2021屆數(shù)學(xué)新高考小題 (三十四)

2021屆新高考“8+4+4”小題狂練(34)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(l-i)-z=4i,則目=(

A.V2B.2c.2V2D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算先求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求出|z|.

【詳解】解：：(1-i>z=4i,,.?.z=A=(蒜2)7+2".#1=2夜.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合4={%|%2一%<0},B={x|x>I或x<0},則()

A.B^AB.A^BC.=RD.=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式對(duì)集合進(jìn)行化簡，即可求出兩集合的關(guān)系.

【詳解】解：解不等式％2一%<0得O<X<1,則4=何0<%<1}.

因?yàn)?={x|x>l或x<0},所以4門8=0,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了兩集合間的關(guān)系.

3.已知。=log3O.2,Z?=log02O.3,c=lO°』，則()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a、b、c與0、1比較，即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閥=log3%在(。,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log,0.2<log,1=0,

因?yàn)閥=log。2x在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

所以0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,

因?yàn)閥=10'在R上單調(diào)遞增，

所以c=10°」>10°=1,

所以a<。<c.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù).屬于基礎(chǔ)題.本類題型一般都是將所需比較的數(shù)與0、1

比較大小，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解本題的關(guān)鍵.

4.(1—x)(l+x)3的展開式中，V的系數(shù)為()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意轉(zhuǎn)化條件得(1—X)(I+X)3=(l+X)3—X(l+X。再由二項(xiàng)式定理寫出(1+X)3的通項(xiàng)公式，分別令

尸=3、r=2,求和即可得解.

詳解】由題意(l—X)(I+X)3=(I+X)3—X(l+X)3,

3

(1+X)的通項(xiàng)公式為Tr+t=C；-片./=G?V,

令廠=3,則=C；=1；

令r=2,則=C；=3；

所以(1—x)(l+x)3的展開式中，d的系數(shù)為1一3=一2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.函數(shù)“X）與g（x）=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)/（x）的部分圖象大致為（）

A.

【答案】D

【解析】

【分析】

卡里，通過求/圖，

由誘導(dǎo)公式對(duì)g（x）化簡，結(jié)合兩函數(shù)圖象的關(guān)系可求出〃x）=

/（%）即可排除錯(cuò)誤答案.

3兀

【詳解】解：（、2smX尸2cosx—1,因?yàn)?（X）與g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,

g（x）=----

xX

貝U正止1=22…,

-XX

c兀1

/\2COS--F1c

3=-^-二〉。，7

排除C,--<0,排除B,

1^2)￡71冗

2

//、2cos乃+11八詡”人

/(〃)=---------=----<0,排除A,

7171

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)圖象的選擇.本題的關(guān)鍵是求出了（X）的

解析式.

6.在3世紀(jì)中期，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一

個(gè)圓內(nèi)接正〃邊形等分成〃個(gè)等腰三角形（如圖所示），當(dāng)"變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓

的面積.運(yùn)用割圓術(shù)的思想，可得到si〃3°的近似值為（）（乃取近似值3.14）

A.0.012B.0.052

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意圓內(nèi)接正120邊形其等分成120個(gè)等腰三角形，每個(gè)等腰三角形的頂角為3。,根據(jù)等腰三角形的面

積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin3。的近似值.

360°1

【詳解】當(dāng)〃=120時(shí)，每個(gè)等腰三角形的頂角為-=3°，則其面積為SA=]/sin3°,

又因?yàn)榈妊切蔚拿娣e之和近似等于圓的面積，

所以120x工,sin30aTir1=>sin3°?—?0.052,

260

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.解本類題型需認(rèn)真審題，讀懂題意找到等式是關(guān)鍵.

7.已知函數(shù)/(X)=1+1g(J/+1+x),若等差數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且

/(4-1)=一10，/(%)20-1)=1°，則5202。二()

A.-4040B.0

C.2020D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)/(一尤)進(jìn)行整理可得/(X)為奇函數(shù)，從而可知q+“2020=2,代入等差數(shù)列的

求和公式即可求出S2020的值.

【詳解】解：因?yàn)?(%)=1+1g(+1+q定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

f(-X)=(-X)3+lg(Vx2+1-x)=-X3+1gJ1-—

=-X3-lg(&+]+x)=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù)，

由_1)=_/(。2020_1)=/(1_〃2020)得，〃1_]=]_“2020，所以4+〃2020=2,

因?yàn)椋麨椋秊榈炔顢?shù)列，所以$2020=里迎竽0城=2020,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，考查了等差數(shù)列的求和公式.本題的關(guān)鍵是

求出4+。2020=2.

8.在四面體A8CZ)中，8C=Cr>=60=A5=2,NABC=9O,二面角A-3C—。的平面角為150°,

則四面體A8C3外接球的表面積為()

31124

A.—71B.-----H

33

C.31%D.1247

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出AB,C,O坐標(biāo)，利用球心到距離等于半徑求出球心坐標(biāo)，從而求出

球體半徑，即可求出球體的表面積.

【詳解】解：取8。中點(diǎn)E為坐標(biāo)系原點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂直于平面BCD的直線為z軸，￡3所在直線為x軸,

EC所在直線為>軸，如下圖所示.

由已知條件可得：8(1,0,0),C(-l,0,0),￡>(0,73,0),A(l,-V3,l).

設(shè)四面體ABCD外接球的球心為0(%>,z),由=|Q5|=|OC|=|。。|得:

=j2+（y_6j+Z2

x=0

解得：=則球心。o,-^—,3.

3I3

z=3

；.四面體ABCD外接球的半徑R=|OA|=j『+F亨+6+（3—1）2=欄，所以四面體ABCD外接球

31I24乃

的表面積S=4%/?2=4?x±=-----.

33

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清晰一一，恢復(fù)經(jīng)濟(jì)正常運(yùn)行.國人萬眾一心，眾志成城，防控

疫情、復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)對(duì)本企業(yè)1644名職工關(guān)于復(fù)工的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，則下列說法

正確的是（）

疫情防控期間某企業(yè)復(fù)工職工調(diào)查

申請(qǐng)休假

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于繼續(xù)申請(qǐng)休假

D.傾向于復(fù)工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)扇形圖中的比例關(guān)系依次驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A，x=100—5.1-17.8—42.3=34.8,A錯(cuò)誤；

對(duì)于傾向于在家辦公的人員占比為17.8%,故對(duì)應(yīng)概率為0.178,B正確;

對(duì)于C，傾向于繼續(xù)申請(qǐng)休假人數(shù)為1644x5.1%之84人，C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，傾向于在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為1644x(17.8%+42.3%)a988人，。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)扇形圖進(jìn)行相關(guān)命題的辨析的問題，涉及到比例和頻數(shù)的計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知向量1=(2,1),5=(1,-1),c={m-2,-?),其中機(jī)，〃均為正數(shù)，且(〃一5)〃工，下列說

法正確的是()

A.a與b的夾角為鈍角

B.向量。在b方向上的投影為更

5

C.2m+n=4

D.mn的最大值為2

【答案】CD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；對(duì)于B,利用平面向量的投影定義判斷；對(duì)于C,利用(1一石)〃C

判斷；對(duì)于D,利用C的結(jié)論，2機(jī)+〃=4,結(jié)合基本不等式判斷.

【詳解】對(duì)于A,向量@=(2,1),5=(1，-1).則無石=2-1=1>0，則G石的夾角為銳角，錯(cuò)誤；

a-bV2

對(duì)于B,向量1=(2,1),5=(1,-1),則向量M在坂方向上的投影為下|-=彳，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,向量G=(2,1),5=(1,-1),則萬一5=(1)2),若(1_5)〃5，則(-〃)=2(切-2),變形可得

2加+行4,正確；

I|2〃z+鹿

對(duì)于D,由C的結(jié)論，2m+n=4,而〃均為正數(shù)，貝！|有(2wn)<—(------>=2,即機(jī)〃的最大

222

值為2,正確；

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

y2

Y

11.已知橢圓C：W=1(。>。>0)的右焦點(diǎn)為廠，點(diǎn)尸在橢圓。上，點(diǎn)。在圓

E:(x+3)2+(y-4)2=4±,且圓E上的所有點(diǎn)均在橢圓C外，若|PQ|-|P目的最小值為2右一6，且

橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2B.橢圓C的短軸長為括

C.|PQ|+|PF|的最小值為2后D.過點(diǎn)尸的圓E的切線斜率為心|^

【答案】AD

【解析】

【分析】

由題意可求得。的值，再由圓的幾何性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件可求得C的值，進(jìn)而可判斷出A、B

選項(xiàng)的正誤；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可

求得切線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】圓E的圓心為七(一3,4),半徑長為2，

由于橢圓。的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則2。=4,可得。=2,

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為點(diǎn)耳,由橢圓的定義可得歸刊+歸耳|=勿=4,.?』尸司=4—|尸耳|,

所以，歸。|一歸目=|PQ]—(4一歸用)=歸耳|+歸。]一4"?制+|PE|—2—4"班k6=26一6,

當(dāng)且僅當(dāng)尸、Q、E、月四點(diǎn)共線，且當(dāng)P、。分別為線段E片與橢圓C、圓E的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立,

則但用=J(—3+c)+(4—Op=J(C—3)2+16=26，-.-0<c<a=2,解得c=l,

所以，橢圓。的焦距為2c=2,A選項(xiàng)正確；

橢圓。的短軸長為給=2必二7=26，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

\PQ\+\PF\>\PE\+|PF|-2>|￡F|-2=[㈠-丁+(4_0『-2=472-2，

當(dāng)且僅當(dāng)P、。、E、/四點(diǎn)共線，且當(dāng)P、。分別為線段EF與橢圓。、圓E交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，C

選項(xiàng)錯(cuò)誤;

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心E到該直線的距離為卜3-1=4>2,則直線％=1與

圓E相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為y=%(x—1),即依-y—Z=O,

由題意可得卜3：：4一%|:整理得3公+8k+3=0,解得％=一4±療.

VF+1VF+13

D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的定義解決焦半徑與橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離和與差的最值問題，同時(shí)也

考查了過圓外一點(diǎn)引圓的切線問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.

12.已知函數(shù)/(x)=[cosx|TsinM|,則下列結(jié)論中，正確的有()

A.乃是/(x)的最小正周期

B.”X)在作A上單調(diào)遞增

c.7(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=(+版'(ZeZ)

D./(x)的值域?yàn)閇0,1]

【答案】BD

【解析】

【分析】

由〃—x)=./XX)，知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(%+卞=/(勸，知'是/(X)的周期，

n

當(dāng)xe[0,—]時(shí)，化簡并畫出其圖象，在根據(jù)偶函數(shù)和周期性，畫出函數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)圖象判斷

4

每一個(gè)選項(xiàng)是否正確.

【詳解】由/(-x)=/(x),知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(x+])=f(x),知]是“X)的周期，

當(dāng)xe[0,工]時(shí)，/(%)=cos%-sinx=-41sin(x--),畫出f(x)的圖象如圖所示：

44

y

3牙x

4~2442-7

由圖知，“X)的最小正周期是A錯(cuò)誤；

“X)在佰,上單調(diào)遞增，B正確；

“X)的圖象的對(duì)稱軸為*=子,(左eZ),C錯(cuò)誤；

/(x)的值域?yàn)閇0,1],D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題是絕對(duì)值與三角函數(shù)的綜合問題，判斷函數(shù)奇偶性，周期性畫出函數(shù)圖象是解決問題的關(guān)鍵,

屬于中檔題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線/(x)=xlnx+x在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與直線2x+ay-4=0平行，則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值,即可根據(jù)兩直線平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【詳解】因?yàn)?(x)=xlnx+x.

所以/'(x)=Inx+1+1=Inx+2,

所以/(1)=2.

因?yàn)榍€/(x)=xlnx+x在點(diǎn)(1,7⑴)處的切線與直線2x+?-4=0平行，

2

即2=—=>n=—1.

a

故答案為:-1.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.解本提出的關(guān)鍵在于理解函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值等

于函數(shù)在這點(diǎn)的切線的斜率.

14.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,頂點(diǎn)S在底面的射影為O,軸截面SA8是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)

面積為，點(diǎn)。為母線S3的中點(diǎn)，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，則異面直線CO與OS所成角的正切值

為.

⑵?孚

【答案】(1).171

【解析】

【分析】

由軸截面的圖形可知圓的半徑和母線長，從而可求出側(cè)面積；作。于E，通過求出

tan/CDE=一EC匕，從而可求異面直線所成角.

DE

【詳解】解：因?yàn)檩S截面SAB是邊長為2的等邊三角形，所以底面圓的半徑為1，母線為2，

所以圓錐的側(cè)面積為S=?xlx2=24；作OE1.AB于E，則。上_1底面圓，

因?yàn)椤槟妇€SB的中點(diǎn)，所以E￡>=2SO=LJF=7=且，

222

亞

又EC=J"?+OE?=+1=與

所以tanZ.CDE=,

DEB3

T

因?yàn)镋D//SO,所以異面直線CO與OS所成角的正切值為巫

3

故答案為：2兀；晅

3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的求解，考查了異面直線二面角的求解.本題的關(guān)鍵是將異面直線通過平移,

求其夾角.

15.CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會(huì).2020CES消費(fèi)電子展于2020

年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費(fèi)電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨

屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作（這3名員工的工作視為相同的

工作），再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，則

不同的安排方案共有種.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解題意，分兩步安排，先安排接待工作，再安排講解工作.安排接待工作時(shí)，甲和乙至多安排1人，故分

沒安排甲乙和甲乙安排1人兩類求解，從而計(jì)算出不同的安排方案總數(shù).

【詳解】先安排接待