材料力學(xué)(第三版) 課件 第6、7章 彎曲變形、應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論

第6章彎曲變形6.1引言6.2確定梁位移的積分法6.3確定梁位移的疊加法6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)6.5簡單靜不定梁習(xí)題

6.1引言

1.工程中的彎曲變形問題工程中的很多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件在工作時，對于彎曲變形都有一定的要求。一類是要求構(gòu)件的位移不得超過一定的數(shù)值。另一類是要求構(gòu)件能產(chǎn)生足量的變形?？梢姡瑥澢冃畏治鲈诠こ虡?gòu)件設(shè)計(jì)中占有一定的地位。

2.撓度、轉(zhuǎn)角及其相互關(guān)系

在平面彎曲中，梁變形后的軸線是位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條連續(xù)光滑的平面曲線，稱為梁的撓曲線，如圖6-1所示。圖6-1

選取x-w平面坐標(biāo)系。x軸沿梁變形前的軸線，向右為正，表示梁橫截面的位置；w軸沿垂直于梁軸線的方向，向上為正，表示梁橫截面形心的橫向位移。橫截面的形心沿w軸方向的線位移稱為撓度，用w表示。不同橫截面的撓度一般不同，撓度是坐標(biāo)位置的函數(shù)，可表示為

上式稱為撓度方程。

彎曲變形時，軸線位于中性層上，梁軸的長度保持不變，因此橫截面的形心沿梁軸方向也存在位移，但在小變形條件下，橫截面形心的軸向位移是二階微量，遠(yuǎn)小于其橫向位移，可忽略不計(jì)。所以撓度方程也稱為梁的撓曲線方程(或撓曲軸方程)。

橫截面的角位移稱為轉(zhuǎn)角，用θ表示。橫截面的轉(zhuǎn)角θ等于撓曲線在該截面處的切線與x軸的夾角，如圖6-1所示。撓度的正負(fù)規(guī)定為向上為正、向下為負(fù)；轉(zhuǎn)角的正負(fù)規(guī)定為逆時針為正、順時針為負(fù)。

工程中，梁的轉(zhuǎn)角一般都很小，例如不超過1°(0.075rad)，由圖示幾何關(guān)系可得

即在小變形情形下，梁的撓度對坐標(biāo)位置的一階導(dǎo)數(shù)等于轉(zhuǎn)角。

6.2確定梁位移的積分法

6.2.1撓曲線的近似微分方程由上一章知，用曲率表示的彎曲變形公式(51)為

這一公式是在純彎曲情況下得到的，若忽略剪力對梁變形的影響，則此式也可用于一般橫力彎曲，由于梁軸上各點(diǎn)的曲率和彎矩均是橫截面位置x的函數(shù)，因而上式可寫為

由高等數(shù)學(xué)知識可知，平面曲線上任一點(diǎn)的曲率為

將式(b)代入式(a)可得

式(c)稱為撓曲線微分方程，是一個二階非線性常微分方程。

在小變形情形下，轉(zhuǎn)角θ=dw/dx?1，為一階微量，(dw/dx)2為高階微量，略去不計(jì)。式(c)可簡化為

圖6-2

例6-1如圖6-3所示懸臂梁，承受集中力F與矩為Me=Fa/2集中力偶作用，試?yán)L制該梁的撓曲軸的大致形狀圖。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解(1)繪制撓曲軸的基本依據(jù)。確定撓曲軸形狀的基本依據(jù)之一是：曲率表示的彎曲變形公式與撓曲線近似微分方程，即

可根據(jù)彎矩的正、負(fù)、零值點(diǎn)和零值區(qū)，確定撓曲軸的凹、凸、拐點(diǎn)或直線區(qū)。

繪制撓曲軸的基本依據(jù)之二是：在梁的約束處，應(yīng)滿足位移邊界條件；在分段點(diǎn)處，應(yīng)滿足位移連續(xù)光滑條件。

(2)繪制彎矩圖。繪制梁的彎矩圖如圖6-3(a)所示。

(3)繪制撓曲軸的大致形狀圖。截面A處為固定端，該截面的轉(zhuǎn)角與撓度均為零，AG段的彎矩為負(fù)，AG段撓曲線應(yīng)為凸曲線；GC段的彎矩為正，GC段撓曲線應(yīng)為凸曲線；CD段的彎矩為零，CD段撓曲線應(yīng)為直線。在截面G處存在拐點(diǎn)，在截面B與C處，撓曲軸應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件。

繪制撓曲線如圖6-3(b)所示。A點(diǎn)為極值點(diǎn)。至于截面D處的撓度值為正或負(fù)，則需由計(jì)算具體確定。

圖6-3

6.2.2積分法求梁的變形

對式(6-3)積分一次，得轉(zhuǎn)角方程為

再積分一次，得撓曲線方程為

式中C、D為積分常數(shù)。積分常數(shù)可利用梁的邊界條件和撓曲線的連續(xù)光滑條件來確定。

例如，在固定端處，橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度均為零，即

在鉸支座處，橫截面的撓度為零，即

中間鉸鏈左右兩側(cè)截面的撓度相等，滿足連續(xù)條件，即

梁橫截面的已知位移條件或約束條件，稱為梁位移的邊界條件。

當(dāng)彎矩方程需要分段建立時，各段梁的撓度、轉(zhuǎn)角方程也將不同，但在相鄰梁段的交接處，左右兩鄰面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角，即應(yīng)滿足連續(xù)光滑條件，稱為梁位移的連續(xù)

光滑條件，可表示為

一般來說，積分常數(shù)可由位移邊界條件和連續(xù)光滑條件共同確定。當(dāng)積分常數(shù)確定后，將其代入式(6-4)和式(6-5)，即得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。這種通過兩次積分確定梁位移的方法稱為積分法。

例6-2有一支承管道的懸臂梁AB(見圖6-4)。管道的重量為W，梁長為l，抗彎剛度為EI，求梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。圖6-4

例6-3簡支梁AB受力如圖6-5所示(圖中a>b)，梁的抗彎剛度EI為常量，求此梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，并確定最大撓度值。圖6-4

解(1)求約束力。建立坐標(biāo)系如圖所示，求得約束力為

方向均豎直向上。

順便指出，如果用中點(diǎn)撓度代替最大撓度，引起的誤差將不超過3%。所以一般情況下，當(dāng)簡支梁上承受若干個集中力作用時，只要其撓曲線朝一個方向彎曲，就可以用中點(diǎn)

撓度來代替最大撓度。

6.3確定梁位移的疊加法

如果因變量為各自變量的線性齊次式，即因變量表達(dá)式中僅包含自變量的一次方項(xiàng)，則各自變量獨(dú)立作用，互不影響，幾個自變量同時作用所產(chǎn)生的總效應(yīng)，等于各個自變量單獨(dú)作用時產(chǎn)生效應(yīng)的總和，此原理稱為疊加原理。表6-1給出了懸臂梁、簡支梁及外伸梁在簡單載荷作用下的撓度與轉(zhuǎn)角，以便計(jì)算時查閱。

例6-4某橋式起重機(jī)力學(xué)模型如圖6-6(a)所示，橫梁自重可視為均布載荷，集度為q，作用于跨度中點(diǎn)的載荷F=ql，梁的抗彎剛度為EI，試求B點(diǎn)處截面的轉(zhuǎn)角θB及C點(diǎn)處的撓度wC。圖6-6

解用疊加法求解此題。

將載荷分解為中點(diǎn)作用集中力、全梁作用均布載荷的簡支梁兩種情況，查表6-1可得由集中力F引起的C處的撓度wCF和B處的轉(zhuǎn)角θBF分別為

由均布載荷q引起的C處的撓度wCq和B處的轉(zhuǎn)角θBq分別為

所以B截面處的轉(zhuǎn)角和C截面處的撓度分別為

例6-5圖6-7所示的簡支梁受半跨度均布載荷作用，梁的抗彎剛度為EI。試求梁中點(diǎn)C處的撓度wC。圖6-7

解本題可用兩種方法求解。

解法一：均布載荷可視為作用在梁軸上的無數(shù)微小集中載荷。由表6-1(7)可知，在距梁左端為x(l/2<x<l)處的微小載荷qdx作用下(見圖6-7(b))，簡支梁中點(diǎn)的撓度為

所以半跨度均布載荷在簡支梁中點(diǎn)處所引起的撓度為

解法二：將圖6-7(a)所示的梁上載荷分解為作用在整個梁上向下的均布載荷q(見圖6-7(c))和左半跨度上的均布載荷q(見圖6-7(d))。由表6-1(8)可查出，圖6-1(c)所示載荷作用下，梁中點(diǎn)的撓度為

由對稱性可知，在圖6-7(d)所示的半跨度均布載荷作用下，簡支梁中點(diǎn)的撓度與所要求的wC大小相等、方向相反，即

由疊加法可知，梁中點(diǎn)C的撓度為

所以有

例6-6-圖6-8(a)所示的組合梁由梁AB與梁BC用鉸鏈連接而成。在梁AB上作用有均布載荷q，梁BC的中點(diǎn)作用有集中力F=qa。試求截面B的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)兩段梁的抗彎剛度均為EI。圖6-8

解梁AB與梁BC的受力分別如圖6-8(b)所示。由靜平衡條件可求得支座A及中間鉸鏈B處的約束力分別為

分析懸臂梁BC，查表6-1(1)、(2)可得

變形后撓曲線的大致形狀如圖6-8(c)中細(xì)實(shí)線所示。截面A的轉(zhuǎn)角等于因中間鉸鏈B處撓度所引起的截面A的轉(zhuǎn)角與均布載荷作用于簡支梁AB所引起截面A的轉(zhuǎn)角的代數(shù)和，即

6.4梁的剛度條件及合理設(shè)計(jì)

1.梁的剛度條件若許用撓度用[δ]表示，許用轉(zhuǎn)角用[θ]表示，梁的剛度條件可表示為式中wmax與θmax均取絕對值。剛度條件要求梁在工作時其最大撓度與最大轉(zhuǎn)角分別不超過各自的許用值。而在有些情況下，還會限制某些特定截面的撓度、轉(zhuǎn)角不超過其許用值。

許用撓度與許用轉(zhuǎn)角的數(shù)值由梁的工作條件決定。例如對跨度為l的橋式起重機(jī)梁，其許用撓度為

對于跨度為l一般用途的軸，其許用撓度為

跨度為l的架空管道的許用撓度為

對于高度為h的一般塔器的許用撓度為

在安裝齒輪或滑動軸承處，軸的許用轉(zhuǎn)角則為

至于其他梁或軸的許用位移值，可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊中查得。

例6-7一簡支梁由單根工字鋼制成，跨度中點(diǎn)承受集中載荷F，已知F=35kN，跨度l=3m，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號。

(2)剛度校核。

查型鋼表得，18號工字鋼對中性軸的慣性矩為

Iz=1.66×107mm4，最大撓度在梁跨度的中點(diǎn)，它的數(shù)值為

梁的許可撓度[δ]=l/500=6mm，wmax<[δ]所以滿足剛度條件。

2.提高彎曲剛度的措施

梁的撓度和轉(zhuǎn)角不僅與受力有關(guān)，而且與梁的抗彎剛度、跨度以及約束條件有關(guān)。據(jù)此，在梁的設(shè)計(jì)中可采取以下主要措施提高梁的剛度以減小其變形：增大梁截面的慣性矩；盡量減小梁的跨度或長度；增加支承；改善梁的受力情況等。

(1)提高梁的抗彎剛度EI。

(2)改善梁的載荷。

(3)減小梁的跨度或合理增加梁的支承。

6.5簡單靜不定梁

在工程中，為了提高梁的強(qiáng)度和剛度，或由于結(jié)構(gòu)上的需要，往往給靜定梁增加約束，于是，梁的約束力數(shù)目超過獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，即成為靜不定梁。在靜定梁上增加的約束，對于維持構(gòu)件平衡來說是多余的，因此，習(xí)慣上常把這種約束稱為多余約束。與多余約束所對應(yīng)的支座約束力或約束力偶，統(tǒng)稱為多余約束反力。通常把梁具有的多余約束反力數(shù)目，稱為梁的靜不定次數(shù)，靜不定次數(shù)等于約束反力總個數(shù)減去獨(dú)立靜平衡方程數(shù)。

圖6-9(a)、(b)所示的兩個梁分別為一次靜不定梁與二次靜不定梁。圖6-9

為了求解靜不定梁，除需要列出靜力平衡方程式外，還需要根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件以及力與位移間的物理關(guān)系，建立補(bǔ)充方程，補(bǔ)充方程個數(shù)應(yīng)與靜不定次數(shù)相等，這樣才能解出全部約束力。下面以圖6-10(a)為例，說明靜不定梁的求解方法。

該梁具有一個多余約束，為一次靜不定梁。如以B處支座作為多余約束，則相應(yīng)的多余約束力為FB。

為了求解，假想地將支座B解除，而以約束力FB代替其作用，于是得到一個承受集中力F和未知力FB的靜定懸臂梁AB，如圖6-10(b)所示。

圖6-10

以上分析表明，求解靜不定梁的關(guān)鍵在于確定多余約束力，其方法和步驟可概述如下：

(1)根據(jù)約束力與獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)。

(2)解除多余約束，并以相應(yīng)的多余約束力代替其作用，得到原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。

(3)計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程，由此即可求出多余約束力。

例6-8一懸臂梁AB，承受集中載荷F作用，因其剛度不夠，用一短梁加固，兩梁在C處的連接方式為鉸鏈連接，如圖6-11(a)所示。試計(jì)算梁AB最大撓度的減少量。假設(shè)二梁橫截面的抗彎剛度均為EI。圖6-11

解(1)判斷靜不定次數(shù)。梁AB與梁AC均為靜定梁，但由于在C處用鉸鏈相連增加一約束，因而該結(jié)構(gòu)屬于一次超靜定結(jié)構(gòu)。

(2)確定相當(dāng)系統(tǒng)。選定鉸鏈C為多余約束，解除多余約束，并以相應(yīng)多余約束力FR代替其作用，得原靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖6-11(b)、(c)所示。

(4)剛度比較。未加固時，梁AB端點(diǎn)B的最大撓度為

加固后該截面的撓度為

后者僅為前者的60.9%，可見經(jīng)加固后AB梁的撓度顯著降低。

例6-9求解圖6-12(a)所示BC桿的內(nèi)力。已知載荷集度q、尺寸l、AB梁的抗彎剛度EI和BC桿的抗拉(壓)剛度EA。圖6-12

解(1)判斷靜不定次數(shù)。由圖6-12(a)可知，梁AB是一次靜不定。

(2)選擇相當(dāng)系統(tǒng)。選拉桿BC的軸力FN作為多余約束力，這樣，得出AB梁的相當(dāng)系統(tǒng)為圖6-12(b)所示的懸臂梁。

習(xí)題圖6-2

6-1用積分法計(jì)算題6-1圖所示截面B的轉(zhuǎn)角與梁的最大撓度。

6-2用積分法計(jì)算題6-2圖所示各梁的變形時,分別要分幾段積分?將出現(xiàn)幾個積分常數(shù)?確定積分常數(shù)的條件如何?(圖(b)中右端B端支承在彈簧上,彈簧剛度為K。)題6-2圖

6-3題6-3圖所示各梁,試根據(jù)梁的彎矩圖及約束條件畫出梁撓曲線的大致形狀。題6-3圖

6-4試用疊加法計(jì)算題6-4圖所示各梁疊面B的轉(zhuǎn)角與截面C的撓度。題6-4圖

6-5用疊加法求題6-5圖所示外伸梁之外伸端截面C的撓度。題6-5圖

6-6

題6-6圖所示外伸梁,兩端承受載荷F作用,試問:

(1)當(dāng)x/l為何值時,梁跨度中點(diǎn)與自由端撓度數(shù)值相等?

(2)當(dāng)x/l為何值時,梁跨度中點(diǎn)撓度數(shù)值最大?題6-6-圖

6-7題6-7圖所示橫梁由梁AC、CB通過中間鉸鏈C連接而成。在梁CB上作用有均布載荷q,在梁AC上作用集中載荷F,且F=ql,試求截面C的撓度與截面A的轉(zhuǎn)角。題6-7圖

6-8題6-8圖所示階梯形梁,已知I2=2I1,試求截面C的撓度。題6-8圖

6-9試求題6-9圖所示各梁的約束力。題6-9圖

6-10題6-10圖所示結(jié)構(gòu)中,已知梁ABC的抗彎剛度為EI,桿CD的拉壓剛度為EA。試計(jì)算CD桿的軸力。題6-10圖第7章應(yīng)力態(tài)度與強(qiáng)度理論7.1引言7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的幾何法——應(yīng)力圓7.4三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力7.5廣義胡克定律7.6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能與畸變能7.7強(qiáng)度理論概述習(xí)題

7.1引言

工程中除了基本變形之外，還會有更為復(fù)雜的變形形式。圖7-1(a)所示的飛機(jī)螺旋槳桿，在工作時同時承受軸向拉力與扭轉(zhuǎn)外力偶矩，同時發(fā)生拉伸與扭轉(zhuǎn)變形，橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力；圖7-1(b)所示的內(nèi)壓容器，工作時同時承受軸向拉力與周向拉力的作用，除橫截面有拉應(yīng)力外，在縱截面上也存在拉應(yīng)力。對于這些復(fù)雜變形問題，不可能在實(shí)驗(yàn)室中通過試驗(yàn)直接建立其強(qiáng)度條件。

圖7-1

1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)與單元體

基本變形研究表明，桿件內(nèi)不同位置的點(diǎn)，一般情況下具有不同的應(yīng)力，一個點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)坐標(biāo)位置的函數(shù)。然而就一點(diǎn)來說，通過這個點(diǎn)可以做無數(shù)個截面，在不同方位的截面上，該點(diǎn)處的應(yīng)力也不同，即某點(diǎn)處的應(yīng)力還隨截面方位的不同而改變，是截面方位角的函數(shù)。

構(gòu)件受力后，構(gòu)件某一點(diǎn)各個截面上的應(yīng)力情況，統(tǒng)稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。要解決一個構(gòu)件的強(qiáng)度問題，就必須了解該構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，也就是了解構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)在不同截面上的應(yīng)力情況，據(jù)此解決構(gòu)件的強(qiáng)度問題。

描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，通常是圍繞該點(diǎn)做一個三對面相互垂直的小六面體，當(dāng)各邊邊長充分小時，六面體便趨于宏觀上的點(diǎn)，這種六面體稱為單元體。在單元體的每個表面上標(biāo)出應(yīng)力，由于單元體各邊的長度趨于無限小，因此可以認(rèn)為：

①單元體各面上的應(yīng)力是均勻分布的；

②單元體任意一對平行截面上的應(yīng)力大小相等，矢向相反。此時的單元體稱為應(yīng)力單元體，簡稱為單元體。

圖7-2給出了直桿在軸向拉伸時表面附近A點(diǎn)的單元體。圍繞A點(diǎn)，用一對相距很近的橫截面、一對相距很近的水平縱向面及一對相距很近的豎直縱向面截取單元體，放大后如圖7-2(b)所示，前后、上下面上均無應(yīng)力，可用平面圖7-2(c)表示，其中

。圖7-2

圖7-3給出了圓軸在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時表面附近A點(diǎn)的單元體。圍繞A點(diǎn)，用兩個相距很近的橫截面截出一薄圓盤，用兩個同心圓柱面截出一薄圓環(huán)，再用過軸線的兩個夾角很小的縱截面截出單元體，放大后如圖7-3(b)所示，前后面上沒有應(yīng)力，可用平面圖7-3(c)表示，其中最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力可由第3章式(39)求得，即圖7-3

圖7-4給出了矩形截面梁在彎曲時梁上任意一點(diǎn)A的單元體。圍繞A點(diǎn)，用兩個相距很近的橫截面、兩個豎直方向相距很近的縱截面、兩個水平方向相距很近的縱截面截取

單元體A，放大后如圖7-4(b)所示。由于前后面上沒有應(yīng)力，因此可用平面圖7-4(c)表示，其中正應(yīng)力、切應(yīng)力可由第5章式(52)和式(59)求得，即

圖7-4

2.主平面、主應(yīng)力、主單元體

理論分析表明，在構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總可以取出一個特殊的單元體，其三個相互垂直的面上均無切應(yīng)力，這種切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這種特殊的單元體稱為主單元體。主單元體上三個主應(yīng)力按代數(shù)值大小排序，有σ1≥σ2≥σ3，σ1、σ2、σ3分別稱為第一、第二和第三主應(yīng)力。一般來說，受力構(gòu)件上的任意點(diǎn)都可以找到對應(yīng)的主單元體，因而每一點(diǎn)都有三個主應(yīng)力。

3.應(yīng)力狀態(tài)的分類

按照主應(yīng)力是否為零，可以對應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分類，如圖7-5所示。若三個主應(yīng)力中只有一個不等于零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(a)所示；若三個主應(yīng)力中有兩個不等于零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(b)所示；若三個主應(yīng)力均不為零，則這種應(yīng)力狀態(tài)稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-5(c)所示。

單向應(yīng)力狀態(tài)又稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，二向應(yīng)力狀態(tài)又稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

圖7-5

軸向拉伸時，桿件內(nèi)每一點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-2(b)所示；梁彎曲時上下邊緣各點(diǎn)也處于單向應(yīng)力狀態(tài)；蒸汽鍋爐等其他圓筒形薄壁容器在內(nèi)壓p作用下，筒壁外表面上各點(diǎn)均處于二向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-1(b)所示，受扭圓軸上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)也屬于二向應(yīng)力狀態(tài)；鐵路鋼軌頂部和火車車輪是在很小的范圍內(nèi)互相接觸，鋼軌受到車輪的壓力作用，如圖7-6(a)所示，鋼軌受壓部分的材料在壓力作用下將有向四處擴(kuò)張的趨勢，而周圍的材料阻止其向外擴(kuò)張，故受到周圍材料的壓力。如果從鋼軌的壓力中心，沿著平行及垂直于鋼軌軸線方向，截取一個單元體，單元體上將受到三個主應(yīng)力σ1、σ2、σ3作用，這樣鋼軌與車輪的接觸點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，在滾珠軸承工作時，外環(huán)與滾珠的接觸點(diǎn)A同樣也處于三向應(yīng)力狀態(tài)，如圖7-6(b)、(c)所示。圖7-6

7.2平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法

1.平面應(yīng)力狀態(tài)下單元體斜截面上的應(yīng)力分析方法：用一個假想的平面將單元體從所考察的斜面處截開，分為兩部分，考察其中任意一部分的平衡，由平衡條件可求得該斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這就是截面法，是分析單元體斜截面上應(yīng)力的基本方法。

公式推導(dǎo)：設(shè)單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)(見圖7-7(a))，圖7-7(b)是單元體的正投影。已知：σx、σy、τxy、τyx，斜面方位角為α。求斜面α上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα。

應(yīng)力正負(fù)號規(guī)定：規(guī)定正應(yīng)力拉為正，壓為負(fù)；切應(yīng)力對單元體內(nèi)任意點(diǎn)的矩為順時針轉(zhuǎn)向時切應(yīng)力為正，反之為負(fù)；斜面方位角α從x正向轉(zhuǎn)到斜截面外法線，逆時針為正，順時針為負(fù)。按照上述規(guī)定，在圖7-7(b)中，σx、σy、τxy和α都取正值，而τyx取負(fù)值。圖7-7

2.主平面和主應(yīng)力

從式(7-1)和式(7-2)中可以看出，斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力都是斜面傾角α的函數(shù)，通過函數(shù)求極值的方法，可以得到正應(yīng)力和切應(yīng)力的極值，并確定它們所在平面的位置。令

可以得到

因?yàn)檎泻瘮?shù)的周期為180°，所以滿足上式的角度為α0和α0+90°，其中一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面。比較式(a)和式(7-2)可以看出：正應(yīng)力的極大值和極小值對應(yīng)的平面恰好是切應(yīng)力為零的平面，即該平面是主平面。所以，主應(yīng)力就是最大或最小的正應(yīng)力，這也證明了主平面是相互垂直的。

結(jié)論：在切應(yīng)力為零的平面上正應(yīng)力取極大值和極小值，即最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力就是主應(yīng)力，所在的平面為主平面。

式(7-4)是計(jì)算單元體主應(yīng)力大小的公式，單元體的三個主應(yīng)力可按下述規(guī)則排序：

3.最大和最小切應(yīng)力

用完全相同的求函數(shù)極值方法，由式(7-2)可以求出切應(yīng)力的最大值和最小值為

對應(yīng)的平面傾角為

例7-1分析軸向拉伸桿件的最大切應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。

例7-2受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖7-8所示。

(1)求45°斜截面上的應(yīng)力；

(2)求主應(yīng)力并確定主平面；

(3)求最大切應(yīng)力。圖7-8

7.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析的幾何法———應(yīng)力圓

1.應(yīng)力圓的概念由上一節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法可知，平面應(yīng)力狀態(tài)下，斜截面上的應(yīng)力可由式(7-1)、式(7-2)來確定，它們皆為α的函數(shù)。將α看作參數(shù)，為消去α，將兩式改寫成

將兩式等號兩邊平方，然后再相加，得

2.應(yīng)力圓的繪制

利用上述圓心和半徑畫應(yīng)力圓不是很方便?，F(xiàn)以圖7-9(a)所示平面應(yīng)力狀態(tài)為例來說明一種簡便的應(yīng)力圓繪制方法。

(1)建立應(yīng)力坐標(biāo)系σ－τ，如圖7-9(b)所示。

(2)根據(jù)已知應(yīng)力σx、σy、τxy的大小，選取適當(dāng)比例尺，在σ－τ坐標(biāo)系內(nèi)畫出點(diǎn)A(σx，τxy)和B(σy，τyx)。

(3)AB與σ軸的交點(diǎn)C便是圓心。

(4)以C為圓心，以AC為半徑畫圓，如圖7-9(b)所示。

因?yàn)镃點(diǎn)的坐標(biāo)為

半徑為

所以，這一圓周就是上面所提到的應(yīng)力圓。圖7-9

3.單元體中面上應(yīng)力與應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系

從圖7-9(a)和7-9(b)可以看出，在單元體上相差90°的x和y兩個面上的應(yīng)力代數(shù)值正好與應(yīng)力圓上相差180°的兩個點(diǎn)A和B的坐標(biāo)值相對應(yīng)，由此可以證明應(yīng)力圓上的點(diǎn)與平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的應(yīng)力有如下對應(yīng)關(guān)系：

(1)點(diǎn)面對應(yīng)：應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)單元體某一方位面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力值。如圖7-9(b)上的D點(diǎn)的坐標(biāo)即為斜截面α面的正應(yīng)力和切應(yīng)力。

(2)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)：應(yīng)力圓半徑旋轉(zhuǎn)時，半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)隨之改變，對應(yīng)地，斜截面外法線亦沿相同方向旋轉(zhuǎn)，才能保證某一方向面上的應(yīng)力與應(yīng)力圓上半徑端點(diǎn)的坐標(biāo)相對應(yīng)。

(3)二倍角對應(yīng)：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過的角度，等于斜截面外法線旋轉(zhuǎn)角度的2倍。因?yàn)椋趩卧w中，外法線與x軸間夾角相差180°的兩個面是同一截面，而應(yīng)力圓中圓心角相差360°時才能為同一點(diǎn)。

4.應(yīng)力圓的應(yīng)用

(1)應(yīng)用應(yīng)力圓能夠確定任意斜截面上應(yīng)力的大小和方向。

(2)確定主應(yīng)力的大小和方位。

(3)確定極值剪應(yīng)力及其作用面。

例7-3如圖7-10(a)所示單元體，試用應(yīng)力圓求：①α=30°斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力及其方位；③極值切應(yīng)力(圖中應(yīng)力單位為MPa)。圖7-10

例7-4討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼和鑄鐵試樣受扭時的破壞現(xiàn)象。

解(1)畫出危險點(diǎn)應(yīng)力單元體。從扭轉(zhuǎn)試件表面任一點(diǎn)D處截取應(yīng)力單元體，單元體各表面上的應(yīng)力如圖7-11(a)所示，σx=σy=0，τxy=τ=T/WP。此應(yīng)力單元體所表示的應(yīng)力狀態(tài)是平面應(yīng)力狀態(tài)的一個特例，也就是第三章所述的純剪切應(yīng)力狀態(tài)。

圖7-11

(5)分析扭轉(zhuǎn)試件的破壞原因。由于一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)與試件的材料無關(guān)，故低碳鋼和鑄鐵試件在任一點(diǎn)處的最大應(yīng)力都可以根據(jù)圖7-11(c)來分析。扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)時，低碳鋼試件沿橫截面破壞，這正好是τmax所在平面，可見是被剪斷的。因?yàn)棣觤ax=σmax，所以說明低碳鋼的抗剪能力低于其抗拉能力。鑄鐵試件是沿著與軸線約成α0=45°的螺旋面破壞的，這正好是σmax所在平面，可見是被拉斷的。由于σmax=τmax，因此說明鑄鐵的抗拉能力低于其抗剪能力。

7.4三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力

1.三向應(yīng)力圓設(shè)受力構(gòu)件上的某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力單元體如圖7-12(a)所示。可以將這種應(yīng)力狀態(tài)分解為三種平面應(yīng)力狀態(tài)，分析平行于三個主應(yīng)力的三組特殊方位面上的應(yīng)力。

圖7-12

在平行于主應(yīng)力σ1的任意斜截面上，正應(yīng)力和切應(yīng)力都與σ1無關(guān)。因此，當(dāng)研究平行于σ1的這一組方位面上的應(yīng)力時，所研究的應(yīng)力狀態(tài)可以看作圖7-12(b)所示的平面應(yīng)力狀態(tài)，其斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力可以由式(7-1)、式(7-2)計(jì)算。

可以利用平面應(yīng)力圓的繪制方法分別畫出由σ2和σ3、σ1和σ3、σ1和σ2所決定的應(yīng)力圓，這三個應(yīng)力圓如圖7-13所示，稱為三向應(yīng)力圓。

圖7-13

2.最大應(yīng)力

綜上所述，在σ－τ平面內(nèi)，代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于應(yīng)力圓上，或位于由三個應(yīng)力圓所構(gòu)成的陰影區(qū)域內(nèi)。

由圖7-12可知，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，最大和最小正應(yīng)力分別為最大和最小主應(yīng)力，即

而最大切應(yīng)力為

最大切應(yīng)力位于σ1和σ3均成45°的截面上。

例7-5受力構(gòu)件上某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖7-14(a)所示，應(yīng)力單位是MPa。

(1)求主應(yīng)力。

(2)求最大切應(yīng)力。圖7-14

解(1)主應(yīng)力。這是一個三向應(yīng)力狀態(tài)，可以看出左、右面就是一對主平面，對應(yīng)的正應(yīng)力σ'=50MPa就是一個主應(yīng)力。其余的應(yīng)力構(gòu)成一個平面應(yīng)力狀態(tài)，左視圖如圖7-14(b)所示。根據(jù)應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定可以看出：σx=30MPa，σy=-20MPa，τxy=-40MPa。

(2)最大切應(yīng)力。

7.5廣義胡克定律

1.廣義胡克定律前幾章介紹了軸向拉伸或壓縮和純剪切時的胡克定律。軸向拉壓時橫向線應(yīng)變?yōu)榧兗羟袝r：

現(xiàn)在介紹復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。設(shè)受力構(gòu)件上某點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，它的應(yīng)力單元體如圖7-15所示。圖7-15

理論及實(shí)驗(yàn)均表明，對于連續(xù)均質(zhì)各向同性小變形線彈性材料，正應(yīng)力不會引起切應(yīng)變，切應(yīng)力也不會引起線應(yīng)變，而且切應(yīng)力引起的切應(yīng)變互不耦合。于是，就可以利用(a)、(b)、(c)三式求出各應(yīng)力分量各自對應(yīng)的應(yīng)變，然后再進(jìn)行疊加。例如，σx、σy和σz分別單獨(dú)作用時在x方向引起的線應(yīng)變分別為σx/E、-μ(σy/E)和-μ(σz/E)，將這三項(xiàng)疊加即得：εx=[σx-μ(σy+σz)]/E，同理可以求出εy和εz。經(jīng)整理后即得

對于切應(yīng)變和切應(yīng)力之間的關(guān)系，仍然是式(c)所表示的關(guān)系，且與正應(yīng)力分量無關(guān)。由此可得，在xy、yz和zx三個平面內(nèi)的切應(yīng)變分量為

式(7-10)、式(7-11)稱為廣義胡克定律

如果單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，即有σz=0，如圖7-16所示，可得二向應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系式：

式(7-12)稱為二向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。圖7-16

2.主應(yīng)變與主應(yīng)力的關(guān)系

3.體積變化與應(yīng)力之間的關(guān)系

上式可以寫成圖7-17

例7-6直徑為d=20mm的實(shí)心軸(見圖7-18(a))，軸的兩端加扭力矩Me=126N·m，在軸的表面上某點(diǎn)A處用應(yīng)變儀測出與軸線成-45°方向的線應(yīng)變ε=5×10-4，求該圓軸材料的切變模量G。圖7-18

例7-7-在一個體積比較大的鋼塊上有一個直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一個直徑為50mm的鋼制圓柱(見圖7-19(a))，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，已知E=200GPa，μ=0.3。試求該圓柱一點(diǎn)處的主應(yīng)力。

解圓柱體橫截面上的壓應(yīng)力為

圖7-19

7.6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能與畸變能

1.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能單向拉壓時，如果應(yīng)力σ和應(yīng)變ε之間的關(guān)系是線性的，那么根據(jù)功能關(guān)系，應(yīng)變能等于外力對彈性體做的功，根據(jù)式(219)可得，應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為

2.畸變能密度

一般情況下，單元體變形時既有體積改變，也有形狀改變。對應(yīng)地，應(yīng)變能密度也可以看成由兩部分構(gòu)成：①因體積變化而儲存的應(yīng)變能密度，稱為體積應(yīng)變能密度，用vV表示。體積變化是指單元體的棱邊變形相等，變形后仍為正方體，只是體積發(fā)生變化而形狀不變。②單元體體積不變，但由正方體變?yōu)殚L方體而儲存的應(yīng)變能密度，稱為畸變能密度，用vd表示。于是有

3.彈性常數(shù)E、G、μ之間的關(guān)系

材料有三個彈性常數(shù)，材料的拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G和泊松比μ，這三個彈性常數(shù)不是彼此獨(dú)立的，式(35)給出了它們之間的關(guān)系，即

現(xiàn)對這一關(guān)系證明如下。

某單元體處于圖7-11(a)所示的純剪切應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)式(36)可知，此單元體的剪切應(yīng)變能密度為

該單元體的主應(yīng)力為

對應(yīng)的主應(yīng)力單元體如圖7-11(c)所示。代入式(7-18)，可得應(yīng)變能密度為

式(a)與式(b)表示的是同一單元體的應(yīng)變能密度，二者應(yīng)該相等，即

將式(a)、(b)代入式(c)，可得

此即為式(35)，三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系得證。

7.7-強(qiáng)度理論概述

1.強(qiáng)度理論概述1)材料的破壞形式在強(qiáng)度問題中，失效或破壞形式大致可以分為兩種，即脆性斷裂和塑性屈服。脆性斷裂是指在外力作用下，由于應(yīng)力過大而產(chǎn)生裂縫并導(dǎo)致斷裂，例如鑄鐵在拉伸和扭轉(zhuǎn)時的破壞屬于脆性斷裂。這種破壞的特點(diǎn)是在沒有明顯塑性變形的情況下突然發(fā)生斷裂，斷裂發(fā)生在最大正應(yīng)力的作用面上。塑性屈服是指在構(gòu)件上出現(xiàn)顯著的塑性變形，例如低碳鋼在拉伸和扭轉(zhuǎn)時的屈服失效。材料無論出現(xiàn)脆性斷裂或塑性屈服，構(gòu)件都會喪失正常的工作能力。

2)簡單應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件

在前面幾章中，我們在各基本變形強(qiáng)度分析中，建立了相應(yīng)的強(qiáng)度條件，它們可以概括為

其中：n是安全系數(shù)，極限應(yīng)力σu或τu是通過試驗(yàn)測定出來的。

3)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度理論

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，σ1、σ2和σ3的比值可以有無數(shù)多種組合形式，即使對于同一種材料，在不同的主應(yīng)力比值下，材料的失效應(yīng)力值也各不相同。例如三向等拉時，在很小的應(yīng)力數(shù)值下材料就會失效；三向等壓(靜水壓力)時，應(yīng)力數(shù)值達(dá)到很大時材料都不會失效。所以根本不可能對每一種主應(yīng)力比值，一一通過試驗(yàn)來測定材料破壞時的極限應(yīng)力。

對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，一般是依據(jù)部分試驗(yàn)結(jié)果，經(jīng)過推理、分析來建立失效準(zhǔn)則。即將簡單應(yīng)力狀態(tài)看成復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的特殊情況，利用簡單應(yīng)力狀態(tài)下試驗(yàn)得到的材料破壞時的極限應(yīng)力，根據(jù)材料的破壞規(guī)律，尋找同一種失效形式的共同因素，經(jīng)過推理來建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞準(zhǔn)則和強(qiáng)度條件。于是對材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下失效的共同原因提出了各種不同的假說，來推測材料失效的原因。這類假說稱之為強(qiáng)度理論。

2.最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)力是引起斷裂失效的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂失效。既然該理論認(rèn)為斷

裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向拉伸試驗(yàn)建立斷裂準(zhǔn)則，得到斷裂準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σb除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第一強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

討論：第一強(qiáng)度理論基本上能反映脆性材料失效的實(shí)際情況，適用于鑄鐵、磚石、陶瓷、玻璃等脆性材料有拉應(yīng)力存在的情況，當(dāng)一點(diǎn)在任何截面上都沒有拉應(yīng)力時，該理論就不適用。脆性材料扭轉(zhuǎn)也是沿拉應(yīng)力最大的斜截面發(fā)生斷裂，與此理論相符合。

3.最大拉應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大拉應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)變ε1達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂失效。既然該理論認(rèn)為斷裂失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大拉應(yīng)變的試驗(yàn)結(jié)果來建立斷裂準(zhǔn)則，得到斷裂準(zhǔn)則為

利用廣義胡克定律得到

將上式代入式(a)就得到斷裂準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σb除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第二強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

4.最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

這一理論認(rèn)為最大切應(yīng)力是引起屈服的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力τmax達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服失效。既然該理論認(rèn)為屈

服失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力和試驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)則為

根據(jù)式(7-8)知

在單向應(yīng)力狀態(tài)下：

將式(c)、(d)代入式(b)就得到屈服準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σs除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

5.畸變能密度理論(第四強(qiáng)度理論)

畸變能密度理論認(rèn)為畸變能密度是引起屈服的主要因素。即應(yīng)力無論是什么狀態(tài)，只要畸變能密度νd達(dá)到與材料性質(zhì)有關(guān)的某一極限值，材料就發(fā)生屈服失效。既然該理論認(rèn)為屈服失效與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，我們就可以利用單向應(yīng)力狀態(tài)的畸變能密度和試驗(yàn)結(jié)果來得到屈服準(zhǔn)則為

在單向應(yīng)力狀態(tài)下：

將式(f)代入式(e)，整理后就得到屈服準(zhǔn)則為

將極限應(yīng)力σs除以安全因素得到許用應(yīng)力[σ]，所以第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為

6.強(qiáng)度條件的統(tǒng)一表達(dá)式

上面所述的四種強(qiáng)度理論可以用一個統(tǒng)一的表達(dá)式表示為

式中σri稱為相當(dāng)應(yīng)力，它并不是實(shí)際存在的應(yīng)力，而是由強(qiáng)度理論得出的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下三個主應(yīng)力按照一定形式的組合值，相當(dāng)于把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度相當(dāng)?shù)膯蜗驊?yīng)力狀態(tài)，然后建立強(qiáng)度條件。

按照從第一強(qiáng)度理論到第四強(qiáng)度理論的順序，相當(dāng)?shù)膽?yīng)力分別為

7.材料的脆性狀態(tài)與塑性狀態(tài)

材料的失效形式不僅取決于材料的性質(zhì)，還與其所處的應(yīng)力狀態(tài)、溫度和加載速度等因素有關(guān)。即使是同一種材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)下也可能有不同的失效形式。例如，碳鋼在單向拉伸下以屈服的形式失效，但碳鋼制成的螺釘在受拉時，螺紋根部因應(yīng)力集中引起三向