2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)1.1菱形的性質(zhì)與判定（第二課時(shí)）【課件】

第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定（第二課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)01菱形的判定.（1）定義法：有一組

相等的平行四邊形是菱形.（2）判定定理：①對(duì)角線

的平行四邊形是菱形；②四條邊

的四邊形是菱形.（3）其他：對(duì)角線

的四邊形是菱形.鄰邊

互相垂直

相等

互相垂直平分

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入02一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.平行四邊形菱形的性質(zhì)菱形兩組對(duì)邊平行四條邊相等兩組對(duì)角分別相等鄰角互補(bǔ)兩條對(duì)角線互相垂直平分每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角邊角對(duì)角線復(fù)習(xí)引入問題

菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？根據(jù)菱形的定義，可得菱形的第一個(gè)判定的方法：且AB=AD，∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∴四邊形

ABCD是菱形.數(shù)學(xué)語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD思考

還有其他的判定方法嗎？猜想：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形我們用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘，做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋，可得到一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對(duì)此你有什么猜想？證明：∵

四邊形

ABCD是平行四邊形，

∴

OA=OC.

又∵

AC⊥BD，

∴

BD是線段

AC的垂直平分線.

∴

BA=BC.

∴

□ABCD是菱形（菱形的定義）.ABCOD

已知：如圖，四邊形

ABCD是平行四邊形，對(duì)角線

AC與

BD相交于點(diǎn)

O

，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證一證對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.AC⊥BD幾何語言描述：

在

□ABCD中，∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：歸納總結(jié)數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版典例講練03

已知四邊形ABCD為平行四邊形，有下列條件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使?ABCD為菱形的有

（填序號(hào)）.【思路導(dǎo)航】根據(jù)菱形的判定定理對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行逐一判斷即可.①③

【解析】根據(jù)菱形的判定定理和定義：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可知①③符合，②④不符合.故答案為①③.【點(diǎn)撥】菱形的判定方法有多種：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；③四邊相等的四邊形是菱形；④對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.菱形是特殊的平行四邊形，判定四邊形是菱形時(shí)，常在平行四邊形的基礎(chǔ)上加上菱形獨(dú)有的條件.

1.下列說法中，正確的是（

B

）A.兩組鄰邊相等的四邊形是菱形B.一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角的平行四邊形是菱形C.對(duì)角線互相垂直且一組鄰邊相等的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B2.如圖，在四邊形

ABC

D中，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段

A

D，

BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別是線段

B

D，

AC

的中點(diǎn).當(dāng)四邊形

ABC

D的

邊滿足

時(shí)，則四邊形EGFH是菱形.AB

＝

CD

如圖，在?ABCD中，BC＝2AB,AB⊥AC,分別在邊BC,A,D上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF,AE,CF,DE.（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；（1）解：四邊形AECF為菱形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CAF＝∠ACE.

如圖，設(shè)AC與EF相交于點(diǎn)O.

∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱，∴OE＝OF且EF⊥AC.

∴△AOF≌△COE（AAS）.∴OA＝OC.

又∵OE＝OF，EF⊥AC，∴四邊形AECF為菱形.如圖，在?ABCD中，BC＝2AB,AB⊥AC,分別在邊BC,A,D上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF,AE,CF,DE.（2）求證：AE⊥DE.

（2）證明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°.∴∠B＝60°.∵四邊形AECF為菱形，∴AE＝CE.

∴∠EAC＝∠ACB＝30°.∴∠BAE＝60°＝∠B.

∴AE＝BE＝AB，∠AEB＝60°.∴∠AEC＝120°.

【點(diǎn)撥】菱形的判定方法可以從邊和對(duì)角線兩個(gè)方面去探尋，若已知對(duì)角線互相垂直，則可以考慮證明四邊形是平行四邊形，解決問題的關(guān)鍵是要熟悉菱形的各種判定方法.

1.如圖，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，

BC

＝

6，點(diǎn)D為斜邊

AB

上一點(diǎn)，以

C

D，

CB

為邊作?

C

DE

B

.

當(dāng)

A

D

＝

時(shí)，則?

C

DE

B

為菱形.6

2.（2023·張家界）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.（1）求證：AE∥BF；

（2）若DF＝FC，求證：四邊形DECF是菱形.證明：（2）由（1）知，△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB.

∴CE∥DF.

又∵CE＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形.又∵DF＝FC，∴?DECF是菱形.

2.（2023·張家界）如圖，已知點(diǎn)A,D,C,B在同一條直線上,且AD＝BC,AE＝BF,

CE＝DF.

已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：△AEB≌△ADC.

圖1（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°.∴∠BAC＝∠DAE.

∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，即∠DAC＝∠EAB.

∴△AEB≌△ADC（SAS）.已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE.如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由.圖2（2）解：四邊形BCGE是平行四邊形.理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.∴∠BCG＝180°－∠ACB＝120°.∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°.∵FG∥BC，∴∠EGC＝∠ACB＝60°，∠DEG＝∠BDE.

同（1）的方法，得△AEB≌△ADC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC.

∴∠AEB＋∠DEG＝∠ADC＋∠BDE＝∠ADE＝60°.∴∠BEG＝∠AEB＋∠DEG＋∠AED＝60°＋60°＝120°.∴∠BEG＋∠EGC＝180°.∴BE∥CG.

又∵FG∥BC，∴四邊形BCGE是平行四邊形.（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說明理由.圖2（3）解：當(dāng)CD＝BC時(shí)，四邊形BCGE是菱形.理由如下：由（2）知，四邊形BCGE是平行四邊形，△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD.

又∵CD＝BC，∴BE＝BC.

∴?BCGE是菱形.【點(diǎn)撥】動(dòng)態(tài)過程的探究問題，只需抓住變化過程中的不變量，如圖形的形狀、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡等.在本題中只需抓住共頂點(diǎn)的三角形旋轉(zhuǎn)前后全等，即變化中永遠(yuǎn)相等的量.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C

勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts.過點(diǎn)P作PM⊥