新教材2024年高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布列7.1條件概率與全概率公式7.1.1條件概率素養(yǎng)作業(yè)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章7.17.1.1A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．(多選)下列說(shuō)法不正確的是(ACD)A．P(B|A)<P(A∩B) B．P(B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的C．0<P(B|A)<1 D．P(A|A)＝0[解析]由條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)事務(wù)A包含事務(wù)B時(shí)，有P(A∩B)＝P(B)，此時(shí)P(B|A)＝eq\f(PB,PA)，故B選項(xiàng)正確；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ACD．2．(2024·山東臨沂高二期末)氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)的概率為eq\f(3,5)，在刮臺(tái)風(fēng)的條件下，下大雨的概率為eq\f(9,10)，則該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨的概率為(B)A．eq\f(2,3) B．eq\f(27,50)C．eq\f(9,10) D．eq\f(3,10)[解析]設(shè)“某地區(qū)每年七月份刮臺(tái)風(fēng)”為事務(wù)A，設(shè)“某地區(qū)每年七月份下大雨”為事務(wù)B，則“該地區(qū)七月份既刮臺(tái)風(fēng)又下大雨”為事務(wù)AB．由題得P(A)＝eq\f(3,5)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝eq\f(9,10)×eq\f(3,5)＝eq\f(27,50).3．一個(gè)家庭中有兩個(gè)小孩，已知其中有一個(gè)是女孩，則另一個(gè)也是女孩的概率為(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[解析]有一個(gè)是女孩記為事務(wù)A，另一個(gè)是女孩記為事務(wù)B，Ω表示基本領(lǐng)件空間，而Ω＝{(男，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}，則P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝P(A∩B)＝eq\f(1,4)，則所求概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).4．在5道題中有3道數(shù)學(xué)題和2道物理題．假如不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到數(shù)學(xué)題的條件下，第2次抽到數(shù)學(xué)題的概率是(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[解析]設(shè)第一次抽到數(shù)學(xué)題為事務(wù)A，其次次抽到數(shù)學(xué)題為事務(wù)B，由已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).5．已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車(chē)一次(假定費(fèi)用只可能為1，2，3元)．甲、乙租車(chē)費(fèi)用為1元的概率分別是0.5，0.2，甲、乙租車(chē)費(fèi)用為2元的概率分別是0.2，0.4，則甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用相同的概率為(B)A．0.18 B．0.3C．0.24 D．0.36[解析]由題意知，甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是0.3，0.4.所以甲、乙兩人租車(chē)費(fèi)用相同的概率P＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.二、填空題6．100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為_(kāi)eq\f(95,99)__.[解析]設(shè)“第一次抽到次品”為事務(wù)A，“其次次抽到正品”為事務(wù)B，則P(A)＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,95),A\o\al(2,100))＝eq\f(19,396)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(95,99).7．投擲兩顆勻稱(chēng)骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為ξ，則ξ≤6的概率為_(kāi)eq\f(2,5)__.[解析]解法一：投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同的全部可能結(jié)果共30種，其中點(diǎn)數(shù)之和ξ≤6的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，共12種，∴所求概率P＝eq\f(2,5).解法二：設(shè)A＝“投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同”，B＝“ξ≤6”，則P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(2,5).8．某班級(jí)的學(xué)生在寒假中是否有參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備的狀況如下表所示.男生女生有參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備810無(wú)參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備1012從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，則“抽到的人是男生且有參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備”的概率為_(kāi)eq\f(1,5)__；若已知抽到的人是男生，則他有參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備的概率為_(kāi)eq\f(4,9)__.[解析]該班級(jí)共有學(xué)生8＋10＋10＋12＝40(人)．記“抽到的是男生”為事務(wù)A，“有參與滑雪運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備”為事務(wù)B，則由題意得n(Ω)＝40，n(A)＝18，n(AB)＝8，∴P(AB)＝eq\f(8,40)＝eq\f(1,5)，P(A)＝eq\f(18,40)＝eq\f(9,20)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(9,20))＝eq\f(4,9).三、解答題9．(2024·廣西南寧)袋子中放有大小、形態(tài)均相同的小球若干．其中標(biāo)號(hào)為0的小球有1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球有2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球有n個(gè)．從袋子中任取兩個(gè)小球，取到的標(biāo)號(hào)都是2的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)從袋子中任取兩個(gè)小球，若其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1，求另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)也是1的概率．[解析](1)由題意得eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(nn－1,n＋3n＋2)＝eq\f(1,10)，解得n＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝－\f(1,3)舍去)).(2)記“其中一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事務(wù)A，“另一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)是1”為事務(wù)B，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10．(2024·北京順義)已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)假如此人是色盲，求此人是男人的概率．[解析]設(shè)“任選一人是男人”為事務(wù)A，“任選一人是女人”為事務(wù)B，“任選一人是色盲”為事務(wù)C．(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(100,200)×eq\f(5,100)＋eq\f(100,200)×eq\f(0.25,100)＝eq\f(21,800).(2)由題可得所求概率為P(A|C)＝eq\f(PAC,PC)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2024·湖南)袋中有大小、形態(tài)完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，不放回地依次摸出兩球，設(shè)“第一次摸出紅球”為事務(wù)A，“摸出的兩球同色”為事務(wù)B，則P(B|A)為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)[解析]由題可得P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,10)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4)，故選A．2．(2024·廣東惠州)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)報(bào)名參與社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)愛(ài)老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教化詢(xún)問(wèn)、交通宣揚(yáng)、文娛活動(dòng)五個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事務(wù)A為“5名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事務(wù)B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)愛(ài)老人項(xiàng)目”，則P(A|B)＝(A)A．eq\f(3,32) B．eq\f(5,32)C．eq\f(2,9) D．eq\f(5,9)[解析]由已知得，事務(wù)B的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為44，事務(wù)AB的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,4)，所以P(A|B)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32).故選A．3．(多選)已知P(B)>0，A1A2＝?，則下列式子肯定成立的是(AB)A．P(A1|B)≥0B．P((A1∪A2)|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)C．P((A1eq\x\to(A2))|B)≠0D．P((eq\x\to(A1)eq\x\to(A2))|B)＝1[解析]由概率的性質(zhì)可知P(A1|B)≥0，故選項(xiàng)A正確；由條件概率的性質(zhì)可知P((A1∪A2)|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)，故選項(xiàng)B正確；P((A1eq\x\to(A2))|B)≥0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；0≤P((eq\x\to(A1)eq\x\to(A2))|B)≤1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選AB．4．(2024·江西南昌)吸煙有害健康，遠(yuǎn)離煙草，珍惜生命．據(jù)統(tǒng)計(jì)，一小時(shí)內(nèi)吸煙5支誘發(fā)腦血管病的概率為0.02，一小時(shí)內(nèi)吸煙10支誘發(fā)腦血管病的概率為0.16.已知某公司職員在某一小時(shí)內(nèi)吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，則他在這一小時(shí)內(nèi)還能接著吸煙5支不誘發(fā)腦血管病的概率為(A)A．eq\f(6,7) B．eq\f(21,25)C．eq\f(49,50) D．不確定[解析]記事務(wù)A：某公司職員一小時(shí)內(nèi)吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，記事務(wù)B：某公司職員一小時(shí)內(nèi)吸煙10支未誘發(fā)腦血管病，則由已知可得P(A)＝1－0.02＝0.98，P(B)＝1－0.16＝0.84，因此，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.84,0.98)＝eq\f(6,7)，故選A．二、填空題5.7名同學(xué)站成一排，已知甲站在中間，則乙站在末尾的概率是_eq\f(1,6)__.[解析]記“甲站在中間”為事務(wù)A，“乙站在末尾”為事務(wù)B，則n(A)＝Aeq\o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq\o\al(5,5)，P(B|A)＝eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,6).6．一批同型號(hào)產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如表：廠別數(shù)量等級(jí)甲廠乙廠合計(jì)合格品4756441119次品255681合計(jì)5007001200從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是_eq\f(27,400)__；已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是_eq\f(1,20)__.從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是eq\f(81,1200)＝eq\f(27,400).方法一：已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，則這件產(chǎn)品恰好是次品的概率是eq\f(25,500)＝eq\f(1,20).方法二：設(shè)A：“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”，B：“取出的產(chǎn)品為次品”，則P(A)＝eq\f(500,1200)，P(A∩B)＝eq\f(25,1200)，所以這件產(chǎn)品恰好是甲廠生產(chǎn)的次品的概率是P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,20).三、解答題7．某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人．全班平均分成4個(gè)小組，其中第一組有共青團(tuán)員4人．從該班任選一人作學(xué)生代表．(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率；(2)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率．[解析]設(shè)事務(wù)A表示“選到第一組學(xué)生”，事務(wù)B表示“選到共青團(tuán)員”．(1)由題意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)解法一：要求的是在事務(wù)B發(fā)生的條件下，事務(wù)A發(fā)生的條件概率P(A|B)．不難理解，在事務(wù)B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).解法二：P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).8．(2024·新高考Ⅱ)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．[解析](1)平均年齡eq\o(x,\s\up6(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．(2)設(shè)A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20，70)}，所以P(A)＝