) ：II型系統(tǒng)2.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)類型）由開環(huán)傳遞函數(shù)定義系統(tǒng)的類型與開環(huán)增益：:開環(huán)增益

影響穩(wěn)態(tài)誤差的因素：輸入、干擾，開環(huán)增益以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。125穩(wěn)態(tài)誤差3.

靜態(tài)(穩(wěn)態(tài)）誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差其中所以系統(tǒng)的類型、開環(huán)增益以及輸入都會(huì)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響。

為系統(tǒng)的類型，為開環(huán)增益

：0型系統(tǒng)：I型系統(tǒng) ：II型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差126靜態(tài)(穩(wěn)態(tài)）誤差系數(shù)當(dāng)輸入單位階躍信號(hào)當(dāng)輸入單位斜坡信號(hào)當(dāng)輸入單位拋物線信號(hào)靜態(tài)位置誤差系數(shù)：靜態(tài)速度誤差系數(shù)：靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：1270型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差0型階躍輸入的有差系統(tǒng)()128I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差()I型斜坡輸入的有差系統(tǒng)129II型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差I(lǐng)I型拋物線輸入的有差系統(tǒng)()130穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差不同系統(tǒng)在不同的控制信號(hào)作用下減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差方法提高系統(tǒng)的開環(huán)增益增加開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性131盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對(duì)速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。如果輸入量非單位量時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差按比例增加。例1、例2系統(tǒng)在多個(gè)信號(hào)共同作用下總的穩(wěn)態(tài)誤差等于多個(gè)信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差之和。注意:132例1：I型單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)增益K=600s-1,系統(tǒng)最大跟蹤速度

max=24/s，求系統(tǒng)在最大跟蹤速度下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：?jiǎn)挝凰俣容斎胂碌姆€(wěn)態(tài)誤差I(lǐng)型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為133例2：閥控油缸伺服工作臺(tái)要求定位精度為0.05cm,該工作臺(tái)最大移動(dòng)速度vmax=10cm/s，若系統(tǒng)為I型，試求系統(tǒng)開環(huán)增益。