材料力學(第三版) 課件 第1-3章 緒論、軸向拉壓與材料的力學性能、扭轉

第1章緒論1.1材料力學的任務與研究對象1.2材料力學的基本假設1.3外力與內(nèi)力1.4應力與應變1.5桿件變形的基本形式習題

1.1-材料力學的任務與研究對象

機械和工程結構都是由許多零件或部件組成的，組成機械與工程結構的零、部件統(tǒng)稱為構件。當機械或工程結構工作時，每個構件都將受到外力的作用。在外力作用下，構件的形狀、尺寸都將發(fā)生變化，這種變化稱為變形。構件的變形分為兩類：一類是外力卸除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；另一類是外力卸除后不能消失的變形，稱為塑性變形或殘余變形。

1.1.1-材料力學的任務

實踐表明：構件的變形與作用力有關。當作用力過大時構件將產(chǎn)生顯著塑性變形或發(fā)生斷裂，這在工程中是不允許的。為了保證機械或工程結構能夠安全、正常工作，構件應

有足夠的能力承擔相應的載荷。為此，一般需要滿足如下三方面的要求。

(1)強度要求：在規(guī)定載荷作用下構件不應發(fā)生破壞。這里所指的破壞，不僅是指構件在外力作用下的斷裂，還包含構件產(chǎn)生過大的塑性變形，如儲氣罐在工作時不應發(fā)生爆裂。強度是指構件抵抗破壞的能力。

(2)剛度要求：在規(guī)定載荷作用下構件不應發(fā)生過大的彈性變形，如機床主軸若產(chǎn)生過大彈性變形會影響加工精度。剛度是指構件抵抗彈性變形的能力。

(3)穩(wěn)定性要求：在規(guī)定載荷作用下構件應保持其原有的平衡狀態(tài)。受壓的細長桿件，如千斤頂?shù)穆輻U、內(nèi)燃機的挺桿等，當壓力增大到一定值時會突然變彎。穩(wěn)定性是指構件保持其原有平衡狀態(tài)的能力。

1.1.2材料力學的研究對象

工程中有各種形狀的構件，按照其幾何特征，主要可分為桿件、板件和塊。

一個方向的尺寸遠大于其他兩個方向尺寸的構件，稱為桿件(見圖1-1)。桿件是工程中最常見、最基本的構件。梁、軸、柱等均屬桿類構件。

桿件橫截面的幾何中心稱為形心，各橫截面形心的連線稱為桿件的軸線。橫截面與軸線相互正交。軸線為直線的桿稱為直桿；軸線為曲線的桿稱為曲桿。所有橫截面形狀和尺

寸相同的桿稱為等截面桿；橫截面的形狀和尺寸不完全相同的桿稱為變截面桿。

圖1-1

一個方向的尺寸遠小于其他兩個方向尺寸的構件，稱為板件(見圖1-2)。平分板件厚度的幾何面，稱為中面。中面為平面的板件稱為板(見圖1-2(a))，中面為曲面的板件稱為殼(見圖1-2(b))。薄壁容器等均屬此類構件。

三個方向幾何尺寸相近的構件稱為塊。

圖1-2

1.2材料力學的基本假設

構件在外力作用下會產(chǎn)生變形，制造構件的材料稱為變形固體。變形固體的性質是多方面的，從不同角度研究問題，側重面也有所不同。在研究構件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題時，為了抽象出力學模型，掌握與研究問題有關的主要因素，略去一些次要因素，材料力學對變形固體做出如下基本假設：

(1)連續(xù)性假設：假設組成固體的物質毫無間隙地充滿了固體的幾何空間。實際上，組成固體的粒子之間存在著空隙(圖1-3是球墨鑄鐵的顯微組織，圖1-4是普通碳素鋼的顯微組織，圖1-5是優(yōu)質碳素鋼的顯微組織)。但這種空隙的大小與構件尺寸相比極其微小，可以忽略不計，于是就認為固體在其整個體積內(nèi)是連續(xù)的。這樣，構件內(nèi)的一些力學量(例如各點的位移)可用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示，對這些函數(shù)可進行坐標增量為無限小的極限分析。

圖1-3圖1-4圖1-5

應該指出，連續(xù)性不僅存在于構件變形前，而且存在于變形后，即構件內(nèi)變形前相鄰的質點變形后仍保持鄰近，既不產(chǎn)生新的空隙或空洞，也不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。所以，上述假設也稱為變形連續(xù)性假設。

(2)均勻性假設：假設固體內(nèi)各點處具有完全相同的力學性能。材料在外力作用下所表現(xiàn)的性能，稱為材料的力學性能。

上述兩種假設可統(tǒng)稱為均勻連續(xù)性假設。以此假設為基礎，研究構件的強度、剛度、穩(wěn)定性問題所得出的結論是滿足工程要求的。而對于發(fā)生在晶粒大小范圍內(nèi)的力學問題，

均勻連續(xù)性假設則不成立。

(3)各向同性假設：假設材料沿各個方向具有完全相同的力學性能。沿各個方向具有相同力學性能的材料稱為各向同性材料。例如玻璃為典型的各向同性材料。金屬的各個晶粒均屬于各向異性體，但由于金屬構件所含晶粒極多，而且晶粒的排列也是完全無序的，因此，在各個方向上力學性質趨于相同，宏觀上可將金屬視為各向同性材料。在今后的討論中一般都將變形固體假定為各向同性的。

1.3外力與內(nèi)力

1.外力及其分類研究某一構件時，該構件以外的其他物體作用在該構件上的力稱為外力。按外力的作用方式，可將作用在構件上的外力分為表面力和體積力。表面力是作用于物體表面的力，又可分為分布力和集中力。分布力是連續(xù)作用于物體表面的力，如作用于油缸內(nèi)壁上的油壓力等。

按載荷隨時間變化的情況又可將外力分為靜載荷與動載荷。載荷緩慢地由零增加到某一定值，以后即保持不變，或變動不顯著，這種載荷稱為靜載荷。如機器緩慢地放置在基礎上，機器的重量對基礎的作用便是靜載荷。載荷隨時間的變更而變化，這種載荷稱為動載荷。隨時間交替變化的載荷稱為交變載荷，物體的運動在短時內(nèi)突然改變所引起的載荷稱為沖擊載荷。

2.內(nèi)力與截面法

由剛體靜力學可知，為了分析兩物體之間的相互作用力，必須將該二物體分離。同樣，要分析構件的內(nèi)力，例如要分析圖1-6(a)所示桿件橫截面m-m上的內(nèi)力，可以假想沿著該截面將桿件切開，切開截面的內(nèi)力如圖1-6(b)所示。由連續(xù)性假設可知，內(nèi)力是作用在切開截面上的連續(xù)分布力。

圖1-6

應用力系簡化理論，將上述分布力向橫截面的任一點(如形心C)簡化，得主矢FR與主矩M(見圖1-7(a))。為了分析內(nèi)力，沿截面軸線方向建立坐標軸x，在所切橫截面內(nèi)建立坐標軸y與z，并將主矢與主矩沿上述三軸分解(見圖1-7(b))，得內(nèi)力分量FN、FSy與FSz，以及內(nèi)力偶矩Mx、My與Mz。

沿著軸線的內(nèi)力分量FN，稱為軸力；作用線位于所切橫截面的內(nèi)力分量FSy與FSz，稱為剪力；矢量沿著軸線的內(nèi)力偶矩分量Mx，稱為扭矩；矢量位于所切橫截面的內(nèi)力偶矩My與Mz，稱為彎矩。

圖1-7

將桿件假想地切開以顯示內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與外力間的關系或由外力確定內(nèi)力的方法，稱為截面法，它是分析桿件內(nèi)力的一般方法，可將其歸納為以下三個步驟：

(1)截：欲確定構件某一截面上的內(nèi)力時，假想地用一平面將構件沿該截面分為兩部分。

(2)取：取其中任一部分為研究對象，棄去另一部分，并用作用于截面上的內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用。

(3)算：對留下的部分建立靜平衡方程，確定該截面上的內(nèi)力。

例1-1某搖臂鉆床如圖1-8(a)所示，承受載荷F作用。試確定m-m截面上的內(nèi)力。圖1-8

1.4應力與應變

1.應力設在圖1-9(a)所示受力構件的m-m截面上，圍繞C點取一微小面積ΔA，ΔA上內(nèi)力的合力為ΔF。則ΔF與ΔA的比值稱為ΔA上的平均應力，并用pm表示，即

一般情況下，內(nèi)力在截面上并非均勻分布，平均應力的大小、方向將隨所取ΔA的大小不同而變化。當ΔA→0時，平均應力的極限值稱為C點的內(nèi)力集度，或總應力p，即

總應力p的方向就是當ΔA→0時ΔF的極限方向。

通常將總應力p沿截面的法向與切向分解為兩個量(見圖1-9(b))。沿截面法向的應力分量稱為正應力，用σ表示；沿截面切向的應力分量稱為切應力，用τ表示。顯然有圖1-9

2.應變

假想將構件分割成許多微小的單元體。構件受力后不僅各單元體的位置發(fā)生改變，而且單元體棱邊的長度發(fā)生改變(見圖1-10(a))，相鄰棱邊間的夾角也發(fā)生改變(見圖1-10(b))。圖1-10

圖1-11

例1-3兩邊固定的矩形薄板如圖1-12所示。變形后ab和ad兩邊保持為直線。a點沿垂直方向向下移動0.025mm。試求ab邊的平均線應變和ab、ad兩邊夾角的變化量。圖1-12

1.5桿件變形的基本形式

桿件受外力作用時發(fā)生的變形是多種多樣的。對其進行仔細分析，可以將桿件的變形分為以下四種基本形式：(1)拉伸或壓縮變形：這種變形是由沿軸線方向作用的外力所引起的變形，表現(xiàn)為桿件長度的伸長或縮短，任意橫截面間只有沿軸線方向的線位移(見圖1-13(a))。

(2)剪切變形：這種變形是由等值、反向、相距很近、作用線垂直于軸線的一對力引起的變形，表現(xiàn)為橫截面沿外力作用方向發(fā)生相對錯動(見圖1-13(b))。

(3)扭轉變形：這種變形是由力偶矩大小相等、轉向相反、作用面均垂直于桿件軸線的兩個力偶引起的變形，表現(xiàn)為桿件的任意兩個橫截面繞軸線發(fā)生相對轉動(見圖1-13(c))。

(4)彎曲變形：這種變形是由垂直于桿件軸線的橫向力，或由作用于縱向對稱面內(nèi)的一對等值、反向的力偶引起的變形，表現(xiàn)為桿件軸線由直線變?yōu)榍€(見圖1-13(d))。

圖1-13

習題

圖1-1

1-1-分別求題1-1圖所示結構中構件m-m、n-n橫截面上的內(nèi)力,并指明各構件的變形形式。

1-2分別求出題1-2圖所示桿件指定截面上的內(nèi)力。題1-2圖

1-3如題1-3圖所示,拉伸試樣上A、B兩點的距離為l,稱為標距。受力作用后,用變形儀測出兩點的距離增量為Δl=5×10-2mm,若l=100mm,試求A、B兩點間的平均線應變。題1-3圖

1-4在題1-4圖所示結構中,當力作用在把手上時,引起搖臂AB順時針轉過θ=0.002rad,求繩子BC的平均線應變。題1-4圖

1-5如題1-5圖所示,三角形薄板因受外力作用而變形,角點B垂直向上的位移為0.03mm,水平位移為0,變形過程中AB與BC始終保持為直線。試求沿OB方向的平均線應變,并求AB與BC兩邊在B點的切應變。題1-5圖

1-6構件變形后的形狀如題1-6圖中虛線所示。試求棱邊AB與AD的平均線應變,以及A點處直角∠BAD的切應變。題1-6圖第2章軸向拉壓與材料的力學性能2.1引言2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應力2.3材料拉伸與壓縮時的力學性能2.4拉壓桿的強度計算2.5拉壓桿的變形計算2.6簡單拉壓靜不定問題2.7連接件的強度計算習題

2.1引言

在生產(chǎn)實踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖2-1(a)所示的連接螺栓承受拉力作用，圖2-1(b)所示的活塞桿承受壓力作用。此外，如起重鋼索在起吊重物時承受拉力作用；千斤頂?shù)穆輻U在頂起重物時承受壓力作用；而桁架中的桿件，則不是受拉就是受壓。

圖2-1

工程中受拉或受壓的桿件很多，它們的外形各不相同，加載方式也迥異，但它們的共同特點是：作用于桿件上的外力或其合力的作用線沿桿件軸線，而桿件的主要變形為軸向伸長或縮短。作用線沿桿件軸線的載荷，稱為軸向載荷。以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉壓。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿。圖2-2是等截面拉壓桿的力學簡圖，圖中虛線表示變形后的形狀。

圖2-2

2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應力

2.2.1軸力與軸力圖對于圖2-3(a)所示兩端承受軸向載荷F作用的拉壓桿，為了顯示和確定橫截面上的內(nèi)力，應用截面法，沿橫截面m-m假想地將桿件分成兩部分(見圖2-3(b)、(c))。兩段桿件在橫截面m-m上相互作用的內(nèi)力是一個分布力系，其合力為FN。根據(jù)二力平衡條件可知，F(xiàn)N必沿桿件軸線方向，所以稱為軸力。軸力或為拉力，或為壓力。習慣上把拉伸時的軸力規(guī)定為正，壓縮時的軸力規(guī)定為負。

軸力的代數(shù)值可以由桿件左段(或右段)的平衡方程∑Fx=0求得。由圖2-3(b)，得

圖2-3

例2-1試繪制圖2-4(a)所示拉壓桿的軸力圖。

解(1)計算桿件各段的軸力。根據(jù)該拉壓桿承受的外力，將桿件分為AB、BC、CD三段，分別以11、2-2與33截面為各段代表性截面。

先計算AB段的軸力。沿11截面假想地將桿件截開，取其受力簡單的左段桿為研究對象，假定該截面上的軸力FN1為正(見圖2-4(b))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

再計算BC段的軸力。沿2-2截面假想地將桿件截開，以左段作為研究對象，假設軸力FN2為正(見圖2-4(c))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

FN2為負值，表示實際軸力方向與假設方向相反，即為壓力。

同樣可算得CD段33截面(見圖2-4(d))上的軸力為FN3=-4kN。

(2)繪軸力圖。以平行于桿軸的坐標x表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標FN表示相應截面的軸力，繪制的這種圖線就是軸力圖(見圖2-4(e))。在工程中，有時可將x和FN坐標軸省略，這樣的軸力圖如圖2-4(f)所示。軸力圖需要標明軸力的單位與各段的正、負和數(shù)值，并且要與桿件的橫截面位置相對應，以便清晰表明軸力沿桿軸的變化情形。顯然，由軸力圖2-4(e)、(f)可以看出，該拉壓桿在AB段受拉，在BCD段受壓；桿內(nèi)軸力的最大值為12kN。

圖2-4

2.2.2-橫截面上的應力

圖2-5(a)所示為一等截面直桿，變形前，在其側面畫兩條垂直于桿軸的橫線ab與cd。然后，在桿兩端施加一對大小相等、方向相反的軸向載荷F。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)橫線ab與cd仍為直線，且仍垂直于桿件軸線，只是間距增大，分別平移至圖示a'b'與c'd'位置。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是軸向拉壓時的平面假設。由此可以設想，組成拉壓桿的所有縱向纖維的伸長是相同的。又由于材料是均勻的，所有縱向纖維的力學性能相同，可以推斷各縱向纖維的受力是一樣的。因此，拉壓桿橫截面上各點的正應力σ相等，即橫截面上的正應力是均勻分布的。

圖2-5

2.2.3圣維南原理

當作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時，外力作用點附近各截面的應力，也為非均勻分布。圣維南(Saint-Venant)原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍內(nèi)的應力分布，影響區(qū)域的軸向范圍約為1~2個桿端的橫向尺寸。此原理已為大量試驗與計算所證實。例如，圖2-6(a)所示承受集中力F作用的桿，其截面寬度為h，在x=h/4與x=h/2的橫截面11與2-2上，應力明顯為非均勻分布(見圖2-6(b)、(c))，但在x=h的橫截面33上，應力則趨向均勻分布(見圖2-6(d))。

圖2-6

2.2.4拉壓桿斜截面上的應力

考慮圖2-7(a)所示拉壓桿，利用截面法，沿任一斜截面m-m將桿切開，該截面的方位以其外法線軸n與x軸間的夾角α表示。仿照證明橫截面上正應力均勻分布的方法，可知斜截面m-m上的應力pα亦為均勻分布(見圖2-7(b))，且其方向與桿軸平行。

圖2-7

由式(2-2)可知，當α=0°時，正應力最大，其值為

即拉壓桿的最大正應力發(fā)生在橫截面上，其值為σ。

由式(2-3)可知，當α=45°時，切應力最大，其值為

即拉壓桿的最大切應力發(fā)生在與桿軸成45°的斜截面上，其值為σ/2。

為便于應用上述公式，現(xiàn)對方位角與切應力的正負符號作如下規(guī)定：以x軸正向為始邊，向斜截面外法線方向旋轉，規(guī)定方位角α逆時針轉向為正，反之為負；切應力使得研究對象順時針轉動為正，反之為負。按此規(guī)定，圖2-7(c)所示之α與τα均為正。

例2-2-圖2-8(a)圖2-8(a)所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時承受軸向載荷F1與F2-作用。試計算桿橫截面上的最大正應力。已知載荷F1=20kN，F(xiàn)2=50kN，桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20mm與d2=30mm。圖2-8

例2-3圖2-9(a)所示的軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，載荷F=50kN。試計算斜截面m-m上的正應力與切應力。圖2-9

2.3材料拉伸與壓縮時的力學性能

材料的力學性能也稱為機械性能，是指材料在外力作用下所表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。材料的力學性能要通過試驗來測定。在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的加載方式進行試驗，是測定材料力學性能的基本試驗。

2.3.1拉伸試驗與應力應變曲線

為了便于比較不同材料的試驗結果，需要將試驗材料按國家標準的規(guī)定加工成標準試樣。常用的標準拉伸試樣如圖2-10所示，標記m與n之間的桿段為試驗段，其長度l稱為標距。對于試驗段直徑為d的圓截面試樣(見圖2-10(a))，通常規(guī)定

而對于試驗段橫截面面積為A的矩形截面試樣(見圖2-10(b))，則規(guī)定

圖2-10

試驗時，首先將試樣安裝在材料試驗機的上、下夾頭內(nèi)(見圖2-11)，并在標記m和n處安裝測量變形的儀器。然后開動試驗機，緩慢加載，試驗段的拉伸變形用Δl表示。通過測量力與變形的裝置，試驗機可以自動記錄所加載荷以及相應的伸長量，得到拉力F與變形Δl間的關系曲線如圖2-11所示，稱為試樣的拉力伸長曲線或拉伸圖。試驗一直進行到試樣斷裂為止。

圖2-11

2.3.2-低碳鋼拉伸時的力學性能

低碳鋼(含碳量0.25%以下)是工程中廣泛使用的金屬材料，其應力應變曲線非常典型。圖2-12所示為Q235鋼的應力應變曲線。現(xiàn)以該曲線為基礎，并根據(jù)試驗過程中觀察到的現(xiàn)象，介紹低碳鋼拉伸時的力學性能。

圖2-12

1.彈性階段(O~b)

在拉伸的初始階段，應力應變曲線為一直線(圖中之Oa)，說明在此階段內(nèi)，正應力與線應變成正比，即

引入比例常數(shù)E，可得

上述關系稱為胡克定律，比例常數(shù)E稱為材料的彈性模量。

線性階段最高點a所對應的應力，稱為材料的比例極限，用σp表示；直線Oa的斜率在數(shù)值上等于材料的彈性模量E。Q235鋼的比例極限為σp≈200MPa，彈性模量為E≈200GPa。

從a點到b點，圖線ab稍微偏離直線Oa，正應力σ和線應變ε不再保持嚴格的線性關系，但變形仍然是彈性的，即卸除載荷后變形將完全消失，試件恢復原始尺寸。b點所對應的應力是材料只產(chǎn)生彈性變形的最高應力，稱為彈性極限，用σe表示。對于大多數(shù)材料，在應力應變曲線上，a、b兩點非常接近，工程上常忽略這點差別，也可以說，應力不超過彈性極限時，材料服從胡克定律。

2.屈服階段(b~c)

超過彈性極限之后，應力與應變之間不再保持線性關系。當應力增加至某一定值時，應力應變曲線呈現(xiàn)水平階段(可能有微小波動)。在此階段內(nèi)，應力幾乎不變，而應變急劇增大，材料暫時失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為屈服。屈服時所對應的應力最小值稱為材料的屈服應力或屈服極限，用σs表示，低碳鋼Q235的屈服極限為σs≈235MPa。如果試件表面光滑，屈服時試件表面出現(xiàn)與軸線約成45°的線紋(見圖2-13)。如前所述，在桿件的45°斜截面上作用有最大切應力，因此，上述線紋可認為是由最大切應力所引起的，稱之為滑移線。

圖2-13

3.強化(硬化)階段(c~e)

經(jīng)過屈服階段之后，材料又恢復了抵抗變形的能力。這時，要使材料繼續(xù)變形需要增大應力。經(jīng)過屈服滑移之后，材料重新呈現(xiàn)抵抗繼續(xù)變形的能力，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化或強化。強化階段的最高點e所對應的應力，稱為材料的強度極限，用σb表示。低碳鋼Q235的強度極限為σb≈380MPa。強度極限是材料所能承受的最大應力，它是衡量材料強度的另一重要指標。

4.頸縮階段(e~f)

當應力增至最大值σb之后，試件的某一局部顯著收縮(見圖2-14)，產(chǎn)生所謂頸縮現(xiàn)象。圖2-14

2.3.3卸載定律及冷作硬化現(xiàn)象

如將試件拉伸到超過彈性范圍后的任意一點處，如圖2-12中的d點，然后緩慢卸除拉力，應力、應變關系將沿圖中dd'直線回到d'點。斜直線dd'近似地平行于直線Oa。說明材料在卸載過程中應力與應變呈線性關系，這就是卸載定律。

試件卸載后，在短期內(nèi)再次加載，應力和應變關系基本上沿卸載時的斜直線d'd變化，直到d點后又沿曲線def變化?？梢?，在再次加載過程中，直到d點以前，材料的應力和應變關系服從胡克定律。比較曲線Oabcdef和d'def，可見第二次加載時，其比例極限有顯著提高。這種現(xiàn)象稱為冷作硬化現(xiàn)象或加工硬化現(xiàn)象。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。

2.3.4材料的塑性

材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力，稱為材料的塑性或延性。材料的塑性用延伸率或斷面收縮率度量。

試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試驗段的長度由原來的l變?yōu)閘1，將殘余變形與試驗段原長l的比值，稱為材料的延伸率，并用δ表示，即

低碳鋼的延伸率約為25%~30%。延伸率大的材料，在軋制或冷壓成型時不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。在工程中，通常將延伸率較大(δ≥5%)的材料稱為延性或塑性材料；延伸率較小(δ<5%)的材料稱為脆性材料。結構鋼、鋁合金、黃銅等為塑性材料；而工具鋼、灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等屬于脆性材料。

設試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后縮頸處的最小截面面積為A1，則斷面收縮率為

Q235鋼的斷面收縮率ψ≈60%。

2.3.5其他材料拉伸時的力學性能

圖2-15所示為30鉻錳硅鋼、50鋼、硬鋁等金屬材料的應力應變曲線?？梢钥闯?，它們斷裂時均具有較大的殘余變形，屬于塑性材料。不同的是，有些材料不存在明顯的屈服階段。

圖2-15x

對于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2%的殘余應變所對應的應力作為屈服應力，稱為名義屈服極限，并用σ0.2表示。如圖2-16所示圖2-16

至于脆性材料，例如鑄鐵，從開始受力直至斷裂，變形始終很小，既不存在屈服階段，也無頸縮現(xiàn)象。圖2-17所示為鑄鐵拉伸時的應力應變曲線，斷裂時的應變僅為0.4%~0.5%，斷

口垂直于試樣軸線，即斷裂發(fā)生在最大拉應力作用面，斷口表面呈粗糙顆粒狀。

圖2-17

2.3.6復合材料與高分子材料的拉伸力學性能

復合材料具有強度高、剛度大與密度小的特點。碳/環(huán)

氧(即碳纖維增強環(huán)氧樹脂基體)是一種常用復合材料，圖2-18所示為某種碳/環(huán)氧復合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應力應變曲線。

圖2-18

高分子材料也是一種常用的工程材料，圖2-19所示為幾種典型高分子材料拉伸時的應力應變曲線。圖2-18

2.3.7材料在壓縮時的力學性能

低碳鋼壓縮時的應力應變曲線如圖2-20(a)所示，為了便于比較，圖中還畫出了拉伸時的應力應變曲線?？梢钥闯?，屈服之前壓縮曲線與拉伸曲線基本重合，壓縮與拉伸時的屈服應力與彈性模量基本相同。不同的是，過了屈服階段后，隨著壓力不斷增大，低碳鋼試樣愈壓愈“扁平”(見圖2-20(b))，因而得不到壓縮強度極限。因為可以從拉伸試驗測定低碳鋼壓縮時的力學性能，所以一般不進行低碳鋼壓縮試驗。

圖2-20

鑄鐵壓縮時的應力應變曲線如圖2-21(a)所示。壓縮強度極限遠高于拉伸強度極限(約為3~4倍)。其他脆性材料如混凝土與石料等也具有上述特點，所以脆性材料宜作承壓構件。鑄鐵壓縮破壞的形式如圖2-21(b)所示，斷口的方位角約為45°~55°。由于該截面上存在著較大的切應力，所以，鑄鐵壓縮破壞是由最大切應力所引起的。

為便于查閱與比較，表2-1列出了幾種常用材料在常溫、靜載下σs、σb和δ的數(shù)值。

圖2-21

2.3.8應力集中

由于結構與使用等方面的需要，許多構件常常帶有溝槽(如螺紋)、油孔和圓角(構件由粗到細的過渡圓角)等。在外力作用下，構件中鄰近溝槽、油孔或圓角的局部范圍內(nèi)，應

力急劇增大。例如，圖2-22(a)所示含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面A-A上的應力分布如圖2-22(b)所示，最大局部應力σmax顯著超過該截面的平均應力。由于截面急劇變化所引起的應力局部增大現(xiàn)象稱為應力集中。圖2-22

應力集中的程度用應力集中因數(shù)K表示，其定義為

式中：σn為名義應力。名義應力是在不考慮應力集中條件下求得的平均應力。最大局部應力是由試驗或數(shù)值計算方法確定的。圖2-23給出了含圓孔與帶圓角板件在軸向受力時的應力集中系數(shù)。

圖2-23

對于由塑性材料制成的構件，應力集中對其在靜載荷作用下的強度影響很小。因為當最大局部應力σmax達到屈服應力σs后，該處材料的變形可以繼續(xù)增長而應力卻不再加大。如果繼續(xù)增大載荷，則所增加的載荷將由同一截面的未屈服部分承擔，以致屈服區(qū)不斷擴大(見圖2-24)，應力分布逐漸趨于均勻。所以，在研究塑性材料構件的靜強度問題時，通?？梢?/p>

不考慮應力集中的影響。

圖2-24

2.4拉壓桿的強度計算

2.4.1失效與許用應力通常將材料的強度極限與屈服極限統(tǒng)稱為材料的極限應力，用σu表示。對于脆性材料，強度極限為其唯一強度指標，通常以強度極限作為極限應力；對于塑性材料，其屈服應力小于強度極限，通常以屈服應力作為極限應力。

根據(jù)分析計算所得構件的應力，稱為工作應力。在理想情況下，為了充分利用材料的強度，似乎可以使構件的工作應力接近于材料的極限應力，但實際上是不可能的，原因如下：

(1)作用在構件上的外力常常估計不準確。

(2)構件的外形與所受外力往往比較復雜，進行分析計算常常需要進行一些簡化。因此，計算所得應力(即工作應力)與實際應力有一定的差別。

(3)實際材料的組成與品質難免存在差異，不能保證構件所用材料與標準試樣具有完全相同的力學性能，更何況由標準試樣測得的力學性能，本身也帶有一定的分散性，這種差別在脆性材料中尤為顯著。

(4)為了確保安全，構件還應具有適當?shù)膹姸葍?，特別是對于因破壞將帶來嚴重后果的構件，更應該給予較大的強度儲備。

由此可見，構件工作應力的最大容許值，必須低于材料的極限應力。對于由確定材料制成的具體構件，工作應力的最大容許值，稱為許用應力，并用[σ]表示。許用應力與極限應力的關系為

式中，n為大于1的因數(shù)，稱為安全因數(shù)。

2.4.2-強度條件

根據(jù)以上分析，為了保證拉壓桿在工作時不因強度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應力σmax不得超過材料的許用應力[σ]，即要求

上述判據(jù)稱為拉壓桿的強度條件或強度設計準則。對于等截面拉壓桿，上式可寫為

利用上述條件，可以解決以下三類強度問題：

(1)強度校核。

(2)設計截面。例如對于等截面拉壓桿，其所需橫

截面的面積為

(3)確定承載能力。如果已知拉壓桿的截面尺寸和許用應力，根據(jù)強度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為

例2-4圖2-25所示空心圓截面桿，外徑D=20mm，內(nèi)徑d=15mm，承受軸向載荷F=20kN，材料的屈服應力σs=235MPa，安全系數(shù)ns=1.5。試校核桿的強度。圖2-25

解桿件橫截面上的正應力為

材料的許用應力為

可見，工作應力小于許用應力，說明桿件能夠安全工作。

例2-5圖2-26所示起重機的起重鏈條由圓鋼制成，承受的最大拉力為F=15kN。已知圓鋼材料為Q235鋼，考慮到起重時鏈條可能承受沖擊載荷，取許用應力[σ]=40MPa。若只考慮鏈環(huán)兩邊所受的拉力，試確定圓鋼的直徑d。圖2-26

解利用截面法，可以求得鏈環(huán)每邊截面上的軸力為

所需圓環(huán)的橫截面面積為

由此可得鏈環(huán)的圓鋼直徑為

故可選用d=16mm的標準鏈環(huán)圓鋼。

例2-6圖2-27(a)所示為簡易旋臂式吊車，斜拉桿由兩根50×50×5的等邊角鋼所組成，水平桿由兩根10號槽鋼組成。材料都是Q235鋼，許用應力[σ]=120MPa。整個三角架可繞O1O1軸轉動，電動葫蘆可沿水平桿移動。當電葫蘆在圖示位置時，求最大起吊重量F(包括電葫蘆自重)。兩桿自重略去不計。

圖2-27

解(1)受力分析。AB、AC兩桿的兩端均可簡化為鉸鏈連接，故吊車的計算簡圖如圖2-27(b)所示。取節(jié)點A為研究對象，其受力圖如圖2-27(c)所示。設AC桿受拉力FN1，AB桿受壓力FN2。由平面匯交力系的平衡條件

得

2.5拉壓桿的變形計算

當桿件承受軸向載荷時，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形或縱向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。

2.5.1拉壓桿的軸向變形與胡克定律

圖2-282.5.2-拉壓桿的橫向變形與泊松比

例2-7圖2-29所示連接螺栓，連接部分的長度l=600mm，直徑d=100mm，擰緊螺母時連接部分的伸長變形Δl=0.30mm，螺

栓用鋼制成，其彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.30。試計算螺栓橫截面上的正應力、螺栓的預緊力及橫向變形。圖2-29

例2-8圖2-30所示桁架由桿1和2組成，并在節(jié)點A承受集中載荷F作用。桿1用鋼桿制成，彈性模量E1=200GPa，橫截面積A1=100mm2，桿長l1=1m；桿2用硬鋁管制成，彈性模量E2=70GPa，橫截面積A2=250mm2；載荷F=10kN。求節(jié)點A的

位移。

圖2-30

2.5.3軸向拉壓時的應變能

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷在相應位移上做功。與此同時，彈性體因變形具有做功的能力，即具有能量。當外力逐漸減小時，變形逐漸消失，彈性體又將釋放出儲存的能量而做功。如機械鐘表的發(fā)條被擰緊而產(chǎn)生變形，發(fā)條內(nèi)儲存能量；隨后發(fā)條在放松的過程中釋放能量，帶動齒輪系使指針轉動。彈性體因變形而儲存的能量，稱為應變能，并用Vε表示。

圖2-31

彈性體單位體積內(nèi)存儲的應變能稱為應變能密度，并用νε表示。因為拉壓桿各部分的受力與變形是均勻的，桿的每一單位體積內(nèi)存儲的變形能應相同，所以其應變能密度為

利用功能原理可以解決與構件或結構變形有關的問題，這種方法稱為能量法。

2.6簡單拉壓靜不定問題2.6.1靜不定問題分析討論的問題中，桿件的約束力與軸力都可由靜平衡方程完全確定，這類問題稱為靜定問題。在有些情況下，桿件的約束力與軸力并不能全由靜平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。在靜定問題中，未知力的數(shù)目等于獨立靜平衡方程的數(shù)目，所有未知力具有確定的解；在靜不定問題中，未知力的數(shù)目多于獨立靜平衡方程的數(shù)目，即存在所謂的多余約束，未知力的解不完全確定。未知力數(shù)目與獨立靜平衡方程數(shù)目之差稱為靜不定次數(shù)。

圖2-32

桁架三根桿原交于一點A，變形后它們?nèi)越挥谝稽c，此外，由于桿1與桿2的受力及抗拉剛度均相同，結構對稱節(jié)點A應沿鉛垂方向下移，由A移動到A'，桁架的變形如圖2-32(c)所示。可見，為保證三桿變形后仍交于一點，即保證結構的連續(xù)性，桿1、桿2的變形Δl1、Δl2-與桿3的變形Δl3之間應滿足如下關系：

保證結構連續(xù)性所滿足的變形幾何關系，稱為變形協(xié)調(diào)條件，該條件用數(shù)學方程寫出來稱之為變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)條件即為求解靜不定問題的補充條件。

設三桿的變形均處于線彈性范圍，則由胡克定律可知，各桿的變形與軸力間的關系分別為

示變形與軸力的關系式稱為物理方程。將式(d)、(e)代入式(c)，得到用軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程即補充方程：

最后，聯(lián)立求解方程(a)、(b)、(f)，得

所得結果均為正，說明各桿軸力均為拉力的假設是正確的。

綜上所述，求解靜不定問題必須考慮以下三個方面：滿足靜平衡方程；滿足變形協(xié)調(diào)條件；符合力與變形之間的物理關系。概而言之，即應綜合考慮靜力學、幾何與物理三方面。

例2-10圖2-33所示結構，梁BD可視為剛體，載荷F=50kN，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，許用拉應力[σt]=160MPa，許用壓應力[σc]=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。圖2-33

解(1)問題分析。剛性梁BD在B處受固定鉸鏈支座約束，如果再受桿1或桿2中某一個二力桿件約束，結構就是一個平面靜定結構；但是該結構是在桿1與桿2共同約束下，顯然存在著多余約束，屬于靜不定結構。

在載荷F作用下，剛性梁BD將繞B點沿順時針方向作微小轉動(如圖2-33(a)之虛線所示)，桿1伸長，桿2縮短。與此相應，桿1受拉，桿2受壓，其受力如圖2-33(b)所示，未知約束力共有4個，平面任意力系的獨立平衡方程只有3個，故為一靜不定問題。

(2)建立平衡方程。因為本例只需求出軸力FN1與FN2，建立平衡方程

另外兩個包括未知力FBx、FBy的平衡方程不必一一列出。

(3)建立補充方程。由變形關系圖2-33(a)，可寫出變形協(xié)調(diào)方程為

根據(jù)胡克定律，得物理方程為

將式(c)、(d)代入式(b)，得補充方程為

(4)軸力計算與截面設計。聯(lián)立求解平衡方程(a)與補充方程(e)，得

根據(jù)拉壓桿的強度條件，得桿1與桿2所需之橫截面面積分別為

但是，由于該結構的軸力是在A1=A2-的條件下求得的，如果桿1與桿2取不同的面積，軸力將隨之改變。因此，應取

(5)討論。

2.6.2-熱應力與預應力

靜不定問題的另一重要特征是，溫度的變化以及制造誤差會在靜不定結構中產(chǎn)生應力，這些應力分別稱為熱應力(溫度應力)與預應力(初應力、裝配應力)。

靜不定結構中的熱應力是由于熱膨脹(或收縮)受到約束而引起的。設桿件的原長為l，材料的線膨脹系數(shù)為α，則當溫度改變ΔT時，桿長的改變量為

對于圖2-34所示的兩端固定桿，由于溫度變形被固定端所限制，桿內(nèi)即引起熱應力。

為了分析該桿的熱應力，假想地將B端的約束解除，以支反力FR代替其作用，桿的軸向變形包括由溫度引起的變形和約束力引起的變形兩部分，即

由于桿的總長不變，因而有

由此求得桿內(nèi)橫截面上的正應力即熱應力為

圖2-34

不難看出，當溫升較大時，熱應力的數(shù)值相當可觀，不可忽視。例如，對于鋼管，E=200GPa，α=1.25×10-5/℃，ΔT=40℃時，桿內(nèi)的熱應力σT=100MPa。為了避免出現(xiàn)過高的熱應力，蒸汽管道中有時設置伸縮節(jié)(見圖2-35)，鋼軌在兩段接頭之間預留一定量的縫隙等，以削弱熱膨脹所受的限制，降低溫度應力。圖2-35

在加工制造構件時，尺寸上的一些微小誤差難以避免。對于靜定結構，加工誤差只不過是造成結構幾何形狀的微小變化，不會引起內(nèi)力。但對靜不定結構，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力。例如圖2-32所示桁架，若桿3比設計長度短Δ，裝配時為了將三根桿下端連接于一點，必須使桿3拉長，使桿1、2縮短。桿系經(jīng)裝配后，桿3內(nèi)便產(chǎn)生拉應力，而桿1、2-內(nèi)便產(chǎn)生壓應力。這種由于加工誤差而在裝配時產(chǎn)生的應力稱為裝配應力。

例2-11在圖2-36(a)所示結構中，橫梁AB為剛性桿。1、2兩桿的抗拉剛度分別為E1A1、E2A2。由于加工誤差，1桿比名義長度短了δ，試求1、2桿的內(nèi)力。圖2-36

解(1)靜力平衡方程。設1、2桿的軸力分別為FN1、FN2，見圖2-36(b)。由AB桿的平衡方程∑MA=0，得

(2)幾何方程。由于橫梁AB是剛性桿，因此結構變形后，它仍為直桿，由圖2-36(c)可以看出，1、2兩桿的伸長Δl1、Δl2-與δ應滿足以下關系：

(3)物理方程。兩桿的變形如圖所示，其伸長量分別為

聯(lián)立求解式(a)、式(b)、式(c)，可以得到

2.7連接件的強度計算

工程實際中，為了將機械零部件或結構構件互相連接起來，通常要用到螺栓、鉚釘、銷軸、鍵塊、木榫、焊接等連接方式。在這些連接中的螺栓、鉚釘、銷軸、鍵塊、榫頭等稱為連接件。工程上常用的連接件以及被連接的構件在連接處的應力，都屬于所謂“加力點附近的局部應力問題”。

由于應力的局部性質，連接件的橫截面上或被連接件連接處的應力分布是很復雜的，很難作出也沒有必要作出精確的理論分析。因此，對于連接件的強度問題，工程上大都采用實用計算法。這種方法的要點是：一方面，對連接件的受力與應力分布進行簡化與假定，從而計算出各部分的“名義應力”；另一方面，根據(jù)同類連接件的實物或模擬破壞實驗，由前述應力公式計算其破壞時的“極限應力”；然后根據(jù)上述兩方面得到的計算結果，建立強度條件，作為連接件設計的依據(jù)。

2.7.1剪切與剪切強度條件

如圖2-37所示，當作為連接件的銷釘兩側承受一對大小相等、方向相反、作用線互相平行且相距很近的力作用時，其主要失效形式之一是沿兩側外力之間并與外力作用線平行的橫截面發(fā)生剪切破壞。發(fā)生剪切破壞的橫截面稱為剪切面。剪切面上的內(nèi)力既有剪力FS，又有彎矩，但彎矩很小，可以忽略。利用截面法和靜力平衡方程不難求得剪切面上的剪力。例如，由圖2-37(c)可得

圖2-37

2.7.2-擠壓與擠壓強度計算

擠壓接觸面上的應力分布也是很復雜的。因此，在工程中同樣采取實用計算的方法，即假定擠壓應力在有效擠壓面上均勻分布。有效擠壓面簡稱擠壓面，其面積用符號Abs表

示，它是指實際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線平面上的投影。若實際擠壓面為平面，如圖2-38(a)所示的鍵，則圖示陰影部分實際擠壓面的面積就是有效擠壓面的面積Abs。對于銷釘、鉚釘?shù)葓A柱形連接件，其實際擠壓面為半圓柱面，擠壓面上的實際應力分布如圖2-38(b)所示。

圖2-38

根據(jù)實驗與分析結果，其最大擠壓應力約等于有效擠壓面上的平均應力。故對于圓柱形連接件，若直徑為d，連接板厚度為δ，則有效擠壓面的面積為Abs=δd，如圖2-37(c)所示。于是，擠壓應力為

實用計算的擠壓強度條件為

式中：[σbs]為許用擠壓應力，它也是根據(jù)同類構件的擠壓破壞實驗確定極限擠壓力，并由式(2-26)計算名義擠壓強度極限，再除以擠壓安全因數(shù)得到的。實驗表明，對于鋼材，有

式中：[σ]為拉伸許用應力。

例2-12-圖2-39所示的鋼板鉚接件中，已知鋼板的許用應力為[σ]=98MPa，許用擠壓應力[σbs]=196MPa，鋼板厚度δ=10mm，寬度b=100mm，鉚釘直徑d=17mm，鉚釘許用切應力[τ]=137MPa，擠壓許用應力為[σbs]=314MPa。若載荷Fp=23.5kN。試校核鋼板與鉚釘?shù)膹姸取?/p>

圖2-39

解(1)接頭破壞形式分析。鉚接接頭的破壞形式可能有如下四種：鉚釘被剪斷；鉚釘與孔壁相互擠壓產(chǎn)生顯著塑性變形；鋼板沿鉚釘孔中心所在的截面被拉斷；鋼板被拉豁。對于鋼板，由于自鉚釘孔邊緣線至端部的距離比較大，該鋼板縱向承受剪切的面積較大，因而具有較高的抗剪切強度，拉豁的可能性比較小。因此，本例中只需校核鋼板的拉伸強度和擠壓強度，以及鉚釘?shù)臄D壓和剪切強度?，F(xiàn)分別計算如下：

(2)對鋼板進行強度校核。

(3)對鉚釘進行強度校核。

例2-13如圖2-40所示，齒輪用平鍵與軸連接(圖中只畫出了軸與鍵，沒有畫齒輪)。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=(20×12×100)mm，傳遞的扭轉力偶矩為Me=2kN·m，鍵的許用切應力[τ]=60MPa，許用擠壓應力為[σbs]=100MPa。試校核鍵的強度。

圖2-40

例2-14圖2-41所示為一沖床工作簡圖，最大沖壓力Fmax=400kN，沖頭材料的許用擠壓應力為[σbs]=400MPa，鋼板的剪切強度極限τb=360MPa。試設計沖頭的最小直徑值及所能沖剪鋼板的厚度最大值。圖2-41

解(1)按沖頭壓縮強度計算d。

故有

取沖頭的最小直徑為dmin=36mm。

(2)按鋼板剪切強度計算厚度t。要完成沖剪工作，剪切面上的切應力應大于其剪切強度極限，即

可得

因此取能沖剪鋼板的最大厚度值tmax=9.8mm。

習題題2-1圖

2-1試畫題2-1圖所示各桿的軸力圖,并確定軸力的最大值。

2-2-題2-2圖所示階梯形圓截面桿AC,承受軸向載荷F1=200kN,F2=100kN,AB段的直徑d1=40mm。如欲使BC與AB段的正應力相同,試求BC段的直徑。題2-2-圖

2-3題2-3圖所示軸向受拉等截面桿,橫截面面積A=500mm

2,載荷F=50kN,試求圖示斜截面m-m上的正應力與切應力,以及桿內(nèi)的最大正應力與最大切應力。題2-3圖

2-4題2-4圖所示桿件,承受軸向載荷F作用。該桿由兩根木桿粘接而成,欲使粘接面上的正應力為其切應力的2倍,問粘接面的方位角θ應取何值?題2-4圖題2-4圖

2-5某材料的應力應變曲線如題2-5圖所示,試根據(jù)該曲線確定:

(1)材料的彈性模量E、比例極限σp與名義屈服極限σ0.2。

(2)當應力增加到σ=350MPa時,材料的正應變ε,以及相應的彈性應變εe與塑性應變εp。

題2-5圖

2-6三根桿的尺寸相同但材料不同,材料的σε曲線如題2-6圖所示,試問哪一種:①強度高?②剛度大?③塑性好?題2-6圖

2-7題2-7圖所示含圓孔板件,承受軸向載荷F作用。試求板件橫截面上的最大拉應力(考慮應力集中)。已知載荷F=32kN,板寬b=100mm,板厚δ=15mm,孔徑d=20mm。題2-7圖

2-8題2-8圖所示桁架,由圓截面桿1、2組成,并在節(jié)點A承受鉛垂向下的載荷F=80kN。桿1、桿2的直徑分別為d1=30mm和d2=20mm,兩桿的材料相同,屈服極限σs=320MPa,安全系數(shù)n=2.0。

(1)試校核桁架的強度。

(2)試確定載荷F的最大許可值[F]。題2-8圖

2-9題2-9圖所示的鏈條由兩層鋼板組成,每層板的厚度t=4.5mm,寬度H=65mm,h=40mm,鉚釘孔直徑d=20mm,鋼板材料的許用應力[σ]=80MPa。若鏈條的拉力F=25kN,校核它的拉伸強度。題2-9圖

2-10題2-10圖所示桁架,承受載荷F作用。試求該載荷的許用值[F]。設各桿的橫截面面積均為A,許用應力均為[σ]。(只考慮強度問題)題2-10圖

2-11蒸汽機的汽缸如題2-11圖所示,汽缸內(nèi)徑D=560mm,內(nèi)壓強p=2.5MPa,活塞桿直徑d=100mm,所用材料的屈服極限σs=300MPa。(1)試求活塞桿的正應力及工作安全系數(shù)。(2)若連接汽缸和汽缸蓋的螺栓直徑為30mm,其許用應力[σ]=60MPa,求連接汽缸蓋所需的螺栓數(shù)。題2-11圖

2-12-題2-12圖所示硬鋁試樣,厚度δ=2-mm,試驗段板寬b=20mm,標距l(xiāng)=70mm。在軸向拉力F=6kN的作用下,測得試驗段伸長Δl=0.15mm,板寬縮短Δb=0.014mm。試計算硬鋁的彈性模量與泊松比。題2-12-圖

2-13題2-13圖所示圓截面桿,F=4kN,F1=F2-=2kN,l=100mm,d=10mm,E=200GPa。試求桿的軸向變形Δl。題2-13圖

2-14題2-14圖所示螺栓,擰緊時產(chǎn)生Δl=0.10mm的軸向變形。試求預緊力F,并校核螺栓的強度。已知:d1=8.0mm,d2-=6.8mm,d3=7.0mm;l1=6.0mm,

l2=29mm,l3=8mm,E=210GPa,[σ]=500MPa。題2-14圖

2-15題2-15圖所示鋼桿,橫截面面積A=2500mm2,彈性模量E=210GPa,軸向載荷F=200kN,試在下列兩種情況下確定桿端的支反力:(1)間隙δ=0.6mm;(2)間隙δ=0.3mm。題2-15圖

2-16試計算題2-16圖所示桁架節(jié)點A的水平位移與鉛垂位移。設各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題2-16圖

2-17在題2-17圖所示鋼筋混凝土柱的橫截面上,鋼筋面積與混凝土面積之比為1∶40。二者的彈性模量之比為10∶1,問二者各承擔多少載荷?題2-17圖

2-18兩鋼桿如題2-18圖(a)、(b)所示,已知截面積A1=1×102-mm2,A2=A3=2×102-mm2。試求當溫度升高30℃時,各桿橫截面上的最大正應力。鋼的線膨脹系數(shù)αl=12.5×10-6/℃,彈性模量E=210GPa。題2-18圖

2-19一種制作預應力鋼筋混凝土的方式如題2-19圖所示。首先用千斤頂以拉力F拉伸鋼筋(見圖(a)),然后澆注混凝土(見圖(b))。待混凝土凝固后,卸除拉力F(見圖(c)),這時,混凝土受壓,鋼筋受拉,形成預應力鋼筋混凝土。設拉力F使鋼筋橫截面產(chǎn)生的初應力σ0=820MPa,鋼筋與混凝土的彈性模量之比為8∶1,橫截面面積之比為1∶30,試求鋼筋與混凝土橫截面上的預應力。

題2-19圖

2-20題2-20圖所示銷釘連接,已知F=18kN,板厚t1=8mm,t2=5mm,銷釘與板的材料相同,許用切應力為[τ]=60MPa,許用擠壓應力為[σbs]=200MPa,試設計銷釘?shù)闹睆絛。題2-20圖

2-21兩塊鋼板厚度t=6mm,用三個鉚釘連接,如題2-21圖所示。已知F=50kN,材料的許用切應力為[τ]=100MPa,許用擠壓應力為[σbs]=280MPa,試設計銷釘?shù)闹睆絛?，F(xiàn)在若用直徑為12mm的鉚釘,則鉚釘數(shù)應該是多少?題2-21圖

2-22-車床的傳動光桿上裝有安全聯(lián)軸器,當傳遞的扭力矩超過一定值時,安全銷即被剪斷。已知題2-22圖所示安全銷的平均直徑d=5mm,軸的直徑為20mm,銷釘?shù)募羟袠O限應力τu=370MPa,求安全聯(lián)軸器所能傳遞的最大力偶矩Me。題2-22圖第3章扭轉3.1引言3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖3.3-薄壁圓筒扭轉試驗與剪切胡克定律3.4圓軸扭轉的應力與變形3.5圓軸扭轉時的強度條件與剛度條件3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力與變形3.7非圓截面軸扭轉習題

3.1引言

扭轉是桿件的基本變形形式之一。例如，汽車的轉向軸(見圖3-1)上端受到經(jīng)由方向盤傳來的力偶Me作用，下端承受來自轉向器的阻抗力偶Me'作用，轉向軸各橫截面繞軸線作相對轉動。再如變速機構中的傳動軸(見圖3-2)。

圖3-1圖3-2

桿件橫截面繞軸線作相對旋轉為主要特征的變形形式(見圖3-3)，稱為扭轉。截面間繞軸線的相對角位移，稱為扭轉角。圖3-3

由此可見，在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)作用有力偶時，桿件產(chǎn)生扭轉變形。使桿件產(chǎn)生扭轉變形的外力偶，稱為扭力偶，其力矩稱為扭力偶矩。凡是以扭轉變形為主要變形的構件，稱為軸。

工程實際中有很多構件，如攻絲的絲錐、車床的光杠、攪拌機軸、汽車的傳動軸等；還有一些軸類零件，如電動機主軸、水輪機主軸、機床傳動軸等，都是受扭構件。除存在扭轉變形之外還有彎曲變形，這稱為組合變形。

3.2扭力偶矩、扭矩與扭矩圖

1.扭力偶矩的計算對于傳動軸等構件，往往只給出軸所傳遞的功率和轉速，可利用動力學知識，根據(jù)功率、轉速和扭力偶矩之間的關系：求出作用在軸上的扭力偶矩為

2.扭矩與扭矩圖

為了計算圓軸的應力和變形，首先要分析其橫截面上的內(nèi)力。如圖3-4(a)所示圓軸，承受外力偶矩Me作用，現(xiàn)用截面法分析任意橫截面n－n上的內(nèi)力。在n－n截面處假想地將圓軸截開，取其左段為研究對象，作用在軸左段上的外力偶矩為Me，由平衡理論可知，作用在n－n

截面上分布內(nèi)力系的合成結果必為一力偶，而且該力偶的作用面在橫截面內(nèi)。

將作用于橫截面的內(nèi)力偶矩稱為該截面的扭矩，用T來表示(見圖3-(b))。由軸左段平衡條件：

得n－n截面的扭矩為

圖3-4

例3-1已知傳動軸(見圖3-5(a))的轉速n=300r/min，主動輪為A，輸入功率PA=50kW，兩個從動輪為B、C，其中B輪輸出功率PB=30kW。試作軸的扭矩圖。圖3-5

解(1)扭力偶矩計算。A輪為主動輪，故MA的方向與軸的轉向一致；而作用在從動輪B、C上的扭力偶矩MB、MC的方向與軸的轉向相反。MA、MB的大小分別為

由靜平衡條件∑Mx=0，求得

(2)扭矩計算。用截面法求各段扭矩。在AB段內(nèi)，任選1－1截面為代表，從該截面截開，研究左段(見圖3-5(b))，假定1－1截面上的扭矩T1取正值，由平衡條件∑Mx=0，得

同理，在AC段內(nèi)，任選22截面為代表，從該截面截開，研究右段，假定22截面上的扭矩T2取正值(見圖3-5(c))，由平衡條件亦可求得

(3)畫扭矩圖。以橫坐標x表示橫截面位置(與軸的受力圖上下對應)，以縱坐標表示相應的扭矩，按選定比例作出BA、AC兩段軸的扭矩圖。因為在每段內(nèi)扭矩是不變的，故扭矩圖由兩段水平線組成，如圖3-5(d)。由圖知，該傳動軸的最大扭矩發(fā)生在AB段內(nèi)，值為

3.3-薄壁圓筒扭轉試驗與剪切胡克定律

1.薄壁圓筒扭轉時的應力與變形圖3-6(a)所示為一壁厚為δ、平均半徑為R0的薄壁圓筒(δ≤R0/10)。受扭前，在圓筒表面上畫出一組圓周線和縱向線組成的矩形方格。在兩端扭力偶矩Me的作用下，圓筒產(chǎn)生扭轉變形(見圖3-6(b))。

圖3-6

2.純剪切與切應力互等定理

3.剪切胡克定律

利用薄壁圓筒的扭轉可做純剪切試驗。試驗結果表明：對于大多數(shù)工程材料，如果切應力不超過材料的剪切比例極限τp，則切應力與切應變成正比(見圖3-7)，即

上述關系稱為剪切胡克定律，比例常數(shù)G稱為材料的切變模量，其單位是Pa，常用單位是GPa。

理論和試驗均表明，對于各向同性材料，彈性模量E、泊松比μ與切變模量G三個彈性常數(shù)之間存在如下關系：

因此，當已知任意兩個彈性常數(shù)時，由公式(3-5)可以確定第三個彈性常數(shù)。由此可見，各向同性材料只有兩個獨立的彈性常數(shù)。

圖3-7

4.剪切應變能

圖3-8所示微體處于純剪切應力狀態(tài)。在切應力τ的作用下，微體發(fā)生切應變γ，頂面與底面間的相對位移為γdy，因此，作用在微體上的剪力所做之功或微體的應變能為

由此得剪切應變能密度為圖3-8

3.4圓軸扭轉的應力與變形

3.4.1試驗與假設首先通過試驗觀察圓軸的扭轉變形，并對其內(nèi)部變形規(guī)律作出假設。取一等截面圓軸，在其表面畫上圓周線和縱向線(見圖3-9(a))，然后在軸兩端加上一對大小相等、方向相反的扭力偶。

圖3-9

在小變形情況下，其變形特點與薄壁圓筒扭轉時相同

(見圖3-9(b))：

(1)各圓周線大小、形狀和間距都不變，只是繞軸線各自轉過了不同角度。

(2)各縱向線傾斜了同一角度γ，變形前的小矩形變成了平行四邊形。

由于圓周線大小、形狀和間距都不變，通過由表及里的想象和推測，可以對圓軸扭轉變形作出如下假定：變形前的橫截面，變形后仍保持平面，其形狀、大小和各橫截面之間的間距保持不變，且半徑仍保持直線。即各橫截面如同剛性圓片一樣，繞軸線作相對轉動。此假設稱為圓軸扭轉的平面假設，該假設已為理論和試驗所證實

3.4.2圓軸扭轉切應力的一般公式

1.幾何方面

為了確定橫截面上各點處的應力，需要了解軸內(nèi)各點處的變形。為此，用相距dx的兩個橫截面以及夾角無限小的兩個徑向縱截面，從軸內(nèi)切取一楔形體O1ABCDO2進行分析(見圖3-10(a))。圖3-10

根據(jù)平面假設可知，楔形體變形后的形狀如圖中虛線所示，圓軸表面的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BC'D'，距軸線任意位置ρ處的矩形abcd變?yōu)槠叫兴倪呅蝍bc'd'，即均在垂直于半徑的平面內(nèi)發(fā)生剪切變形。設楔形體左、右兩側面間的相對轉角為dφ，矩形abcd的切應變?yōu)棣忙?，則由圖可知

由于dφ/dx是常量，所以切應變γρ與點到軸心的距離ρ成正比。

2.物理方面

由剪切胡克定律可知，在剪切比例極限內(nèi)，切應力與切應變成正比，因此，橫截面ρ處的切應力為

由此可得圓軸扭轉時橫截面上的應力分布規(guī)律：只存在與半徑垂直的切應力，其大小沿半徑呈線性變化(見圖3-10(b))。實心與空心圓截面扭轉切應力分布分別如圖3-11(a)、(b)所示。圖3-11

3.靜力學方面

圖3-12x

3.4.3-最大扭轉切應力

3.4.4圓軸的扭轉變形

3.5圓軸扭轉時的強度條件與剛度條件

1.扭轉極限應力

扭轉試驗是用圓截面試樣在扭轉試驗機上進行的。試驗表明：塑性材料試樣在受扭過程中，先是發(fā)生屈服(見圖3-3(a))，如果繼續(xù)增大扭轉力矩，試樣最后沿橫截面被剪斷(見圖3-3(b))。脆性材料試樣受扭時，變形始終很小，最后在與軸線約成45°傾角的螺旋面發(fā)生斷裂(見圖3-13(c))。圖3-13

由此可見，對于受扭圓軸，塑性材料失效的標志是屈服，試件屈服時橫截面上的最大切應力即為材料的扭轉屈服應力，用τs表示。屈服時試件表面會出現(xiàn)滑移線(見圖3-13(a))；脆性材料失效的標志是斷裂，試件斷裂時橫截面上的最大切應力即為材料的扭轉強度極限，用τb來表示。扭轉屈服應力τs和扭轉強度極限τb又統(tǒng)稱為材料的扭轉極限應力，用τu來表示。

2.圓軸扭轉強度條件

用材料的扭轉極限應力τu除以安全系數(shù)n，得材料的扭轉許用應力為

許用應力。對于等截面圓軸，則要求

此時|T|max作用截面即為軸的危險截面；而對于變截面圓軸，則要求

此時，由于圓軸各段的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作用截面不一定是危險截面。需要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)的大小，確定可能產(chǎn)生最大切應力的各橫截面。式(3-15)、式(3-16)稱為圓軸扭轉強度條件。

理論分析和試驗研究表明，材料的扭轉許用切應力[τ]與許用拉應力[σ]之間存在下列關系：

3.圓軸扭轉剛度條件

工程中的有些軸，為了能正常工作，除要求滿足強度條件外，還要對軸的扭轉變形作一定的限制。例如機床主軸的扭轉角過大會影響加工精度，高速運轉的軸扭轉角過大會引起強烈振動。一般來說，對于有精度要求和限制振動的機械，都需要考慮軸的扭轉變形。在扭轉問題中，通常是限制單位長度的最大扭轉角θmax不得超過單位長度許用扭轉角[θ]。

因此，由式(3-7)，對于等截面圓軸，其扭轉剛度條件為

對于變截面圓軸

例3-3-一等截面實心圓軸，轉速n=300r/min，傳遞的功率P=331kW，若圓軸材料的許用切應力[τ]=40MPa，單位長度許用扭轉角[θ]=0.5°/m，材料切變模量G=80GPa。試設計圓軸直徑d。

解圓軸所傳遞的外力偶矩為

此時，橫截面上的扭矩為

由圓軸扭轉的強度條件

得圓軸直徑

為了用剛度條件計算圓軸直徑，首先將單位長度許用扭轉角[θ]進行單位換算：

由圓軸扭轉的剛度條件

得圓軸直徑

圓軸的直徑取較大值，取d=112

例3-5圖3-14所示為板式槳葉攪拌器，已知電動機的功率是17kW，攪拌器的轉速是60r/min，機械傳動的效率是90%，軸用?117×6不銹鋼管制成，材料的許用切應力[τ]=30MPa，試按強度條件校核攪拌軸是否安全。

圖3-14

例3-6圖3-15所示兩圓軸用法蘭上的12個螺栓連接。已知軸傳遞的扭矩Me=50kN·m，法蘭邊厚t=20mm，平均直徑D=300mm，軸的許用切應力[τ]=40MPa，螺栓的許用切應力[τ]=60MPa，許用擠壓應力[σbs]=120MPa，試求軸的直徑d和螺栓直徑d1。

解(1)求軸的直徑。

由軸的剪切強度條件

可得

圖3-15

例3-7圖3-16(a)所示A、B兩端分別固定的等截面圓軸，C處承受扭力偶矩M的作用，試求固定端A、B處的約束力偶矩。圖3-16

4.圓軸的合理截面與減緩應力集中

在工程中，空心圓軸得到了廣泛的應用，這主要是由扭轉切應力的分布規(guī)律決定的。實心圓軸橫截面上的扭轉切應力分布如圖3-17(a)所示，當截面周邊處的切應力達到許用切應力時，軸心附近各點處的切應力仍很小，這部分材料就沒有充分發(fā)揮作用。所以，為了充分利用材料，宜將材料放置在離圓心較遠的部位，作成空心軸，此時切應力分布規(guī)律如圖3-17(b)所示，其切應力和內(nèi)力的力臂都將增大，軸的抗扭能力將大大增強。圖3-17

3.6圓柱形密圈螺旋彈簧的應力與變形

螺旋彈簧是工程中常用的機械零件，多用于緩沖裝置、控制機構及儀表中，如車輛上用的緩沖彈簧，發(fā)動機進排氣閥與高壓容器安全閥中的控制彈簧，彈簧秤中的測力彈簧等。螺旋彈簧有多種形式，最常用的是圓柱形螺旋彈簧，簧絲截面也為圓形。

如圖3-18(a)所示，圓柱形彈簧的主要幾何參數(shù)有：彈簧圈的平均直徑D，簧絲直徑d，螺旋線升角α。α≤5°時稱為密圈彈簧，α>5°時稱為松圈彈簧。密圈彈簧在受軸向拉壓載荷作用時，簧絲的主要變形形式為扭轉，松圈彈簧則為拉壓、扭轉、彎曲組合變形。此外，螺旋彈簧還可以按彈簧指數(shù)m=D/d分為兩類：m較大(d?D)時稱為輕型彈簧(細彈簧)，m較小時稱為重型彈簧(粗彈簧)。輕型彈簧的簧絲可近似按直桿進行分析計算，重型彈簧的簧絲則應考慮曲率引起的修正。本節(jié)主要介紹輕型密圈螺旋彈簧的應力與變形。圖3-18

1.彈簧絲橫截面上的應力

對于圖3-18(a)所示承受拉力F作用的密圈螺旋彈簧，利用截面法，以通過彈簧軸線的截面，將某一圈的彈簧絲截開，并取上半部分作為研究對象(見圖3-18(b))。由于螺旋升角α很小，因此所截截面可近似看成是彈簧絲的橫截面。于是，根據(jù)保留部分的平衡條件可知，在彈簧絲橫截面上必然同時存在剪力FS及扭矩T，其值分別為

2.彈簧的變形

彈簧在軸向壓(拉)力F作用下，軸線方向的總縮短(伸長)量為λ(見圖3-19(a))。試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，F(xiàn)與λ成正比(見圖3-19(b))。當軸向壓(拉)力從零增加到最終值F時，所做之功為

圖3-19

例3-8某柴油機的氣閥彈簧，彈簧平均半徑R=59.5mm，彈簧絲橫截面直徑d=14mm，有效圈數(shù)n=5。材料的[τ]=350MPa，G=80GPa。彈簧工作時承受壓力F=2500N。試校核彈簧的強度并計算其壓縮變形。

(2)變形計算。由式(3-25)計算彈簧的壓縮變形：

3.7非圓截面軸扭轉

1.自由扭轉與限制扭轉試驗研究和理論分析均表明，非圓截面軸扭轉時，橫截面將不再保持平面而發(fā)生翹曲(見