中考初中數(shù)學(xué)-幾何必考證明題方法詳解

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中考初中數(shù)學(xué)-幾何必考證明題方法詳解

幾何證明題基本方法

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等.

2.同一三角形中等角對等邊.

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊.

4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點分成的兩段相等.

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距高相等.

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距圈相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等.

8.過三角形T的中點且平行T第三邊的直線分第二^成的線段相等.

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等.

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等.

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等.

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等.

13.等于同一線段的兩條線段相等.

二、證明兩個角相等

L兩全等三角形的對應(yīng)角相等.

2.同一三角形中等邊對等角.

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角.

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯角或平行四邊形的對角相等.

5.同角（或等角）的余角（或I卜角）相等.

*6同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的

弧對的圓周角.

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

8相似三角形的對應(yīng)角相等.

*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角.

10.等于同一角的兩個角相等

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行.

2.同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的兩直線平行.

3.平行四邊形的對邊平行.

4.三角形的中位線平行于第三邊.

5.悌形的中位線平行于兩底.

6.平行于同一直線的兩直線平行.

7.f直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊.

四、證明兩條直線互相垂直

L等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊.

2.三角形中一邊的中輻等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角.

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角.

4.鄰補角的平分線互相垂直.

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條.

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直.

7利用到兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上.

8利用勾股定理的逆定理.

9加J用菱形的對角線互相垂直.

1。在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?

11利用半圓上的圓周角是直角.

五、證明線段的和差倍分

L作兩條線段的和，證明與第三條線段相等.

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段.

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等.

4取長線段的中點，再證其一半等于短線段.

5利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三

角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）.

六、證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同.

2利用角平分線的定義.

3三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

七、證明線段不等

L同一三角形中，大角對大邊.

2.垂線段最短.

3三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大.

*5祠圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小.

6.全量大于它的任何一部分.

八、證明兩角的不等

L同一三角形中，大邊對大角.

2三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角.

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等,第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大.

*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大.

5.全量大于它的任何TU分.

九、證明比例式或等積式

1利用相似三角形對應(yīng)線段成比例.

2利用內(nèi)外角平分線定理.

3.平行線截線段成比例.

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理.

*5與圓有關(guān)的比例定理一相交弦定理、切割線定理及其推論.

6利用比fij式或等積式化得.

十、證明四點共圓

*1又寸角互補的四邊形的頂點共圓.

*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓.

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側(cè)）.

*4祠斜邊的直角三角形的頂點共圓.

*5.到頂點距離相等的各點共畫.

中考真題練習(xí)

1、已知梯形ABCD中ADiiBCAB=BC=DC點E、F分別在AD、AB上且NFCE=}/BCD

(1)求證：BF=EF-ED;

(2)雌AC,若NB=80°,zDEC=700,求zACF的度數(shù).

2,如圖，梯形ABCD中，ADllBC,點E在BC上，AE=BE,且AF_LAB,簸EF.

(1)若EF_LAF,AF=4,AB=6,求AE的長.

(2)若點F是CD的中點，求證：CE=BE-AD.

B5C

3,如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，ADllBC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,且

AC±BD,DH±BC.

(1)求證：DH=-1(AD+BC)；

(2)若AC=6,求梯形ABCD0?積.

4、已知，如圖，AABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DGIIBC,交AB于點G,在

GD的延長線上取點E,使DE=DC,連接AE,BD.

(1)求證：AAGE?DAB；

(2)過點E作EFllDB，交BC于點F,連AF,求，AFE的度數(shù).

5、如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,DE=EC,EFllAB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；

(2)gAD=l,BC=3,DC=V2,試判斷&DCF的做;

(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P,使APCD是等腰三角形，若存在,請直

接寫出PB的長；若不存在,請說明理由.

6、如圖,在梯形ABCD中，ADllBC,zABC=zBCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、

DC的延且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明：SBESADAF;

(2)求NBPF的度數(shù).

B

7、如圖，在梯形ABCD中ADUBC?AB=AD=DC,BD_LDC將BC延長至點F,使CF=CD

(1)求"BC的度數(shù)；

(2)如果BC=8,求9BF的面積？

8、如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且NAGD=60°,E、

F分別為CG、AB的中點.

(1)求證：AAGD為正三角形；

(2)求EF的長度.

Bc

9、已知，如圖，ADllBC,，ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點,zECD=45°,連接

ED，過D作DF_LBC于F.

(1)若NBEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周長.

(2)求證：ED=BE+FC.

10,(2005?鎮(zhèn)江)已知：如圖，梯形ABCD中，ADIIBC,E是AB的中點，直線CE交

DA的延長線于點F.

(1)求證:ABCE9AFE;

(2)若AB_LBC且BC=4,AB=6，求EF的長.

B

11,已知：如圖,在悌形ABCD中,ADllBC,BC=DC,CF平分，BCD,DFllAB,BF的

延長線交DC于點E.

求證：

(1)ABFC^DFC；

(2)AD=DE；

(3)若9EF的周長為6,AD=2,BC=5,求拂形ABCD的面積.

AD

12、如圖，梯形ABCD中，ADllBC.4=90°,且AB=AD.連接BD,過A點作BD的

垂線，交BC于E.

(1)求證：四邊形ABED是菱形；

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面積.

E

參考答案

1、已知梯形ABCD中ADiiBCAB=BC=DC點E、F分別在AD、AB上且NFCE=￡/BCD

(1)求證:BF=EF-ED;

(2)B^AC,若NB=80°,zDEC=700,求zACF的度數(shù).

證明:vFCsF'C,EC=EC,zECF'=zBCF+zDCE=zECF,

.“FCEaFCE,

.?.EF=EF=DF'+ED,

.-.BF=EF-ED；

(2)解：?.AB=BC,zB=80°,

.-.zACB=50°,

由(1)得ZFEC=NDEC=70°,

.-.zECB=70°,

而NB=NBCD=80°,

.-.zDCE=10°,

.-.zBCF=30°,

.-.zACF=zBCA-zBCF=20°.

2、如圖,梯形ABCD中，ADllBC,點E在BC上，AE=BE,且AF_LAB，連接EF.

(1)若EF±AF,AF=4,AB=6,求AE的長.

(2)若點F是CD的中點,求證：CE=BE-AD.

解：(1)作EM_LAB,交AB于點M.-AE=BE,EMJ.AB,

.,.AM=BM=-^x6=3;

-.zAME=zMAF=zAFE=90°,

.??四邊形AMEF是矩形，

/.EF=AM=3；

在Rt^AFE中，AE=^AF2+EF2=5；

(2)延長ARBC交于點N.

?,ADllEN,

/.zDAF=zN；

-.zAFD=zNFC,DF=FC,

.-.AADF^NCF(AAS),

.-.AD=CN;

-.zB+zN=90°,zBAE+zEAN=90°,

又AE=BE,zB=zBAE,

/.zN=zEAN,AE=EN,

/.BE=EN=EC+CN=EC+AD,

3、如圖，四硼ABCD為等解形，ADllBC,AB=CD,jt捅線AC、BD交于點。，自

AC±BD,DH±BC.

(1)求證：DHa-1(AD+BC)；

(2)若AC=6,求悌形ABCD的面積.

解：(1)證明：過D作DEIIAC交BC延長線于E,(1分)

,.ADIIBC,

二四邊形ACED為平行四邊形.(2分)

.-.CE=AD,DE=AC.

???四邊形ABCD為等腰悌形，

.,.BD=AC=DE.

-.AC±BD,

.-.DE±BD.

."DBE為等腰直角三角形.（4分）

-.DH±BC,

.?.DH*E=g(CE+BC)=-(AD+BC).(5分)

(2)-.AD=CE,

分)

Sg=1(AD+BC)-DH=1(CE+BC)-DH=SADBE?(7

???ADBE為等腰直角三角形BD=DE=6,

,?S△煙與＜6X6=18.

.??梯形ABCD的面積為18.(8分)

注：此題解題方法并不所.

4、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DGIIBC,交AB于點G,在

GD的延長線上蛾E,使DE=DC,朝AE,BD.

(1)求證：AAGEADAB；

(2)過點E作EFllDB,交BC于點F,連AF,求zAFE的度數(shù).

(1)證明："ABC是等邊三角形,DGIIBC,

.-.zAGD=zABC=60o,zADG=zACB=60°,HzBAC=60°,

.”AGD是等邊三角形，

AG=GD=AD,zAGD=60°.

-.DE=DC,.-.GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,

'.'zAGD=zBAD,AG=AD,

.,.AAG&ADAB;

(2)解：由(1)知人后=8。，zABD=zAEG.

,?EFllDB,DGllBC,

二四邊形BFED是平行四邊形.

/.EF=BD,

/.EF=AE.

??zDBC=zDEF,

.'.zABD+zDBC=zAEG+zDEF,§PzAEF=zABC=60°.

."AFE聘X角形,zAFE=60".

5、如圖,悌形ABCD中，ADIIBC,DE=EC,EFllAB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；

(2)若AD=1,BC=3,DC=&,試判斷2CF的形狀；

(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P,使WCD是等腰三角形，若存在,請直

接寫出PB的長;若不存在,請說明理由.

J

解：(1)證明：rEFuEC,

.-.zEFC=zECF,

vEFllAB,

.-.zB=zEFC,

???zB=zECF，.梯形ABCD聘蝌形；

(2?DCF是等腰直角三角形，

證明：DE=EC,EF=EC,r.EF哆D,

."CDF是直角三角形(如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形

是直角三角形),

?.梯形ABCD是等腰梯形，

/.CF=-i(BC-AD)=1,

VDC=V2,

二由勾股定理得：DF=1,BFC

DCF是等腰直角三角形；

(3)共四種情況：

-.DF±BC,

.?.當(dāng)PF=CF時，WCD是等腰三角形，

即PF=1,

.-.PB=1；

當(dāng)P與F重合時，APCD是等腰三角形，

/.PB=2；

當(dāng)PC=CD=&（P在點C的左側(cè)）時，△PCD是等腰三角形，

.-.PB=3-V2；

當(dāng)PC=CD=[2（P在點C的右側(cè)）時，APCD是等腰三角形，

.-.PB=3+V2.

故共四種情況：PB=1,PB=2,PB=3-V2,PB=3+V2.（每個1分）

6、如圖,在悌形ABCD中，ADllBC,zABC=zBCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、

DC的雁長線上，且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明：MBESADAF；

(2)求NBPF的度數(shù).

解答：(1)證明：：在悌形ABCD中，ADUBC,zABC=zBCD=60°,

.AB=CD,

?,AD=DC,

.-.BA=AD,zBAE=zADF=120°,

'.DE=CF,

,AE=DF,

在ABAE和AADF中，

<ZBAE=ZADF,

,AE=DF

.-.AABE^DAF(SAS).

(2)解：?.由(1)ABAESAADF,

.".zABE=zDAF.

.-.zBPF=zABE+zBAP=zBAE.

而ADiiBC,zC=zABC=60°,

.-.zBPF=120°.

7、如圖，在梯形ABCD中ADuBCAB=AD=DC,BD_LDC將BC延長至點F,使CF=CD

(1)求zABC的度數(shù)；

(2)如果BC=8,求9BF的面積？

.?.zADB=zDBC,

,-AB=AD,

.,.zADB=zABD,

.?.zDBC=zABD,

,?在梯形ABCD中AB=DC,

.-.zABC=zDCB=2zDBC,

vBDxDC,

.-?zDBC+2zDBC=90°

.?.zDBC=30°

.-.zABC=60°

(2作DH_LBC,垂助H,

.'.DC=4,

?.CF=CD.-.CF=4,

.'.BF=12,

---zF+zFDC=zDCB=60°,zF=zFDC

.-.zF=30°,

-.zDBC=30°,

.'.zF=zDBC,

.-.DB=DF,

在直角三角形DBH中tanNDBC=WJ,

DH

?'?tan30*=￥，

6

/.DH=2V3,

???SADBF《?BF?DH=]x12X2V3=12V3?

即ADBF的面積為12j§.

8,如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且zAGD=60°,E、

F分別為CG、AB的中點.

(1)求證：AAGD為正三角形；

(1)證明：連接BE,

?.悌形ABCD中，AB=DC,

.-.AC=BD,可證AAB9DCB,

.,.zGCB=zGBC,

X-zBGC=zAGD=60°

.”AGD為等邊三角形，

(2)解：:BE為ABCG的線，

.-.BE±AC,

在RHABE中，EF為斜邊AB上的中線,

9,已知，如圖，ADllBC,，ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點，zECD=45°,連接

ED,過D作DFJLBC于F.

(1)若NBEC=75。，F(xiàn)C=3,蝌形ABCD的局長.

(2)求證：ED=BE+FC.

解：(1)?.NBEC=75",zABC=90°,

.-.zECB=156,

-.zECD=45°,

.-.zDCF=60°,

在Rt^DFC中:zDCF=60°,FC=3,

.?.DF=3心DC=6,

由題得，四邊形ABFD是矩形,

.,.AB=DF=3>/3,

-.AB=BC,

.-.BC=3V3,

.-.BF=BC-FC=3V3-3,

..AD=DF=3V3-3,

叫ABCD=3>/^X2+6+3J5-3=9\/3+3,

答：梯形ABCD的周長是9百+3.

(2)過點C作CM垂直AD的延長線于M,再延長DM到

N，使MN=BE,

/.CN=CE,

可證NNCD=/DCE,XD=CD,

.“DEdDNC,

.-.ED=EN,

/.ED=BE+FC.

10、(2005?鎮(zhèn)江)已知：如圖，梯形ABCD中，ADllBC,E是AB的中點，直線CE交

DA的延長線于點F.

(1)求證：ABCEMAAFE;

(2)若AB_LB(:且BC=4,AB=6，求EF的長.

(1)證明：「ADUBC,E是AB的中點，

..AE=BE,zB=zEAF,zBCE=zF.

.“BC&AAFE(AAS).

(2)解：.ADllBC,

.-.zDAB=zABC=90°.

?,AE=BE,zAEF=zBEC,

."BC的AAFE.

.-.AF=BC=4.

???EF2=AF2+AE2=9+16=25,

..EF=5.

11,已知：如圖，在梯形ABCD中，ADllBC,BC=DC,CF平分工BCD,DFllAB,BF的

延長線交DC于點E.BC

求證：

(1)^BFC^DFC；

(2)AD=DE;

(3)