2021中考數(shù)學(xué) 專項(xiàng)突破：相似三角形及其應(yīng)用（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：相似三角形及其應(yīng)

用

一、選擇題（本大題共io道小題）

1.如圖，XABOSXCDO,若BO=6,00=3,CD=2,則AB的長是（）

2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)、D,E分別在邊AB,AC上，DE〃BC.若BD=2AD,

則（）

3.如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,若AO=2,

AB=3,DE=4,則等于（）

4.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別在和AC邊上，DE//BC,M為3C邊上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），連接AM交。E于點(diǎn)N,則（）

AA.—AD=—AN

ANAE

「B.—BD=—MN

MNCE

c——DN=—NE

'BMMC

rDNNE

D.—=——

MCBM

5.（2019?雅安）若。：匕=3：4,且a+8=14,則2a—人的值是

A.4B.2

C.20D.14

6.如圖①，長、寬均為3,高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有

水，水面高為6,繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②

是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面高度為()

^口邊緣

1

1?

［水面溫度

①②

243212V3420V34

ABcD

-T1717

4/77

7.（2020?永州）如圖，在ABC中,EF//BC,—=~,四邊形3CFE的面積

EB3

為21,則ABC的面積是（）

A

91

A.—B.25C.35D.63

3

8.（2019?賀州）如圖，在AABC中，D,E分別是A3,AC邊上的點(diǎn)，DE//BC,

若AD=2,AB=3,DE=4,則等于

A

A.5B.6

C.7D.8

9.（2020?紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似

比為2：5,且三角板的一邊長為8cm.則投影三角板的對應(yīng)邊長為（）

B.\0crnC.ScmD.3.2cm

10.（2020?麗水）如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH.連結(jié)EG,BD相交于點(diǎn)0、BD與HC相交于點(diǎn)P.若

GO=GP,則”方陽心的值是（)

S正方形EFCH

D

A.1+V2B.2+V2C.5—V2D-T

二'填空題（本大題共6道小題）

H.在某一時(shí)刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時(shí)同地測得一棟樓

的影長為90m,則這棟樓的高度為m.

12.（2020?南通）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,△ABC

和△OEf的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，設(shè)AABC的周長為C,△￡>￡：戶的周長為

C2,則邑的值等于▲?

C,

13.（2019?永州）如圖，已知點(diǎn)F是AABC的重心，連接8尸并延長，交AC于點(diǎn)

E,連接C/并延長，交于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作/G〃BC,交AC于點(diǎn)G.設(shè)三角

形EFG,四邊形尸8CG的面積分別為N,52,則S：S2=.

14.（2019?煙臺）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)

系，△ABO與△AEO是以點(diǎn)尸為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)

（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

15.（2020?深圳）如圖，在四邊形ABC。中，AC與3。相交于點(diǎn)。，ZABC=

ZDAC=90°,tanZACB=^,鋸=點(diǎn)則--------，

BC

16.(2019?瀘州)如圖，在等腰RtAlBC中,ZC=90°,AC=15,點(diǎn)E在邊CB上,

CE=2E6,點(diǎn)。在邊A3上，CDA.AE,垂足為E，則AD長為.

三、解答題(本大題共4道小題)

17.如圖，過。。外一點(diǎn)尸作。。的切線山,切。。于點(diǎn)A,連接PO并延長,

與。。交于C,。兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CO于點(diǎn)N,連接AC,

CM.

⑴求證:CM2=MN"A;

⑵若NP=30°,PC=2,求CM的長.

18.(2020.江蘇徐州)我們知道：如圖①，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果

舞=絲,那么稱點(diǎn)3為線段AC的黃金分割點(diǎn).它們的比值為由」

ABAC2

(1)在圖①中，若AC=20cvn,則A8的長為cm；

(2)如圖②，用邊長為2(k〃z的正方形紙片進(jìn)行如下操作:對折正方形A8CD得

折痕EF,連接CE,將C8折疊到CE上，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)H,得折痕CG.試說明：G

是A3的黃金分割點(diǎn)；

(3)如圖③，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCO的邊AO上任取點(diǎn)E

(AE>DE),連接BE,作交AB于點(diǎn)尸，延長EF、CB交于點(diǎn)P.他發(fā)現(xiàn)

當(dāng)PB與8。商足某種關(guān)系時(shí)，E、網(wǎng)合好分別是A。、AB的黃金分割點(diǎn).請猜想小明

的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

圖①圖②圖③

19.已知在4ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)（與A,B不重合），同

時(shí)，點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長線方向運(yùn)動(dòng)（E不與C重合），連接DE交AC于

點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn).

（1）如圖①，若4ABC是等邊三角形，DH±AC,且D,E的運(yùn)動(dòng)速度相等，求

4c的值.

HF

（2）如圖②，若在AABC中，ZABC=90°，ZADH=ZBAC=30°，且點(diǎn)D,E的

運(yùn)動(dòng)速度之比是：1，求處的值；

HF

(3)如圖③，若在4ABC中，AB=AC,ZADH=ZBAC=36°,記生=m,且點(diǎn)

AC

D,

20.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=2cm.長為1cm的線段MN

在△ABC的邊AB上沿A8方向以1cm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)M與點(diǎn)A

重合）.過M,N分別作的垂線交直角邊于P,。兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為fs.

⑴若△AMP的面積為y,寫出y與，的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量t的取值范圍），

并求出y的最大值；

⑵在線段MN運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形MN0P有可能成為矩形嗎？若有可能，求出

此時(shí)/的值；若不可能，說明理由；

（3?為何值時(shí)，以C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

2021中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：相似三角形及其應(yīng)

用-答案

一、選擇題（本大題共io道小題）

1.【答案】C

AD

2.【答案】B【解析】VDE^BC,.'.△ADE^AABC,VBD=2AD,=

AD

=2'故選B.

3.【答案】B［解析］..?OE〃8C,

：.^ADE^^ABC,

即1=白解得8c=6,故選B.

/\DDCfDCy

4.【答案】C［解析］根據(jù)。E〃BC,可得AADNSAABM,hANE^/\AMC,再

應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

'：DN//BM,:.XADNS^ABM,'JNE//MC,.*.△ATVE^AAMC,

BMAM

.NE=AN.DNNE./^

*??*—MC~—AM9,??—二—攵選C.?

5.【答案】A

4Q

【解析】由a：8=3：4知3b=4a,所以b=彳.

4a

所以由。+。=14得至!）：a-\----=14,

3

解得。=6.所以匕=8.

所以加-0=2x6一8=4.故選A.

6.【答案】A［解析改口圖所示.設(shè)。M=x,則CM=8-x,

根據(jù)題意得：38-X+8）X3X3=3X3X6,解得X=4,：.DM=4.

D

打水面高度

ZD=90°.AH

...由勾股定理得：

22

BM=7BD2+DM2=V4+3=5.

過點(diǎn)B作8"，水平桌面于H,ZHBA+ZABM=ZABM+ZDBM=90°,

：.ZHBA=ZDBM,

,/ZAHB=ZD=90°,

:.AABHsAMBD,：.器筆即萼解得即水面高度為

ABBM8555

7.【答案】B

【詳解】解：YEFy/BC

:.ZAEF=NB,ZAFE=/C

：.AEFsABC

..AE_2

,商一5

.AE2

**AB-5

...SAEB/21[4

SABC(5J25

?SAs=4

S四邊形SCTE21

?二S四邊形8CFE=21

SAEB=4

?**SABC=25

故選：B.

8.【答案】B

【解析】VDE//BC,：.AADE^AABC,

*'?~~=,即￡=解得：BC=6,故選B.

AB￡>C3￡>C

9.【答案】A

【解析】本題考查了相似三角形的性質(zhì).相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似

比，所以8：（投影三角形的對應(yīng)邊長）=2：5,則投影三角形的對應(yīng)邊長是20

cm.因此本題選A.

10.【答案】C

【解析】???四邊形EFGH為正方形，/.ZEGH=45°,ZFGH=90°,VOG

=GP,AZGOP=ZOPG=67.5°,AZPBG=22.5°,又?.?/DBC=45°,

AZGBC=22.5°,.，.ZPBG=ZGBC,

VZBGP=ZBG=90°,BG=BG,/.ABPG^ABCG,/.PG=CG.設(shè)OG=

PG=CG=x,

?.?O為EG,BD的交點(diǎn)，，EG=2x,FG=&x/..四個(gè)全等的直角三角形拼成

“趙爽弦圖”，，BF=CG=x,

..BG—.BC2—BG2+CG2''，

S”；方/sc。=（4+2旬r=2+及

‘正方影好GH2廠，因此本題選D.

二、填空題（本大題共6道小題）

11.【答案】54

12.【答案】三

【解析】由圖形易證aABC與4DEF相似，且相似比為1:血，所以周長比為

i：6.故答案為：

2

13.【答案】-

8

【解析】??,點(diǎn)E是AABC的重心，...即電所，.?.8E=3EF,

'：FG//BC,:AEFGSAEBC,

?空」*

,,BE=，S'宮一5'

...Si:Sz,故答案為：—.

o

14.【答案】（—3,2）

【解析】如圖，連接85并延長，4A并延長，B8與A4的交點(diǎn)即為位似中心

P點(diǎn)，

Q\

由圖可知9、B、P在一條直線上，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-3,

CRO1

由圖可得△ABO和Z\4'B'O'的位似比為萬加=-=BB'=2,

所以「點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,即P點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,2).故答案為：(-3,2).

3

15.【答案】32

【解析】法1：過8點(diǎn)作BE//A。交AC于點(diǎn)E,則△AOOS^EB。，由ND4c

=90°,得至tBELW,

.AOOD3,/_1_,「-

??門口==冷=彳，由tan/ACB=q,可/得FCE=28E=4AE,

ULLUD4z

.S^ABDAO______3_______3_

?>SACBD=OC=4+(3+4)X4=32,

法2：如圖，過點(diǎn)。作。M〃8G交CA的延長線于點(diǎn)M,延長區(qū)4交。M于

點(diǎn)N,得到△A8CS/\ANM,AOBC^AODM,進(jìn)而得出對應(yīng)邊成比例，后￡)C=

=

1N11MyJL=ta〃/ACB=54,Lrlv/x9Z7-x')JT*乂:N43C=NOAC=90°,**?^.BAC~\~N

NAD=90°,VZBAC+ZBC4=90°,：.ZNAD=ZBCA,:.△ABCS^DAN,

得出對應(yīng)邊之間關(guān)系，裝=器=4，設(shè)4?=a,DN=b,則BC=2mNA=

DCNAZ

,333一

2b,MN=4b,得。知=呼，.??4人+人=五，即。=元。，進(jìn)而表示三角形的面

16.【答案】972

【解析】如圖，過。作￡W_LAC于H,則NA”O(jiān)=90。,

?.,在等腰Rt/XABC中，ZC=90°,AC=15,

AAC=BC=15,ZC4D=45°,

，ZADH=9Q°-ZCAD=45°=ZCAD,

：.AH=DH,

：.CH=AC-AH=15-DH,

?:CF±AE,:.ZDHA=ZDFA=90°,

又?:ZANH=ZDNF,：.ZHAF=ZHDF,

..DHCH

??AzXACEsA/\DHC，?.—=—，

ACCE

VCE=2EB,CE+BE=BC=15,：.CE=10,

.DH15-DH

??一,

1510

，DH=9,

?,AD=y/AH2+DH2=9-y2,故答案為：9^2?

三、解答題(本大題共4道小題)

17.【答案】

解:(1)證明:?.?在。。中，點(diǎn)M是半圓CD的中點(diǎn)，.?.NCAM=NOCM,

又YNCMA是和△AMC的公共角，.,.△CW^AAMC,

CM2^MN-MA.

(2)連接。4,DM,

?.?孫是。。的切線,

用0=90°,

又?.?/P=30。，

Z.OA=^PO=^PC+CO\

設(shè)。。的半徑為r,

PC=2,r=|(2+r),解得r=2.

又VCD是直徑，,ZCMD=90°,

???點(diǎn)M是半圓CO的中點(diǎn)，,CM=DM,

...△CMO是等腰直角三角形，

...在RtaCMO中，由勾股定理得

CM2+DM2=CD2,，2CM2=(2r)2=16,.*.CM2=8,CM=2V2.

18.【答案】

AB75-1

解：(1)106-1。.解：VAC=^~,AC=20,.*.AB=1075-10.

(2)延長CG交DA的延長線于點(diǎn)J,由折疊可知：NBCG=NECG,

?.?AD〃BC,/.ZJ=ZBCG=ZECG,二JE=CE.由折疊可知：E、F為AD、BC的

中點(diǎn)，.，.DE=AE=10,

由勾股定理可得：=也代，...

CE=UDE'S=Ji02+202EJ=IOV5,AJ=JE-AE=

10召-10,

AGAJ10遙-10_6-1

VAJ/7BC,.,.△AGJ^ABGC,:.而一菽-2。一方-,；.G是AB的黃金分

75-1

(3)PB=BC,理由如下：..乍為AD的黃金分割點(diǎn)，且AE>DE,/.AE=2a.

VCF1BE,，ZABE+ZCBE=ZCBE+ZBCF=90\.\ZABE=ZFCB,

NABE=4FCB

AB=BC

在Z^BEA和ACFB中，上人==90。，^BEA烏ACFB,ABF=AE=

x/5-1

2a.

AFBF75-1AEAFBF

：.~BF~7B~2/.'AE^BP,.,.△AEFs/XBPF,.，.PBBFAB,

VAE=BF,.*.PB=AB,，PB=BC.

19.【答案】

⑴過點(diǎn)D作DG//BC交AC于點(diǎn)G,

H/\

G

解圖①

?.'△ABC是等邊三角形，

.?.△AGO是等邊三角形，

：.AD=GD,

由題意知CE=AD,

：.CE=GD

'.,DG//BC,

：.ZGDF=ZCEF,

在△GOb與△<:￡：/中，

ZGDF=NCEF

<NGFD=4EFC,

CE=GD

：./\GDF且ACEF(AAS),:.CF=GF,

,CDHLAG,

：.AH=GH,

：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF)=2HF,

?.?A-C=2<<；,

(2)如解圖②，過點(diǎn)。作。G〃3c交AC于點(diǎn)G,

ECB

解圖②

由題意知，點(diǎn)O,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是6:1,

,/ZABC=90°,ZBAC=30a,

26，

GD

.ADAD

??----=----，

CEGD

:?GD=CE,

,:DG〃BC,

：.ZGDF=ZCEF,

在aG。尸和aCEb中，

ZGDF=ZCEF

<NGFD=NEFC,

GD=CE

：./\GDFgACEF(AAS),

：.CF=GF,

VZADH=ZBAC=30°,

：.AH=HD,

VZAGD=ZHDG=60°,

：.GH=HD,

：.AH=HG,

：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF)=2HF,

...-A-C-=2.；

HF

(3)如解圖③，過點(diǎn)。作。G〃BC交AC于點(diǎn)G,