2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)：解三角形

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)解三角形考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理考點(diǎn)2解三角形及其綜合應(yīng)用題型1三角形形狀的判斷題型2三角形的最值和范圍問(wèn)題題型3三角形中線及角平分線問(wèn)題題型4解三角形的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)1正弦定理、余弦定理

正弦定理余弦定理內(nèi)容

=

=

=2Ra2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC變形公式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=

,sinB=

,sinC=

;

=2RcosA=

;cosB=

;cosC=?考點(diǎn)2解三角形及其綜合應(yīng)用1.在△ABC中,已知a,b和A,解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或

直角

圖形

關(guān)系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解2.三角形中常用的結(jié)論(1)在△ABC中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角,如:a>b?A>B?sinA>sinB.(2)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC

;sin

=cos

;cos

=sin

.(3)在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanBtanC.(4)三角形中的射影定理:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.3.三角形的面積公式設(shè)△ABC的三邊為a,b,c,所對(duì)的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,其面積為S,△ABC的外接圓半徑

為R,內(nèi)切圓半徑為r.(1)S=

ah(h為BC邊上的高);(2)S=

absinC=

acsinB=

bcsinA;(3)S=

(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑);(4)S=

.4.實(shí)際問(wèn)題中的常用角(1)仰角和俯角:與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線

在水平線上方的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線下方的角叫俯角(如圖a).

(2)方位角:方位角是指從某點(diǎn)的正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖b).(3)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角.即練即清1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素.

(

)(2)在△ABC中,若sinA>sinB,則a>b.

(

)(3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=1∶2∶3.

(

)(4)在△ABC中,若b2+c2>a2,則此三角形是銳角三角形.

(

)2.已知a=4,b=3

,A=45°,則滿足該條件的△ABC有

個(gè).×√××2題型1三角形形狀的判斷

例1

在△ABC中,a,b,c分別表示三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),則△ABC的形狀為

(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析

解法一(邊化角)已知等式可化為a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosB·sinA,∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0,∵A,B均為△ABC的內(nèi)角,∴sinA≠0,sinB≠0,∴sin2A-sin2B=0,即sin2A=sin2B.由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,(注意有兩種情況)即A=B或A+B=

.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D.解法二(角化邊)同解法一可得,2a2cosA·sinB=2b2cosBsinA.由正弦、余弦定理,可得

a2·

·b=b2·

·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.∴a=b或a2+b2=c2,(注意有兩種情況)∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選D.

答案

D易錯(cuò)警示1.判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?/p>

然后判斷,注意不要輕易兩邊同除以一個(gè)式子.2.在判斷三角形形狀時(shí)一定要注意解是否唯一,并注意挖掘隱含條件.另外,在變形過(guò)

程中要注意角A,B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.即練即清1.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

(

)A.若

=

=

,則△ABC一定是等邊三角形B.若bcosB=acosA,則△ABC一定是等腰三角形C.若acosB+bcosA=a,則△ABC一定是等腰三角形D.若b2+c2<a2,則△ABC一定是鈍角三角形B題型2三角形的最值和范圍問(wèn)題1.三角形中的最值、范圍問(wèn)題的解題策略(1)定基本量:根據(jù)題意畫出圖形,找出三角形中的邊、角,利用正弦、余弦定理求出相

關(guān)的邊、角,并選擇邊、角作為基本量,確定基本量的范圍.(2)構(gòu)建函數(shù):根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換,將所求范圍的變量表示成函數(shù)形

式.(3)求最值:利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.2.求解三角形中的最值、范圍問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問(wèn)題,一定要搞清變量的范圍;若已知邊的范圍,求角的范圍可利用余

弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)注意題目中的隱含條件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大邊對(duì)大角等.例2

(2020課標(biāo)Ⅱ理,17,12分)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

解析

(1)由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC·AB,∴cosA=

=-

.∵A∈(0,π),∴A=

.(2)解法一(利用正弦定理將邊化為角)由正弦定理及(1)得

=

=

=2

,從而AC=2

sinB,AB=2

sin(π-A-B)=3cosB-

sinB.故BC+AC+AB=3+

sinB+3cosB=3+2

sin

.又0<B<

,所以當(dāng)B=

時(shí),△ABC周長(zhǎng)取得最大值3+2

.解法二(利用余弦定理和基本不等式求解)設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,∵a=3,A=

,又a2=b2+c2-2bccosA,∴9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2-

(b+c)2,∴b+c≤2

(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),“=”成立),則△ABC周長(zhǎng)的最大值為3+2

.即練即清2.(2019課標(biāo)Ⅲ理,18,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin

=bsinA.(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.解析

(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsin

=sinBsinA.因?yàn)閟inA≠0,所以sin

=sinB.由A+B+C=180°,可得sin

=cos

,故cos

=2sin

cos

.因?yàn)閏os

≠0,故sin

=

,因此B=60°.(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=

a.由正弦定理得a=

=

=

+

.由△ABC為銳角三角形,知0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90,故

<a<2,從而

<S△ABC<

.因此,△ABC面積的取值范圍是

.題型3三角形中線及角平分線問(wèn)題一、中線問(wèn)題1.中線長(zhǎng)定理:在△ABC中,AD是邊BC上的中線,則AB2+AC2=2(BD2+AD2).

推導(dǎo)過(guò)程:在△ABD中,cosB=

,在△ABC中,cosB=

,聯(lián)立兩個(gè)方程可得:AB2+AC2=2(BD2+AD2).2.向量法:

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).推導(dǎo)過(guò)程:易知

=

(

+

),則

=

(

+

)2=

+

+

|

|·|

|cos∠BAC,所以

=

(

+

+2|

||

|·cos∠BAC).二、角平分線問(wèn)題如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC、B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.1.內(nèi)角平分線定理:AD為△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線,則

=

.2.因?yàn)镾△ABD+S△ACD=S△ABC,所以

c·ADsin

+

b·ADsin

=

bcsin∠BAC,所以(b+c)AD=2bccos

,整理得AD=

(角平分線長(zhǎng)公式).例3

(2023河南開封模擬預(yù)測(cè),10)在銳角△ABC中,BC=4,sinB+sinC=2sinA,則中線

AD長(zhǎng)的取值范圍是

(

)A.(2,2

]

B.[2,

)

C.[2

,4)

D.[2

,

)

解析

令△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,由sinB+sinC=2sinA及正弦定理得b+c=2a=8,即c=8-b,銳角△ABC中,cosA=

>0,即b2+c2-a2>0,同理,a2+b2-c2>0,c2+a2-b2>0,于是

(保證△ABC的三個(gè)角均為銳角)解得3<b<5,又線段AD為△ABC邊BC上的中線,則2

=

+

,(核心技巧:向量法)又

=

-

,于是4

+

=

+

=2

+2

,因此|

|=

=

=

,當(dāng)b=4時(shí),|

|min=2

,|

|<

,所以中線AD長(zhǎng)的取值范圍是[2

,

).

答案

D即練即清3.(2023浙江浙大附中期中,16)在△ABC中,已知角A=

,角A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D,AD=2,則AB+2AC的最小值為

.答案

6+4

題型4解三角形的實(shí)際應(yīng)用

例4

(2021全國(guó)甲,8,5分)2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程

為8848.86(單位:m),三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.三角高程測(cè)量法的一

個(gè)示意圖如圖,現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,

∠A'B'C'=60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100;由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角

為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'-CC'約為(

≈1.732)

(

)

A.346

B.373