新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示導(dǎo)學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)問點(diǎn)一空間直角坐標(biāo)系及空間向量的坐標(biāo)表示(1)空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}(如圖)，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做eq\x(\s\up1(01))坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做eq\x(\s\up1(02))原點(diǎn)，i，j，k都叫做eq\x(\s\up1(03))坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做eq\x(\s\up1(04))坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．(2)空間向量的坐標(biāo)表示①在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間隨意一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的eq\x(\s\up1(05))橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的eq\x(\s\up1(06))縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的eq\x(\s\up1(07))豎坐標(biāo).②在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作eq\x(\s\up1(08))a＝(x，y，z).學(xué)問點(diǎn)二空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算坐標(biāo)表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)加法a＋b＝eq\x(\s\up1(01))(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b＝eq\x(\s\up1(02))(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa＝eq\x(\s\up1(03))(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·b＝eq\x(\s\up1(04))a1b1＋a2b2＋a3b3學(xué)問點(diǎn)三空間向量的平行或垂直的坐標(biāo)表示平行或垂直坐標(biāo)表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)平行(a∥b)a∥b?a＝λb?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1,a2＝λb2,\x(\s\up1(01))a3＝λb3))(λ∈R且b≠0)垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?eq\x(\s\up1(02))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0學(xué)問點(diǎn)四空間向量的長度公式及夾角的坐標(biāo)表示(1)空間向量長度公式的坐標(biāo)表示①若a＝(a1，a2，a3)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\x(\s\up1(01))eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).②空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)P1＝(x1，y1，z1)，P2＝(x2，y2，z2)是空間中隨意兩點(diǎn)，則P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\x(\s\up1(02))eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(2)向量的夾角坐標(biāo)公式設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).1．空間向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系向量的坐標(biāo)即終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，肯定要留意向量的起點(diǎn)是否在原點(diǎn)，在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)坐標(biāo)相同；不在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)加上起點(diǎn)坐標(biāo)才是終點(diǎn)坐標(biāo)．2．向量平行與垂直問題的三種題型題型1：空間向量平行與垂直的推斷，利用空間向量平行與垂直的條件進(jìn)行推斷．題型2：利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用，解題時(shí)要留意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程；②最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．題型3：利用向量的坐標(biāo)處理空間中的平行與垂直：①向量化：即將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；②向量關(guān)系代數(shù)化：即寫出向量的坐標(biāo)；③求解：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列出關(guān)系式求解．3．用空間向量的數(shù)量積解決夾角問題空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，常常以空間向量的數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角的問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應(yīng)向量的夾角問題，但要留意空間兩條直線所成的角與對應(yīng)向量的夾角的取值范圍．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量eq\o(AP,\s\up6(→))的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)一樣．()(2)對于空間隨意兩個(gè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a與b共線，則eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3).()(3)空間向量a＝(1,1,1)為單位向量．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x1，y1，z1)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1，z1)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＋b＝(10，－5，－6) B．a(chǎn)－b＝(2，－1，－6)C．a(chǎn)·b＝10 D．|a|＝6(2)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,5,6)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝________.(3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，假如a與b為共線向量，則x＝________，y＝________.(4)已知a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，則cos〈a，b〉＝________.答案(1)D(2)(3,3,3)(3)eq\f(1,6)－eq\f(3,2)(4)eq\f(\r(6),3)題型一空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例1已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.空間向量的加法、減法、數(shù)量積及數(shù)乘運(yùn)算的方法(1)依據(jù)已知向量的坐標(biāo)，代入空間向量的加、減、數(shù)量積和數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行計(jì)算．(2)嫻熟應(yīng)用有關(guān)的公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類似，可類比記憶．計(jì)算(2a)·(－b)，既可以利用運(yùn)算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求數(shù)量積．[跟蹤訓(xùn)練1]已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)．解(1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9.題型二利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題例2如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B作BM⊥AC1于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．[解]由題意，知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，設(shè)M(x，y，z)，則eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－a，a，a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－a，y，z)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－a，y－a，z)．因?yàn)閑q\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(AC1,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC1,\s\up6(→))(λ∈R)，則x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②，得x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何中的垂直問題，關(guān)鍵是建立正確、恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過空間向量的分解方法精確地寫出所求各點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算，這是數(shù)學(xué)中化歸思想的詳細(xì)體現(xiàn)，如證明直線AB⊥CD，可轉(zhuǎn)化為證明eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可完成．[跟蹤訓(xùn)練2](1)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).①若ka＋b與ka－2b相互垂直，求k的值；②設(shè)|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.解①∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).②∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，∴設(shè)c＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c|＝3，∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H分別是CC1，BC，CD，A1C1的中點(diǎn)．求證：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD.證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1，1,1)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).①eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2))).因?yàn)閑q\o(AB1,\s\up6(→))＝2eq\o(GE,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1×eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))∥eq\o(GE,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(EH,\s\up6(→))，即AB1∥GE，AB1⊥EH.②eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－1))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2))).因?yàn)閑q\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋0＝0，eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＋0－eq\f(1,2)＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.因?yàn)镈F∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.題型三利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題例3(1)已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，若a與b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；(2)棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)．①求證：EF⊥CF；②求eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(CG,\s\up6(→))所成角的余弦值；③求CE的長．[解](1)由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝3t－eq\f(52,5)，因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(52,15))).(2)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2))).①證明：∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(CF,\s\up6(→))，即EF⊥CF.②∵|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(CG,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(CG,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(CG,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15).③|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，即CE＝eq\f(\r(5),2).[條件探究]若把本例(1)的條件改為“已知a＝(5,3，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，t，－\f(2,5)))，a與b的夾角為銳角”，應(yīng)如何解答？解由已知a·b＝5×2＋3t＋eq\f(2,5)＝3t＋eq\f(52,5)，因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以a·b>0，即3t＋eq\f(52,5)>0，所以t>－eq\f(52,15).若a與b的夾角為0°，則存在λ>0，使a＝λb(λ>0)，即(5,3，－1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2λ，,3＝λt，,－1＝－\f(2,5)λ，))進(jìn)而得t＝eq\f(6,5).故實(shí)數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52,15)，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞)).求角與距離問題的方法及解題步驟(1)求空間中兩向量夾角的方法①基向量法：結(jié)合圖形，選取一組合適的基底，將兩向量用基向量表示出來，然后代入夾角公式求解；②坐標(biāo)法：在圖形中建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出兩向量的坐標(biāo)，代入向量的夾角坐標(biāo)公式求解．利用坐標(biāo)法要留意兩點(diǎn)，一是坐標(biāo)系的選取，二是夾角的范圍〈a，b〉∈[0，π]，要特殊留意向量共線的狀況．(2)求空間中線段的長①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出對應(yīng)向量的坐標(biāo)；③利用向量的模的坐標(biāo)公式求向量的模，即線段的長．[跟蹤訓(xùn)練3](1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(55),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(11,5)答案C解析∵b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋eq\f(9,5).∴(|b－a|2)min＝eq\f(9,5).∴|b－a|min＝eq\f(3\r(5),5).(2)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，則AC與BD1所成角的余弦值為()A．0 B．eq\f(3\r(70),70)C．－eq\f(3\r(70),70) D．eq\f(\r(70),70)答案A解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)．所以eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－2，－2,3)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(－2，2,0)．所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BD1,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|))＝0.即所求余弦值為0.1．與a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量為()A．(1,7,5) B．(1，－7,5)C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)答案C解析因?yàn)?－1，－7,5)·(1,2,3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(3,1,2)＝－3－7＋10＝0，所以與向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量為(－1，－7,5)．故選C.2．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是()A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)答案D解析若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.故選D.3．(多選)設(shè)A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，M為AB的中點(diǎn)，則下列給出的各點(diǎn)中，到點(diǎn)M的距離與點(diǎn)C到點(diǎn)M的距離相等的是()A．E(0,2,0) B．F(0,2,3)C．P(0,2,6) D．Q(0,2,8)答案AC解析AB的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，又C(0,1,0)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)，3))，故M到C的距離CM＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2).對于A，EM＝|eq\o(EM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2)＝CM，故A正確；對于B，F(xiàn)M＝|eq\o(FM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋0)＝eq\f(\r(17),2)≠CM，故B錯(cuò)誤；對于C，PM＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2)＝CM，故C正確；對于D，QM＝|eq\o(QM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋52)＝eq\f(\r(117),2)≠CM，故D錯(cuò)誤．故選AC.4．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，則a·(b＋c)＝________，a·(b·c)＝________.答案3(12，－18,6)解析因?yàn)閎＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，所以b＋c＝(2,2,5)，b·c＝0＋0＋6＝6.又a＝(2，－3,1)，所以a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.a·(b·c)＝(2，－3,1)×6＝(12，－18,6)．5．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值．解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4，4,3)，C(0,4,0)，得eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,4，－3)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－4,0，－3)．設(shè)eq\o(A1B,\s\up6(→))與eq\o(B1C,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))||\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(9,25)，所以異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f(9,25).A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O為原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(BO,\s\up6(→))的夾角是()A．0 B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)答案B解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3eq\r(3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝6eq\r(3)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(54,3\r(3)×6\r(3))＝1.∵〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝0，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))〉＝π.2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq\r(29)，且λ＞0，則λ＝()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析由題意，得λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因?yàn)閨λa＋b|＝eq\r(29)，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.3．已知點(diǎn)A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形態(tài)是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4，－8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3，1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42＋82)＝eq\r(89)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(52＋12＋72)＝eq\r(75)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋32＋12)＝eq\r(14)，∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝75＋14＝89＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.∴△ABC為直角三角形．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于()A.eq\f(62,7) B．eq\f(64,7)C．eq\f(60,7) D．eq\f(65,7)答案D解析∵a，b，c三向量共面，則存在不全為零的實(shí)數(shù)x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7).))∴λ＝3x－2y＝eq\f(65,7).5．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上，那么當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))答案C解析設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))2－\f(1,3))).所以當(dāng)λ＝eq\f(4,3)時(shí)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))最小，此時(shí)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).故選C.6.(多選)如圖所示的幾何體ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中點(diǎn)．則下述結(jié)論正確的是()A．DM⊥EB B．BD⊥ECC．DE⊥BM D．EA⊥CD答案AD解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)EA＝DA＝AB＝2CB＝2，則A(0，0,0)，E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0，0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－\f(3,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－2,2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝(－2，0,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，僅有eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，從而得DM⊥EB，EA⊥CD.故選AD.二、填空題7．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________.答案7解析因?yàn)?ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(eq\r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.答案(－∞，－2)解析a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，設(shè)a，b的夾角為θ，因?yàn)棣葹殁g角，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不會反向，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－2)．9．已知邊長為4的正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P與正方形的中心O的連線PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，則PO的中點(diǎn)M到△PBC的重心N的距離為________.答案eq\f(5,3)解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)