福建省泉州市德化第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案解析

2023年秋季德化一中第一次月考高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則＝（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3已知，，則（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.5.函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（）A. B.C. D.6.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.C D.7.用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個(gè)圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點(diǎn)的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點(diǎn)，米，米，則彩虹（）的長(zhǎng)度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.米 B.米 C.米 D.米8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.10.在中，若，則（）A B.C. D.11.已知定義在上的函數(shù)滿足，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（

）A. B.C. D.12.如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說法正確的是（）A.B.扇形的面積為C.D.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知銳角滿足，則_______________.14.中華人民共和國(guó)國(guó)歌有84個(gè)字，37小節(jié)，奏唱需要45秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米如圖所示，旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上，則旗桿的高度為______米．15.已知，則的最小值為______.16.已知函數(shù)，過點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.求（1）；（2）.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）求A；（2）若，求的面積的最大值．19.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值是.（1）求函數(shù)的解析式;（2）已知實(shí)數(shù)滿足，且對(duì)恒有，求最小值.21.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長(zhǎng)為和兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足.設(shè).（1）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段和組成，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)最長(zhǎng)，并求的最大值；（2）若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在和內(nèi)種滿鮮花，在扇形內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng)為何值時(shí)，鮮花種植面積最大？22.已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023年秋季德化一中第一次月考高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域、集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，，所以，，則，故選：B2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，即可判斷．【詳解】不等式等價(jià)于，由可推出，由不一定能推出，例如時(shí)，，但，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式展開求出，然后利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B4.已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)最小正周期公式求出，在根據(jù)左加右減求出平移后的解析式.【詳解】因?yàn)椋?，故，則，則向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到.故選：A5.函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可得答案.【詳解】由題知的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以為偶函?shù)，即圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除A、C；又，排除D.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，若，則最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)給定等式求出的關(guān)系，再利用“1”的妙用求解作答.【詳解】函數(shù)中，，解得，由，得，且，則，整理得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，由且，得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A7.用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，神奇的彩虹角約為．如圖，眼睛與彩虹之間可以抽象為一個(gè)圓錐，設(shè)AO是眼睛與彩虹中心的連線，AP是眼睛與彩虹最高點(diǎn)的連線，則稱為彩虹角．若平面ABC為水平面，BC為彩虹面與水平面的交線，為BC的中點(diǎn)，米，米，則彩虹（）的長(zhǎng)度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，再求出圓錐的底面半徑，連接,,，進(jìn)而在中求，最后利用弧長(zhǎng)公式求得彩虹長(zhǎng)度.【詳解】在中，由勾股定理，可得：，連接PO，則在中，，連接OB，OC，OM，則在中，，故，，則彩虹（）的長(zhǎng)度約為.故選：A8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可比較，進(jìn)而可得出答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，令，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，即，所以，所以，綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)和是解決本題關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用作差比較逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；C：因，所以，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不正確，故選：AB10.在中，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由三角形大邊對(duì)大角和正弦定理可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，由正弦的二倍角公式可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，由余弦的二倍角公式可判斷【詳解】在中，若，由三角形中大邊對(duì)大角，可得，又由正弦定理，可知，故A選項(xiàng)正確；又由余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知，故B選項(xiàng)正確；由和，當(dāng)時(shí)，，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，由A選項(xiàng)可知正確，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知定義在上的函數(shù)滿足，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（

）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因?yàn)椋粤?，則，因?yàn)椋?，所以，所以在R上單調(diào)遞減，，即，即，故A正確，B錯(cuò)；，即，即，故C錯(cuò)，D正確.故選：AD.12.如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說法正確的是（）A.B.扇形的面積為C.D.當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為【答案】ACD【解析】【分析】由題意圓的半徑在平面直角坐標(biāo)系中寫出的坐標(biāo)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得A選項(xiàng)；選項(xiàng)B，利用扇形的面積公式計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用兩點(diǎn)間的距離公式寫出化簡(jiǎn)即可；選項(xiàng)D，分別表示出來化簡(jiǎn)即可【詳解】由題意圓的半徑選項(xiàng)A：由題意得所以所以，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以故D正確故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知銳角滿足，則_______________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及倍角公式變形計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，又為銳角，所以，即，所以.故答案為：14.中華人民共和國(guó)國(guó)歌有84個(gè)字，37小節(jié)，奏唱需要45秒，某校周一舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米如圖所示，旗桿底部與第一排在同一個(gè)水平面上，則旗桿的高度為______米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得角，利用正弦定理求得邊長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系求出旗桿的高度即可.【詳解】由題意可知，，所以，由正弦定理可知在中，所以，所以在中，故答案為：15.已知，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，，又因?yàn)椋詴r(shí)等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求代數(shù)式的最值，考查了“”的代換的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知函數(shù)，過點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程，將所求問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：．因?yàn)檫^點(diǎn)有兩條直線與曲線相切，所以有兩根，即有兩根．令，則，令即解得；令即解得；在遞減，在遞增．當(dāng)時(shí)，取得極小值也為的最小值，所以，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且.求（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用三角函數(shù)定義即可求得，再由誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）利用（1）中的三角函數(shù)值以及角的范圍可求出，即可得.【小問1詳解】由，可得，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，所以，即；【小問2詳解】由且可知，又，可得；所以，可得.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．（1）求A；（2）若，求的面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求解作答；（2）利用余弦定理結(jié)合均值不等式求出最大值，再由面積公式求解即得；或利用正弦定理及三角形面積公式結(jié)合三角形的性質(zhì)即得.【小問1詳解】由正弦定理及，得，，，即，，又，，又，；【小問2詳解】法一：在中，由余弦定理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，即的面積的最大值為；法二：在中，由正弦定理得，，，又，所以當(dāng)，即時(shí)，的面積的取得最大值.19.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值.（1）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若時(shí)，方程有兩個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由，則，因?yàn)闀r(shí)，取到極值，所以，解得.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，符合題意.要使在上為增函數(shù)，則或，所以或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.小問2詳解】令，由（1）得，且，故，，則，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，故，而，，故.要使有兩個(gè)根，則.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值是.（1）求函數(shù)的解析式;（2）已知實(shí)數(shù)滿足，且對(duì)恒有，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知周期，可計(jì)算得，即可求出；（2）易知對(duì)可得，即只需，可求得，再由基本不等式即可求得的最小值為.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離最小值為，所以周期，可得，解得；即函數(shù)；所以函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】由可得，所以又恒有，只需，所以，解得，即；易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即可得的最小值為.21.如圖，有一景區(qū)的平面圖是一半圓形，其中直徑長(zhǎng)為和兩點(diǎn)在半圓弧上，滿足.設(shè).（1）現(xiàn)要在景區(qū)內(nèi)鋪設(shè)一條觀光道路，由線段和組成，則當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)最長(zhǎng)，并求的最大值；（2）若要在景區(qū)內(nèi)種植鮮花，其中在和內(nèi)種滿鮮花，在扇形內(nèi)種一半面積的鮮花，則當(dāng)為何值時(shí)，鮮花種植面積最大？【答案】（1）時(shí)，觀光道路的總長(zhǎng)最長(zhǎng)，的最大值為5（2）當(dāng)時(shí)，鮮花種植面積最大【解析】【分析】（1）作出輔助線，表達(dá)出，，從而求出，配方后得到當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為5；（2）表達(dá)出，，扇形COD的面積，從而求出故，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，在當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，得到答案.【小問1詳解】取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接OM，ON，由垂徑定理可得：OM⊥BC，ON⊥AD，由題意得：，，故，則，因?yàn)?，所以，，故?dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為5；【小問2詳解】，，扇形COD的面積，故，則，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，故當(dāng)時(shí)，鮮花種植面積最大.22.已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】【分