2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定教案 新人教A版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定教案新人教A版必修2課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)必修2

3.授課時(shí)間：2課時(shí)

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：90分鐘

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面與平面垂直的判定定理

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理判斷兩個(gè)平面是否垂直

3.提高空間想象能力和邏輯思維能力

三、教學(xué)內(nèi)容

1.回顧平面與平面垂直的定義和判定定理

2.講解平面與平面垂直的判定定理的證明過程

3.通過例題演示如何運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理解決問題

4.學(xué)生練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)

四、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：通過復(fù)習(xí)平面與平面垂直的定義和判定定理，引出本節(jié)課的主題

2.新課講解：詳細(xì)講解平面與平面垂直的判定定理，并通過動(dòng)畫演示證明過程

3.例題講解：選取典型例題，展示如何運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理解決問題

4.學(xué)生練習(xí)：布置相關(guān)練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固所學(xué)知識(shí)

5.總結(jié)：對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂講解：觀察學(xué)生聽講情況，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度

2.練習(xí)題：檢查學(xué)生練習(xí)題的完成情況，評(píng)估學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力

六、教學(xué)資源

1.教材：新人教A版必修2

2.多媒體課件：動(dòng)畫演示平面與平面垂直的判定定理的證明過程

3.練習(xí)題：選取合適的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)

七、教學(xué)建議

1.課前準(zhǔn)備：讓學(xué)生預(yù)習(xí)教材，了解基本概念和判定定理

2.課堂互動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論，提高課堂氛圍

3.課后輔導(dǎo)：對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生進(jìn)行課后輔導(dǎo)，確保知識(shí)點(diǎn)的掌握

八、教學(xué)注意事項(xiàng)

1.注重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，打下扎實(shí)的基礎(chǔ)

2.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力

3.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理，學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述和解釋現(xiàn)實(shí)世界中的空間關(guān)系，提高解決實(shí)際問題的能力。同時(shí)，通過課堂討論和練習(xí)，學(xué)生能夠培養(yǎng)合作交流和自主學(xué)習(xí)的能力，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和創(chuàng)造性思維。三、重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.平面與平面垂直的判定定理的理解和運(yùn)用

2.空間想象能力的培養(yǎng)

難點(diǎn)：

1.理解并證明平面與平面垂直的判定定理

2.在復(fù)雜空間圖形中運(yùn)用判定定理解決問題

解決辦法：

1.對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容，通過多媒體動(dòng)畫演示和幾何模型展示，幫助學(xué)生直觀理解平面與平面垂直的判定過程，增強(qiáng)空間想象能力。

2.對(duì)于難點(diǎn)內(nèi)容，通過分組討論、師生互動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解證明過程，并通過適量練習(xí)題鞏固應(yīng)用。

3.鼓勵(lì)學(xué)生提問和發(fā)表不同見解，及時(shí)解答學(xué)生疑問，確保學(xué)生能夠有效克服難點(diǎn)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：教師通過提出問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的判定定理，激發(fā)學(xué)生的思考和探究興趣。

2.案例分析法：通過分析具體案例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何運(yùn)用平面與平面垂直的判定定理解決問題，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

3.小組合作法：將學(xué)生分成小組，進(jìn)行討論和交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用多媒體課件，通過動(dòng)畫演示和圖片展示，直觀地呈現(xiàn)平面與平面垂直的判定過程，幫助學(xué)生建立空間觀念。

2.網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)：利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，發(fā)布教學(xué)資源和練習(xí)題，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)。

3.教學(xué)軟件：運(yùn)用幾何畫板等教學(xué)軟件，讓學(xué)生在操作中體驗(yàn)和理解平面與平面垂直的判定定理，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)“平面與平面垂直的判定”的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場(chǎng)提問：“你們知道什么是平面與平面垂直嗎？它在我們生活中有什么實(shí)際意義？”

展示一些關(guān)于平面與平面垂直的圖片或簡(jiǎn)單幾何模型，讓學(xué)生初步感受這一概念的實(shí)際應(yīng)用。

簡(jiǎn)短介紹平面與平面垂直的基本概念和其在幾何學(xué)中的重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解平面與平面垂直的基本概念、判定方法和原理。

過程：

講解平面與平面垂直的定義，包括其主要判定條件和應(yīng)用。

詳細(xì)介紹平面與平面垂直的判定方法，使用幾何圖形和實(shí)例幫助學(xué)生理解。

3.案例分析與練習(xí)（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解平面與平面垂直的特性和重要性。

過程：

選擇幾個(gè)典型的平面與平面垂直的案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解平面與平面垂直的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際幾何問題解決的影響，以及如何應(yīng)用平面與平面垂直的判定方法解決實(shí)際問題。

布置練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成，鞏固所學(xué)知識(shí)。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與平面與平面垂直相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)平面與平面垂直的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)平面與平面垂直的重要性和意義。

過程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括平面與平面垂直的基本概念、判定方法和案例分析等。

強(qiáng)調(diào)平面與平面垂直在幾何學(xué)中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用平面與平面垂直的知識(shí)。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于平面與平面垂直的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-推薦閱讀《幾何學(xué)中的位置關(guān)系》一書，其中包含了關(guān)于點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的深入講解和豐富案例。

-推薦學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)雜志或期刊，如《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)的奧秘》等，尋找與平面與平面垂直相關(guān)的研究文章或教學(xué)論文。

-鼓勵(lì)學(xué)生瀏覽數(shù)學(xué)學(xué)科網(wǎng)站，如“中國(guó)數(shù)學(xué)教育網(wǎng)”、“數(shù)學(xué)家園”等，尋找與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)資源和解題思路。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-讓學(xué)生思考現(xiàn)實(shí)生活中還有哪些場(chǎng)景涉及到平面與平面垂直的應(yīng)用，嘗試舉例說(shuō)明。

-布置一道openproblems或researchquestions，如“在三維空間中，如何判斷一個(gè)點(diǎn)是否在某個(gè)平面的正上方？”

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究項(xiàng)目，如全國(guó)高中生數(shù)學(xué)競(jìng)賽、青少年數(shù)學(xué)國(guó)際競(jìng)賽等，提升自己的數(shù)學(xué)水平和研究能力。

-引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源和圖書館書籍，深入研究平面與平面垂直的判定方法的起源和發(fā)展歷程。

3.課后作業(yè)與實(shí)踐：

-布置一些具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立解決，如證明題、綜合應(yīng)用題等。

-讓學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何模型，展示平面與平面垂直的判定過程，并拍攝視頻或制作PPT進(jìn)行講解。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)論壇或社交媒體討論，分享自己對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的理解和心得。七、典型例題講解例題1：

已知平面α過點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(4,6,8)，平面β過點(diǎn)C(0,1,2)和點(diǎn)D(2,4,6)。證明平面α與平面β垂直。

解答：

步驟1：首先，我們需要確定兩個(gè)平面的法向量。

步驟2：對(duì)于平面α，法向量可以通過點(diǎn)A和點(diǎn)B來(lái)確定，即nα=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步驟3：對(duì)于平面β，法向量可以通過點(diǎn)C和點(diǎn)D來(lái)確定，即nβ=CD=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,2)。

步驟4：接下來(lái)，我們計(jì)算兩個(gè)法向量的點(diǎn)積，即nα·nβ=3×2+4×3+5×2=6+12+10=28。

步驟5：由于點(diǎn)積等于0，我們可以得出結(jié)論，nα⊥nβ，即平面α與平面β垂直。

例題2：

已知直線l過點(diǎn)P(1,2,3)和點(diǎn)Q(4,6,8)，且直線l與平面α垂直。求平面α的一個(gè)法向量。

解答：

步驟1：由于直線l與平面α垂直，因此直線l的方向向量也與平面α的法向量垂直。

步驟2：直線l的方向向量可以通過點(diǎn)P和點(diǎn)Q來(lái)確定，即l=PQ=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步驟3：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為nα=(x,y,z)。

步驟4：由于l·nα=0，我們可以得到方程3x+4y+5z=0。

步驟5：為了找到一個(gè)特定的法向量，我們可以取x=1，從而得到nα=(1,-3/4,-5/4)。

例題3：

已知點(diǎn)A(1,2,3)在平面α上，點(diǎn)B(4,6,8)在平面α上，點(diǎn)C(0,1,2)在平面β上。求平面α與平面β的一個(gè)法向量。

解答：

步驟1：平面α的法向量可以通過點(diǎn)A和點(diǎn)B來(lái)確定，即nα=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步驟2：平面β的法向量可以通過點(diǎn)C來(lái)確定，即nβ=CC′=(0-1,1-2,2-0)=(1,-1,2)。

步驟3：設(shè)平面α與平面β的法向量的和為nα+nβ。

步驟4：由于nα·nβ=0，我們可以得到方程3×1+4×(-1)+5×2=0。

步驟5：解方程得到nα+nβ=(3,-4,10)。

例題4：

已知平面α與直線l垂直，直線l的方向向量為(2,3,4)。求平面α的一個(gè)法向量。

解答：

步驟1：平面α的法向量與直線l的法向量垂直，因此它們的點(diǎn)積為0。

步驟2：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為nα=(x,y,z)。

步驟3：由于nα·l=0，我們可以得到方程2x+3y+4z=0。

步驟4：為了找到一個(gè)特定的法向量，我們可以取x=1，從而得到nα=(1,-3/2,-2)。

例題5：

已知點(diǎn)A(1,2,3)在平面α上，點(diǎn)B(4,6,8)在平面α上，直線l過點(diǎn)A和點(diǎn)B。求平面α的一個(gè)法向量。

解答：

步驟1：由于點(diǎn)A和點(diǎn)B都在平面α上，因此直線AB是平面α上的一條直線。

步驟2：直線AB的方向向量可以通過點(diǎn)A和點(diǎn)B來(lái)確定，即l=AB=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。

步驟3：設(shè)平面α的一個(gè)法向量為nα=(x,y,z)。

步驟4：由于nα·l=0，我們可以得到方程3x+4y+5z=0。

步驟5：為了找到一個(gè)特定的法向量，我們可以取x=1，從而得到nα=(1,-3/4,-5/4)。八、板書設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課：

-展示平面與平面垂直的概念和重要性，引導(dǎo)學(xué)生思考其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

2.基礎(chǔ)知識(shí)講解：

-平面與平面垂直的定義和判定方法

-判定定理的證明過程

3.案例分析與練習(xí)：

-平面