三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)）專題07 三角函數(shù)（解析版）

專題07三角函數(shù)考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題本節(jié)命題趨勢(shì)仍是突出以三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等重點(diǎn)內(nèi)容展開，并結(jié)合三角公式、化簡(jiǎn)求值、平面向量、解三角形等內(nèi)容綜合考查，因此復(fù)習(xí)時(shí)要注重三角知識(shí)的工具性，以及三角知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)．考點(diǎn)2：值域與最值問題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)3：伸縮變換問題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)4：求解析式問題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)5：三角恒等變換2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題考點(diǎn)6：與的取值與范圍問題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)7：弧長(zhǎng)、面積公式2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)1：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性1．（多選題）（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對(duì)稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【解析】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．2．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱軸【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，令，解得，即為零點(diǎn)，令，解得，即為零點(diǎn)，顯然零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，顯然，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱軸滿足，的對(duì)稱軸滿足，顯然圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC3．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)椋?，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④不正確．故選：A．4．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】因?yàn)?對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.5．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A6．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對(duì)A，，周期，故A正確；對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，故選：A．8．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)．(1)若，求的值．(2)已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）因?yàn)樗?，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐?，所以無(wú)解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．考點(diǎn)2：值域與最值問題9．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的最大值為．【答案】/【解析】由題意，從而，因?yàn)?，所以的取值范圍是，的取值范圍是，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.故答案為：.10．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.故答案為：211．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】，由得，即，當(dāng)時(shí)，，畫出圖象，如下圖，由圖可知，在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，故選：A考點(diǎn)3：伸縮變換問題12．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過(guò)與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.13．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.14．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C考點(diǎn)4：求解析式問題15．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

【答案】【解析】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故答案為：?6．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且的一個(gè)周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項(xiàng)中，B選項(xiàng)中，C選項(xiàng)中，D選項(xiàng)中，排除選項(xiàng)CD，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，排除選項(xiàng)A，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選：B.考點(diǎn)5：三角恒等變換17．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【解析】法一：由題意得，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)?，則，，則，則，聯(lián)立，解得.法二：因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，則,，，則故答案為：.18．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）若，則，．【答案】【解析】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.19．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B20．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．21．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，，所以，故選：B.22．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.23．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.24．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．【答案】1【解析】∵，∴∴故答案為：1，25．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知命題若為第一象限角，且，則．能說(shuō)明p為假命題的一組的值為，．【答案】【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)?，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.26．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）若，則．【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.考點(diǎn)6：與的取值與范圍問題27．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.28．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)椋?，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：29．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意可知：為的最小值點(diǎn)，為的最大值點(diǎn)，則，即，且，所以.故選：B.30．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.31．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案